兩類似是而非的浮體問題的求解*

龔添喜

(湖南科技大學物理與電子科學學院 湖南 湘潭 411201)

1 問題的提出

【題1】設想從某一天起，地球的引力減小一半(或增倍)，那么對于漂浮在水面上的船來說，下列說法中正確的是

A. 船受到的重力將不變，船的吃水深度也不變

B. 船受到的重力將不變，船的吃水深度減少(增加)

C. 船受到的重力將減少(增加)，船的吃水深度不變

D. 船受到的重力將減少(增加)，船的吃水深度減少(增加)

【題2】一塊木頭浮于燒杯內的水面(圖1)，現使燒杯以加速度a上升，問對浮起的木塊有什么影響？[1]

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圖1 加速上升的水杯

2 問題分析與討論

2.1 引力場問題

對于第一題，許多學生很容易陷入直觀判斷，地球引力減少(增加)，即物體受到的重力減少(增加)，因此，所受的浮力相應減少(增加)，即排開液體的體積減少(增加)，從而船的吃水深度相應減少(增加)，就選了選項D.而沒有全面地考慮到，地球對地球附近所有物體的引力作用都會變化.正確解法如下.

方法1：由浮力產生的成因，浸在液體中的物體所受到的浮力等于液體對物體底面所受液體向上和向下的壓力差.因此有

F浮=ρ液gh下S-ρ液gh下S=ρ液gSΔh

(1)

式中S為浸入液體中物體的橫截面積.

物體所受重力

G=mg

(2)

地球引力變化時，即重力加速度g值改變，比較式(1)和式(2)，不難看出，物體所受到的浮力和重力是同時等值變化的.因此，可以得到在原來的狀態下物體所受相應的浮力與重力仍然保持平衡，即船的吃水深度不變，所以，正確的選項應為C.

方法2：由阿基米德原理，浸在液體中的物體所受到的浮力等于物體排開的液體所受到的重力.因此，有

F浮=ρ液gV排

(3)

比較式(3)和式(2)，可以得到，地球引力引起g值改變時，船所受到的重力和船排開的水所受到的重力是同時變化的，所以，船的吃水深度不變，因此答案為選項C.

2.2 慣性力場問題

對于第二題，情況更復雜些，有些學生認為這時木塊隨著燒杯以加速度a上升，浮力應大于重力，才可以使木塊獲得加速度a，所以，木塊排開水的重量應大于木塊本身的重量，因此木塊應下沉一些.而另有學生認為當燒杯以加速度a上升時，木塊超重，即木塊的視重將大于木塊本身的重量，浮力應等于木塊的視重，因此浮力增大了，從而排開水的體積也增加了，所以木塊會下沉一些.

以上兩種觀點從不同角度分析，得到同樣的結論，似乎很有道理.有的學生甚至聯想到了磅秤，放在磅秤上的物體將會因為磅秤加速上升而示數增大(物體超重)，即彈簧被壓縮的更厲害，從而產生更大的彈力以平衡物體的超重.

經過多方考慮，得到相同的似乎正確的結論即木塊將下沉一些，其實是錯誤的.以上的分析雖然不是全錯但分析不全面.他們忽略了很重要的一點，當燒杯加速上升時，水本身也會超重，即木塊和水同時超重.設木塊的質量為m，燒杯在靜止時木塊排開水的質量為m0.根據阿基米德原理，木塊排開水的重量等于木塊的重量，即

m0g=mg

所以

m0=m

當燒杯以加速度a上升時，木塊超重，視重變為m(g+a)，設這時木塊排開水的質量為m1，則m1的視重應為m1(g+a)，根據阿基米德原理，有

m(g+a)=m1(g+a)

故

m1=m

由此可見，m1=m0，即燒杯靜止和燒杯加速上升時，木塊排開的水的質量相同，故木塊仍然浮于原來的深度.因此，燒杯加速上升時，對木塊的浮沉沒有影響，這才是正確的結論[1].

筆者認為文獻[1]的分析中還忽略了一個問題是木塊的慣性，即木塊原來是處于漂浮狀態，木塊由于慣性要保持原來的靜止狀態，又由于液體的流動性，所以木塊的加速運動會落后于燒杯和水，因此，木塊在燒杯以加速度a上升的最初時期有下沉，從而使木塊受到的浮力大于其重力而改變木塊原來的狀態，運動一段時間后木塊、水和燒杯才具有共同的加速度a.因為題目是問現使燒杯以加速度a上升時，木塊的沉浮變化，所以必須分析其初始狀態.如果問題改為當木塊隨燒杯以加速度a上升時，木塊的沉浮相對于木塊漂浮在靜止的燒杯的水中位置變化情況，那么，情形就與文獻[1]中分析的情形一致，所以題2值得推敲以示嚴謹.

3 結論

以上兩道題在本質上歸屬不同性質的問題.

題1論述的是引力場問題，引力場以光速傳播是瞬間同時作用到處于場中的所有物質上，所以，處于引力場中的一定區域的所有物體所受到的引力大小會同時改變.

題2論述的是慣性力場問題，慣性力因物體間相互作用力的傳播而存在滯后性.

圖2 理想實驗室

考慮在局域空間的一個假想實驗，如圖2所示，在一個封閉實驗室中的觀察者發現，其中一物體對彈簧測力計的拉力為mg，方向向下.他無法區分所在參考系屬于下列兩種情形中的哪一種.情形之一，系統正在遠離引力源的太空，實驗室以加速度g向上運動.此時這一局部空間中存在一個慣性力場，物體m受到一個虛力(慣性力)mg的作用.情形之二，系統停留在一個永久引力體的表面，其局部引力場的場強為g(正如在地面上的物體受到地球的引力)，此時物體受到實力(引力)mg的作用.

因此在局部空間區域，不可能將虛構的慣性力場和真實的引力場區分開來，兩者的動力學效應之間存在著局部等效性.此即愛因斯坦在廣義相對論理論中提出的等效原理：慣性力場和引力場的動力學效應是局域不可分辨的[2].

當局域內的物體處于同一個慣性力場時，這時物體的慣性加速度和引力加速度是等效的.此處的局域表明引力場是均勻穩定的，相應的慣性力場也是均勻穩定的.而題2中在燒杯以加速度a運動的初始時刻，燒杯和水即刻在一個場強為g的引力場和加速度為a的慣性力場的疊加場(g+a)中運動，但對木塊而言是在一個場強為g和另一個不穩定慣性力場的疊加場中運動.只有在運動一段時間后木塊、水和燒杯三者都以加速度a運動時，題2與題1相類似，等效于在地球引力場增大到g+a的情形，所以,這時木塊浮在水中的位置和燒杯靜止時木塊漂浮于水中的位置一致，即木塊、水和燒杯一起以加速度a運動時，對木塊沉浮狀態沒有影響.

參考文獻

1 王秉謙. 趣味課外物理. 北京：北京理工大學出版社, 2006.132～133

2 王永久. 引力理論(上冊) . 北京：科學出版社， 2011.58～60