一道值得商榷的高考壓軸題

葉玉琴 楊純

(安慶市第二中學 安徽 安慶 246000)

【題目】如圖1所示，坐標系xOy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻強電場，場強大小為E.在其他象限中存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，A是y軸上的一點，它到坐標原點O的距離為h，C是x軸上的一點，到O點的距離為l.一質量為m,電荷量為q的帶負電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點進入電場區域，繼而通過C點進入磁場區域，并再次通過A點，此時速度方向與y軸正方向成銳角.不計重力作用.試求：

(1)粒子經過C點時速度的大小和方向；

(2)磁感應強度的大小B.

圖1

本題為2007年高考全國卷Ⅱ第25題，也即壓軸題，它把帶電粒子在電場中的運動和磁場中的運動結合在一起，涉及了類平拋運動和圓周運動的知識，注重物理過程的分析，把物理過程和物理規律相對應是解決問題的關鍵，本題的解答還對幾何、三角等數學知識有較高的要求，且運算也較復雜，是一道難度較大的力、電綜合題.

高考卷提供的參考答案如下：

解析:(1)以a表示粒子在電場作用下的加速度，加速度沿y軸負方向.

圖2

設粒子從A點進入電場時的初速度為v0，由A點運動到C點經歷的時間為t，則有

(1)

l=v0t

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

設粒子從C點進入磁場時的速度為v，v垂直于x軸的分量為

(4)

由式(3)、(4)得

(5)

設粒子經過C點時的速度v的方向與x軸的夾角為α，如圖2示，則有

(6)

聯立式(3)、(4)、(6)可解得

(7)

(2)粒子從C點進入磁場后在磁場中做速度為v的圓周運動.若圓周的半徑為R，則有

(8)

Rcosβ=Rcosα+h

(9)

Rsinβ=l-Rsinα

(10)

由式(7)、(9)、(10)解得

(11)

由式(5)、(8)、(11)得

質疑：上述解答是常見的標準答案，看似天衣無縫，其實不然.筆者通過認真分析研究，發現本題有不妥之處，若按原題條件進行求解，進一步分析就會得出自相矛盾的結果，現提出來與同仁交流.

矛盾之一：三角形兩邊之和小于第三邊.

在第(2)小題中，P點為圓心，現不妨延長CP交y軸于Q點，如圖3所示.

圖3

(12)

又由第(1)小題解得

于是可解得

所以

(13)

又因為

所以

(14)

比較式(13)、(14)易得出

很顯然，這是一個錯誤的結論.

矛盾之二：三角形的一個內角的正弦值為負.

在原解析中，根據第(1)小題解得的

可得

(15)

將式(11)、(15)代入式(10)可解得

即

sinβ<0

根據前面作圖及分析可知， ∠QAP=β，這表明，在△AQP中，它的一個內角∠QAP的正弦之值為負.

很顯然，這也是一個錯誤的結論.

釋疑：那么，導致以上矛盾的原因是什么？是命題情境不成立還是題給條件多余或是錯誤？經過認真的思考研究，筆者認為原題中粒子由C點做圓周運動再回到A點的情境是成立的，因為由題中條件即類平拋運動軌跡上的點A，點C以及C點的速度方向，可以確定圓心P的位置，因為AC為弦，過C點且垂直于C點速度的直線與弦AC的中垂線的交點即為圓心，也即粒子從C點進入磁場后在磁場中的勻速圓周運動的軌跡是唯一確定的.既然如此，那么“粒子再次通過A點的速度方向與y軸正方向成銳角”這一題給條件就是多余的，甚至可能是錯誤的.正是因為如此，從而造成矛盾.

而在原解析中，我們可以看出圓心的位置是這樣大致確定的，因為粒子做圓周運動再次到達A點時的速度方向與y軸正方向成銳角，所以，過點A的半徑必然在y軸的右側，于是圓心P點即過A點、C點且分別垂直于該點速度方向的垂線的交點在y軸的右側.但事實上，粒子再次回到A點時速度方向是右下方向，而非右上方向，也就是說與y軸負方向成銳角，即題給條件“再次通過A點，此時速度方向與y軸正方向成銳角”是錯誤的.筆者給出證明如下.

圖4

如圖4所示，設粒子從A點進入電場時的初速度為v0，做類平拋運動到C點時粒子速度為v，v的方向與x軸的夾角為α，同時令位移AC的方向與x軸的夾角為θ，如圖4所示，由平拋運動規律知

tanα=2tanθ

進行變形

于是有

sinαcosθ=2cosαsinθ

進一步變形

sinαcosθ-cosαsinθ=cosαsinθ

即

sin(α-θ)=cosαsinθ

因為α，θ均為銳角，所以

0

于是有

sin(α-θ)

即

(α-θ)<θ

兩角差(α-θ)是一個有著雙重物理意義的量.第一，對于粒子在電場中的類平拋運動來說，(α-θ)表示粒子在C點速度方向與位移AC方向的夾角；第二，對于粒子在磁場中的勻速圓周運動來說，(α-θ)表示粒子在圓周上C點速度方向與弦AC的夾角，即弦切角.根據圓的性質知，粒子在磁場中做勻速圓周運動再次通過A點時的速度方向與弦AC的夾角也等于(α-θ)，由分析證明得(α-θ)<θ，這表明粒子再次通過A點時的速度方向是在v0與AC之間，即與y軸正向的夾角大于90°，與y軸負向的夾角為銳角，不僅如此，而且與v0方向，或者說與AC的夾角是確定的.

以上的分析表明，原題中的“再次通過A點，此時速度方向與y軸正方向成銳角”不僅是多余的，而且是錯誤的，所以，筆者建議將原題中“此時速度方向與y軸正方向成銳角”刪去，若考慮降低難度，便于學生求解，則應將此條件改為“此時速度方向與y軸負方向成銳角” 或改為“此時速度方向與y軸正方向成鈍角”.真是一字之差，正誤之別.

第(1)小題解答不受此條件影響，僅第(2)題需調整，現解答如下.

(2)粒子從C點進入磁場后在磁場中做速度為v的圓周運動.若圓周的半徑為R，則有

(16)

圖5

由幾何關系得

Rcosβ=Rcosα+h

(17)

Rsinβ=Rsinα-l

(18)

由式(7)、(17)、(18)解得

(19)

由式(5)、(16)、(19)得

可以看出，條件調整后，只有式(10)發生變化，但所求結果仍與原解析一致.

結語：由于本題是高考全國卷的壓軸題，帶電粒子在復合場中的運動的典型，屬于力、電綜合應用題，覆蓋的知識點多，綜合考查學生的多種能力，所以，自2007年以來，幾乎各種版本的真題集、各種高三教輔資料、沖刺卷包括多種高考網絡資源等等，都有這道高考題及幾乎完全相同的高考卷的參考答案.但也由于本題難度較大，題中出現的錯誤條件隱蔽性強，故不易被教師和學生發現，筆者進入期刊網進行了大量檢索，未檢索出關于對這道高考題進行質疑研究的論文，故作此文，以期與讀者及同仁交流.