基于PASCO平臺的磁懸浮陀螺實驗研究

丁璐 周榮樸 滕保華 吳明和 李業鳳

(電子科技大學物理電子學院 四川 成都 610054)

1 引言

在日常生活中，磁懸浮是一個重要現象，而磁懸浮陀螺玩具是其中一個簡單應用.它通過探究磁懸浮陀螺懸浮現象，加深對磁懸浮機理的理解.

市面上銷售的磁懸浮陀螺由一塊內置環狀磁鐵的陀螺和一塊方形的磁性底座組成，附帶一個長方形塑料托盤，若干配重(塑料環和鐵環)和楔形托片.轉動陀螺前，需通過加減環形配重來仔細調節陀螺重量，并利用楔形托片調節底座，使其水平放置.只有當達到一定轉速，并且在很小的高度范圍內，陀螺才能穩定懸浮.對于在平衡位置附近小范圍的擺動，陀螺能自動調節至穩定狀態.

國外學者T.B.Jones 等人[1]已經詳細分析了陀螺在磁性底盤上方懸浮的原理和懸浮條件，并用實驗測得懸浮高度范圍.但文中為了得到陀螺穩定懸浮的高度區間，需要測量方形磁體軸線上多個高度處的磁感應強度，使得具體操作具有一定局限性.

本文利用PASCO實驗平臺的磁感應強度測量傳感器，測量了方形永磁體軸線處不同高度上的磁感應強度，根據陀螺穩定懸浮的條件和方形永磁體磁場分布的解析表達式，提出一種確定陀螺懸浮高度的簡化方法.利用該方法只需測量方形磁體外部任一點處的磁感應強度，就能得到陀螺穩定懸浮的高度范圍，大大簡化了實驗過程.

2 底座磁感應強度的測量

2.1 PASCO實驗平臺

PASCO實驗平臺是一個將計算機數據采集與分析應用于物理實驗的系統，運用現代電子技術，采用傳感器進行數據采集，電腦進行過程控制和數據處理，尤其是對一些瞬態變化的物理量能做到實時測量，對一些不易觀察的物理現象能實現感官展示.根據PASCO實驗平臺實驗附件可組裝性強的特征進行新的實驗設計與設備研究，實現PASCO實驗平臺的設計性應用與擴展研究.本實驗利用的PASCO平臺由三個部分組成：

(1)磁場強度測量傳感器Magnetic Field Sensor CI-6520A.

(2)數據采集接口，能將傳感器的數據輸入計算機，最高采樣頻率為250 kHz.

(3)數據采集軟件，可以連續測試記錄掃描路線的磁場強度值，并可將數據導入Excel表格，方便后續數據處理.

2.2 實驗測量

本實驗所使用的磁懸浮陀螺的底座是邊長為10.00 cm，厚度為1.00 cm的方形永磁體.利用PASCO實驗儀Magnetic Field Sensor CI-6520A，測量了該永磁體中軸線上磁場分布.在實驗過程中，將傳感器探頭放置在該磁體中軸線位置，每間隔0.5 cm測量一次，測量高度范圍為2.00～20.00 cm.實驗裝置如圖1所示.從測量結果(圖2)可以看出，隨著測量高度的增加，磁場強度逐漸減小，在無窮遠處趨于零.

圖1 實驗裝置示意圖

測量高度z′/cm

3 簡化方法

3.1 磁懸浮陀螺穩定條件

將磁性底座的磁場近似為以中軸線為軸對稱分布的磁場，軸向磁感應強度Hz為[1]

(1)

其中，z′為陀螺在平衡位置附近的縱坐標，ρ為平衡位置附近徑向微小位移，H0代表在z=0,ρ=0處的磁感應強度.系數α1,α2,…只與軸向分量Hz有關

(2)

不失一般性，設H0>0,忽略高次項，并假設陀螺是磁矩為m的磁偶極子，則磁場H施加給陀螺的力為

fm=μ0m·H

(3)

其中,μ0=4π×10-7H/m，陀螺平衡的條件是

μ0mα1H0=Mg

(4)

假設陀螺自身的磁矩與底座產生的磁場H平行 ，即

(5)

將式(5)代入式(3)，得到陀螺受到的力為

(6)

利用磁感應強度的展開式和公式(4)，減去平衡條件，得陀螺受到的力為

(7)

(8)

α1<0,α2>0,α12>4α2

(9)

