水從高處下落時碎裂現象的力學原理分析*

黃婷

(廣西民族師范學院物理與電子工程系 廣西 崇左 532200)

生活蘊藏著物理，物理離不開生活，利用物理知識來分析、解釋生活中各種奇妙的現象是體現“從生活走向物理”理念的主要途徑，同時體現出物理本身的無窮魅力.在日常生活中，常常會看到這樣的現象，從高臺向下倒水，大片的水在下落的過程中突然分散開來，水滴破碎時的樣子如同天女散花，十分好看.而不同大小的水滴碎裂的時間點和碎裂時下落的距離也不同，為什么會出現這樣的現象呢？下面從力學的角度來進行分析.

1 水滴下落時為什么會碎裂

水滴下落時，在空氣動力的作用下以多種形式裂化，裂化形式取決于水滴周圍的氣體流動模式，橢球形形變是在較穩定氣流中產生也最常見的一種.水滴在下落過程中受氣體壓力作用將水滴由球形逐漸壓扁為橢球形、杯形及半水泡形.當水滴與氣流的相對速度大于臨界速度時，半水泡形水滴的上部首先爆裂，形成邊緣厚度不均的環狀，氣流吹在環狀液滴上使邊緣撕裂成片狀，中心形成大量的小水泡，最終碎裂成各種尺寸的細小水滴或小水泡[1].

2 水滴運動方程的確定

在水滴下落過程中，無風情況下，將質量為m，密度為ρ的水滴簡化為一半徑為r的球形，為了計算方便，作如下假設：

(1)水滴在下落過程中其溫度、粘性、密度等介質參數不變.

(2)由于水滴密度遠大于空氣密度，由壓力梯度而引起的力和表觀質量力都很小.可忽略不計，同時還可忽略氣動升力，因此只考慮作用在水滴上的空氣阻力和重力.

在理論力學中所說的“與物體速度一次方成正比的阻力”，指的就是粘滯阻力.在空氣中運動速度不十分快的物體，受到的阻力主要是粘滯阻力.水滴下落的速度比較小且假設跟空氣沒有相對速度，所以近似地認為空氣阻力F與水滴速度的一次方成正比[2]，即

F阻=-kv=-6πηrv

(1)

式中，η為粘滯系數；v為水滴下落的速度；r為水滴的半徑.

由牛頓第二定律，水滴運動方程可寫成

(2)

(3)

由于水滴沿豎直方向運動，并取水滴運動方向為正.整理式(3)可得

(4)

設t=0時，v=0，對式(4)進行一次積分得

(5)

對式(5)再積分一次，并利用初始條件t=0時，y=0定積分常數，可得水滴下落的距離與時間的關系為

(6)

3 水滴破碎條件

由文獻[1]可知，水滴碎裂主要與阻力和表面張力之比的韋伯數We有關，而

(7)

式中，ρg為空氣密度，σ為水的表面張力系數，D為水滴的直徑，ud為氣液體的流速差，因為本文中令空氣靜止，所以ud就為水滴的下落速度v，則韋伯數變為

(8)

水滴碎裂的條件為[1]

(9)

整理得水滴碎裂時的臨界韋伯數為

(10)

式中，CD是取決于碎裂條件的常數，帶有下標“b”的參數為碎裂時的參數.由式(10)可得到水滴在某一速度v下，最大的穩定直徑

(11)

文獻[3]研究指出當液體相對速度較低時，8≤We≤30.所以取一個韋伯數We，帶入式(10)，就可得到碎裂條件的常數CD，如果已知水滴的直徑，根據式(11)就可以算出水滴碎裂的速度.由前面推導出的式(5)和式(6)，又可以求出碎裂的時間和碎裂的位置.

(1)水滴碎裂時的臨界速度

(12)

(2)水滴碎裂時的時間

由式(5)得

(13)

(3)水滴碎裂時已下落的距離

把碎裂的時間帶入式(6)，可以求出水滴碎裂時已下落的距離為

(14)

4 結論

在穩定的氣流中，水滴下落過程中的碎裂除了跟無量綱的韋伯數We有關外，還與水滴的直徑D,水的表面張力σ,空氣密度ρg以及水的粘滯系數η有關，而水的表面張力σ,空氣密度ρg以及水的粘滯系數η一般是定值，如果韋伯數We取定，水滴的直徑越大，就越快碎裂，下落的距離就越小.

參考文獻

1 曹建明.噴霧學.北京:機械工業出版社,2005.20～21

2 漆安慎,杜嬋英.力學基礎.北京:高等教育出版社,1982. 60

3 蔡斌,李磊,王照林. 液滴在氣流中破碎的數值分析.工程熱物理學報，2003，24(4)：613～616