電阻網絡Y—△變換恒等式

吳好

(鎮江中學 江蘇 鎮江 212017)

在某些復雜的電路中往往會遇到電阻的Y型接法[如圖1(a)]或△型接法[如圖1(b)]．有時需要將Y型聯接代換成等效的△型聯接，或將△型聯接代換成等效的Y型聯接，從而達到對電路進行簡化計算的目的．兩種變換的關系不太容易記住，如果在記憶方法上有所突破，就會對學生準確運用規律處理實際問題帶來方便．

本文在對電路元件為電阻的情形進行討論的基礎上，提出了“Y—△變換恒等式”，為方便記憶給出口訣，并通過例題說明了Y—△的變換方法．

1 兩種類型網絡的變換式

(1)將Y型網絡變換成△型網絡的變換式

(1)

(2)

(3)

(2)將△型網絡變換成Y型網絡的變換式

(4)

(5)

(6)

2 兩種類型網絡的變換式的證明過程

等效代換要求Y型聯接三個端點間的電壓U12,U23,U31以及流進三個端點的電流I1,I2,I3與△型聯接對應部分完全相同．本文假設流進三個端點的電流方向以及△型聯接每個電阻的電流方向如圖1所示．

圖1

2．1 證明方法一

根據Y型網絡有

I1R1-I2R2=U12

I2R2-I3R3=U23

I1+I2+I3=0

可以得到

(7)

根據△型網絡可以得出

I2+I12=I23

聯立可以得到

(8)

由(7)、(8)兩式得

U12與U23取不同數值時上式恒成立的條件是，U12與U23的系數均為零.根據U12與U23的系數為零容易得到(1)、(2)兩式;按照類似的方法可以得到式(3)．

將式(1)、(2)、(3)相加并化簡得到

將式(1)和(3)、式(1)和(2)、式(2)和(3)分別代入上式可以得到式(4)、(5)、(6)．

2．2 證明方法二

根據Y型網絡與△型網絡“1，2”間、“2，3”間、“3，1”間的電阻對應相等得到

(9)

(10)

(11)

將(9)、(10)、(11)三式相加得

(12)

分別聯立式(10)和(12)、式(11)和(12)、式(9)和(12)得到式(4)、(5)、(6),將式(4)、(5)、(6)兩兩相乘再相加并化簡得到

(13)

再將式(4)、(5)、(6)分別代入式(13)容易得到式(1)、(2)、(3)．

3 Y—△變換恒等式

利用式(1)、(2)、(3)、(13)，或式(4)、(5)、(6)、(13)可以得到“Y—△變換恒等式”

R1R2+R2R3+R3R1≡

(14)

利用式(14)的左邊關系式等于右邊關系式得到式(1)～(3), 利用式(14)的中間關系式等于右邊關系式得到式(4)～(6).

“Y—△變換恒等式”的記憶口訣是：“星型電阻積之和、角型電阻積比和、星角相對積全等”．

很顯然，利用“Y—△變換恒等式”并結合記憶口訣很容易推出式(1)～(6)，并便于記憶.

4 例題

【例1】如圖2(a)所示，一個立方體原來用12根相同的電阻絲構成立方體框架，每根電阻絲的電阻均為r，現將其中一根拆去，求A，B兩點間的電阻．

圖2