淺析二元一次不定方程及其解

韓孝明

（呂梁學院汾陽師范分校，山西 呂梁 032200）

不定方程是數(shù)論中最古老的一個分支，也是數(shù)論中一個十分重要的研究課題，我國古代對不定方程的研究很早，且研究的內(nèi)容也極為豐富，在世界數(shù)學史上有不可忽視的地位。如《張丘建算經(jīng)》中的“百錢買百雞”問題、《九章算術(shù)》中的“五家共井”問題等等，中外馳名，影響甚遠。在公元3世紀初，古希臘數(shù)學家丟番圖曾系統(tǒng)研究了某些不定方程問題，因此不定方程也叫做丟番圖方程。

一、不定方程定義

所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)且其解受到某種條件的限制的方程或方程組。

不定方程領(lǐng)域中的基本問題是：不定方程有無整數(shù)解，有多少整數(shù)解，如何求出整數(shù)解。圍繞這些問題，至今存在著大量的未解決問題，因此不定方程仍是一個很活躍的數(shù)學領(lǐng)域。中小學的數(shù)學競賽也常常因為某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程問題。

二、二元一次不定方程及其解

形如 ax+by=c(a，b，c∈z，ab≠0)的方程稱為二元一次不定方程。求其整數(shù)解的問題叫做解二元一次不定方程。

由于方程的解x、y可以是正整數(shù)，也可以是負整數(shù)，或者零，所以我們可以只討論a、b都是正整數(shù)的情況。例如，3x-2y=1與3x+2y=1的解相比較，y的值只差一個負號。

當 c=0時，如果(a，b)=d（a、b的最大公約數(shù)為 d），那么在方程的兩邊同時除以d,使x、y的系數(shù)互質(zhì)。因此不妨假設(shè)(a，b)=1，解方程得x=-，由于(a，b)=1，因此當y能被a整除時，方程ax+by=0才有整數(shù)解。所以可令y=at（t為任意整數(shù)），這時x=-bt，即方程 ax+by=0的一切整數(shù)解為（其中t為任意整數(shù)）

當c≠0時，實際上也只需要討論c＞0的情況。因為當c＜0時，我們可以在方程兩邊同時乘以-1，這樣方程ax+by=c的右邊就成為正整數(shù)了。因此對于二元一次不定方程，可以只討論a＞0、b＞0、c＞0的情況。

現(xiàn)在我們研究二元一次不定方程在什么條件下才有整數(shù)解。先考察下面幾個方程有沒有整數(shù)解：2x+y=10，4x+2y=20，4x+2y=25。對于方程 2x+y=10，通過觀察可以知道，x=1,y=8是這方程的整數(shù)解，因此這個方程有整數(shù)解。

對于方程 4x+2y=20，方程兩邊同時除以2，得2x+y=10，因此這個方程也有整數(shù)解。

對于方程4x+2y=25，由于4x+2y=2(2x+y)為偶數(shù)，而25是奇數(shù)，因此這個方程沒有整數(shù)解。

對于方程2x+y=10來說，x、y的系數(shù)互質(zhì)，上面已經(jīng)指出這個方程是有解的；對方程4x+2y=20來說，雖然x、y的系數(shù)不互質(zhì)，但它們的最大公約數(shù)2能整除20，這是方程也有解；對方程4x+2y=25來說，x、y的系數(shù)不互質(zhì)，且它們的最大公約數(shù)2不能整除常數(shù)項20，這時方程無解。這些特點雖然是從一些具體的不定方程歸納出來的，但是它對一般不定方程也是適用的。我們有下面定理：

定理1：二元一次不定方程ax+by=c(a,b,c∈N*)有整數(shù)解的充要條件是d│c（其中d=(a,b）。

證明：一是必要性。如果方程ax+by=c有整數(shù)解x=x0，y=y0，則 ax0+by0=c，因為 d│a,d│b,所以 d│(a x0+by0),即 d│c。二是充分性。因為 d│c，所以 c=dq,由裴蜀恒等式可以知道，存在兩個整數(shù)x0，y0，使a x0+b y0=d。

在上式兩邊同時乘以 q，得 a x0q+b y0q=dq即a x0q+b y0q=c。

因此方程ax+by=c有整數(shù)解x=x0q,y=y0q。

由上述定理可知，如果c不能被a、b的最大公約數(shù)整除，那么方程ax+by=c無解，且可在ax+by=c兩端都約去d，使得(a，b)=1。所以通常二元一次不定方程的解是在a、b互質(zhì)的情況下討論的。

判斷出一個二元一次方程有解以后，如何求出它的一切整數(shù)解呢？我們有下面的結(jié)論：

定理2：如果二元一次不定方程ax+by=c[(a,b)=1]有整數(shù)解x=x0，y=y0，則此方程一切解可以表示為

因為x=x0,y=y0是方程ax+by=c的整數(shù)解，所以ax0+by0=c，又因為 a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c。

再證明方程ax+by=c的任意一個整數(shù)解都可以表示成形式

設(shè)(x1,y1)是方程ax+by=c的任意一個整數(shù)解，則a x1,+b y1=c;

又由a x0+b y0=c，可得a(x1-x0)+b(y1-y0)=0，所以b│a(x1-x0)。

由于(a,b)=1，所以 b│（x1-x0），即 x1=x0+bt t∈z，所以 y1=y0-at t∈z。

由定理2可知，要求出二元一次不定方程ax+by=c的全部整數(shù)解，必須先求出它的一組特解。下面介紹幾種求ax+by=c特解的方法。

方法一，觀察法（或嘗試法）：

觀察法是根據(jù)已有經(jīng)驗，通過觀察嘗試求解的一種辦法。

例如：方程2x+y=10很容易通過觀察得出x=1,y=8是其一組特解。

方法二，輾轉(zhuǎn)相除法：

輾轉(zhuǎn)相除法是利用求最大公約數(shù)的逆推過程求特解的一種辦法。

例如：解方程37x-107y=25。

解:因為(37,107)=1，1│25，所以此方程有解。

用輾轉(zhuǎn)相除法求特解107=37×2+33，37=33×1+4 33=4×8+1，從最后一個式子向上逆推，得到37×(-26)-107×(-9)=1，所以 37×(-26×25)-107×(-9×25)=25，

方法三，整數(shù)分離法：

整數(shù)分離法是用系數(shù)較大的未知數(shù)表示系數(shù)較小的未知數(shù)，從而求解的一種辦法。

例如：求方程7x+19y=213的一組解。

要使得x、y取整數(shù)，只需k取適當?shù)闹?，?-5k能被7整除。通過觀察與估算可知，當k取2時=-1。由此得x=30-2k=25。

因此，原方程的一組整數(shù)解是x=25，y=2。

方法四，同余法：

同余法是利用解同余式的方法求二元一次不定方程解的一種辦法。

例如：求9x+16y=35的解。

解：把原方程改寫成同余式16y≡35(mod6)，

解之，可得 y≡5(mod9)，所以 y=5+9t(t為任意整數(shù))；

把y=5+9t代入原方程，得x=-5-16t，

綜上所述，僅是對二元一次不定方程及其解的初步認識，關(guān)于不定方程中還有很多未解之謎，望有興趣者共同探討。

[1]陳肇曾.數(shù)論初步[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]王元.初等數(shù)論[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]王進明.初等數(shù)論[M].北京：人民教育出版社，2002.