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——兼談圓周運動中的一類最值問題

徐秀娟 王興堂

（江蘇省沛縣中學 江蘇 徐州 221600）

【題目】圖1為“S”字形玩具軌道.該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，固定在豎直平面內.軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓連接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切.彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點水平彈射向b點并進入軌道，經(jīng)過軌道后從P點水平拋出，已知小球與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計其他機械能損失，ab段長L＝1.25m，圓的半徑R＝0.1m，小球質量m＝0.1kg，軌道質量為M＝0.15 kg，g＝10m／s2.

圖1

求：（1）若va＝5m／s，小球從P點拋出后的水平射程；

（2）若va＝5m／s，小球經(jīng)過軌道的最高點時，管道對小球作用力的大小和方向；

（3）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當va至少為多少時，軌道對地面的壓力為零.

解析：原題答案（1）、（2）略.

（3）分析可知，要使小球以最小速度va運動，則當軌道對地面的壓力為零，小球的位置應在該“S”形軌道的中間位置，即下面半圓軌道的最高點，設小球在此最高點速度為v，管道對其作用力大小為F′，有

代入數(shù)據(jù)得

本題所給答案，看起來沒有問題，但仔細推敲，卻顯不夠嚴密，因為，此題所給答案是用圓軌道最高點來分析的，其實小球在到達最高點前對軌道也有壓力，有沒有可能在軌道的其他位置對軌道壓力的豎直分量比在軌道最高點時壓力還大，或者說，小球對軌道壓力的豎直分量的最大值并不一定在最高點呢？下面我們結合圖2做一下簡要分析.

圖2

如圖2所示，圓的半徑為R，小球的質量為m，設小球在軌道的最低點速度為v0，且能夠到達圓周的最高點.當小球運動到圖示位置時，設速度為v，此時軌道對小球的壓力為F.由動能定理可得

設軌道受到小球壓力的豎直分量為F豎

兩邊同乘3mg，有

等式右邊兩項和為定值，由數(shù)學知識可知，當

F豎有最大值.

由此可知，在圓周最低點小球的初速度v0不同，最大F豎對應的θ并不同，當v0＜2時，cosθ＜1，表明最大F豎發(fā)生在非最高點，此時

當初速度v0≥2時，利用式（3）求出cosθ≥1，表明F豎max對應的位置應在最高點，此時F豎max≥3mg，且最高點壓力隨著初速度的增大而增大.

鑒于以上分析，小球對軌道豎直向上壓力最大的位置并不一定在最高點.再看本題的第（3）問，要求F豎max＝Mg，而題給條件中Mg＜3mg，也就是說F豎max＜3mg，對比式（4），可知，最大F豎對應的位置并不在最高點，所以原題給出用最高點分析所求的答案應是錯誤的.

正確解法：由以上分析可知

代入數(shù)據(jù)，可得

代入式（3），可求得在圓周的最低點時

再對小球在水平面的運動，列動能定理方程有

顯然，正確答案要比原題所給答案略小，這是因為本題中小球在最高點的F豎并不是最大，但仍用最高點分析此題，所以求得的初速度值將會偏大.

由于此類問題綜合考查了圓周運動、動能定理、物體平衡等知識，此類習題經(jīng)常出現(xiàn).但從以上分析可以看出，只有當M≥3mg時，最高點時F豎才最大，當M＜3mg時，F(xiàn)豎最大的位置并不在圓周的最高點，且分析過程比較復雜，因此，建議命題者在命制此類習題要充分認識到此類問題的復雜性，盡量滿足M≥3mg，從而降低解題難度.