圖3 陀螺受力分析示意圖

3.2 方形永磁體磁場分布的解析表達式

通過上述分析可知，利用底座磁場分布的解析表達式，即可得出陀螺懸浮的高度范圍.將底座簡化為沿一個方向均勻充分磁化且達到飽和狀態的方形永磁體[2～5]，認為磁體內部磁化矢量M為常量、永磁體在宏觀上表現為只有表面電流而無體電流存在，外部空間中任意一點的磁場僅由永磁體表面閉合電流環路所激發，則規則的方形底座在軸線處產生磁場的磁感應強度為[2]

(10)

3.3 確定陀螺懸浮高度的簡化方法

根據陀螺穩定懸浮的條件和方形永磁體磁場分布的解析表達式，本文提出一種確定陀螺懸浮高度的簡化方法.該方法通過只測量規則磁體外一點處的磁感應強度，來確定式(10)中永磁體的等效電流密度J，然后利用式(2)計算α1,α2,4α1-α22,從而確定陀螺懸浮高度.該方法最大優點是省去了測量該磁體軸線上多點處磁感應強度的步驟，對于規則磁性底座使用時簡單方便.

對于本實驗使用的邊長、厚度分別為2a=10.00 cm，h=1.00 cm的方形永磁體磁體，將圖2中任一點代表的磁感應強度值代入式(10)，求得對應的J為1.65×106A/m2，根據式(10)計算中軸線上離開永磁體上表面不同距離處的磁場強度，如圖4所示.可以看出方形永磁體磁場強度解析式在一定誤差范圍內能夠準確反映本實驗所用磁性底座磁場分布情況.

測量高度z′/cm

根據方形永磁體軸線處磁場分布式，解析計算了α1，α2，α12-4α2，結果如圖5所示，該圖為放大后的圖像，α1<0的條件已滿足，從圖中可以看出陀螺穩定懸浮的區間為3.26～3.97 cm.

測量高度z′/cm

測量高度z′/cm

4 比較分析

4.1 利用多點測量方法得到的懸浮高度

對利用PASCO傳感器測得的分布曲線(圖2)進行多項式擬合，計算α1，α2，4α1-α22,也可得到陀螺能夠穩定懸浮的高度區間為3.17～3.51 cm，如圖7所示.可以看出，該方法與文獻[1]采用的方法相同，適用于各種形狀的磁性底座，但是需要測量多點處的磁感應強度，并且為了提高測量準確性還需提供移動平臺等機械設備，因此與本文提出的簡化方法(只適用于規則形狀的磁性底座)相比顯得較為復雜 .

測量高度z′/cm

4.2 陀螺實際懸浮高度的實驗測量

在陀螺懸浮過程中，拍攝照片，測得實際陀螺穩定區間為3.15～3.69 cm，如圖8所示.

通過上述比較可以看出,利用簡化方法得到的穩定區間(3.26～3.97 cm)，與利用文獻[1]采用的方法得到的穩定區間(3.17～3.51 cm)，以及實驗觀察到的穩定區間(3.15～3.69 cm)在一定誤差范圍內是一致的，從而驗證了上述簡化方法對規則磁體是可靠的.

圖8 實測陀螺懸浮高度

5 結論

本文利用PASCO實驗平臺的磁感應強度測量傳感器，測量了方形永磁體軸線處不同高度上的磁感應強度.然后根據磁懸浮陀螺穩定懸浮的條件和方形永磁體磁場分布的解析表達式，提出了確定陀螺穩定懸浮高度范圍的一種簡化方法.通過對陀螺實際懸浮高度區間的實驗測量，表明所采用的簡化方法能方便確定陀螺懸浮的高度范圍.

參考文獻

1 T.B.Jones, Masao Washizu, Roger Gans. Simple theory for the Levitron .J.Appl.Phys.82(2) :883～888.,15 July 1997

2 茍曉凡, 楊勇, 鄭曉靜. 矩形永磁體磁場分布的解析表達式.應用數學和力學, 2004, 15 (3): 271～278

3 王明勇, 郎志堅, 李國軍. 方形磁體的空間磁場分布.磁性材料及器件, 2001(6):17～20

4 李曉陽，徐金偉，劉宏娟. 矩形磁體三維磁場空間分布.北京工業大學學報, 2008,34 (1):1～6

5 王瑞凱，左洪福，呂萌. 環形磁鐵空間磁場的解析計算與仿真.航空計算技術,20011,41 (5):19～23