一種特殊的單位制
——“準(zhǔn)自然單位制”

蔡志東

(鎮(zhèn)江高等專科學(xué)校丹陽校區(qū)教師教育系 江蘇 丹陽 212300)

1 引言

迄今為止，眾多文獻(xiàn)[1～4]在介紹自然單位制時(shí)，都沒有對(duì)自然單位制的來龍去脈和本質(zhì)特征進(jìn)行詳細(xì)的闡述.比如為什么要引進(jìn)自然單位制？為什么能夠引進(jìn)自然單位制？為什么可以隨意地令常數(shù)c=?=G=me=e=1？能否隨意地令阿伏伽德羅常數(shù)NA=1？

本文將圍繞這些問題，對(duì)自然單位制的來龍去脈和本質(zhì)特征進(jìn)行詳細(xì)的闡述，并糾正一些人的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).通過引入“準(zhǔn)自然單位制”的概念，幫助讀者更好地理解自然單位制.

2 國際單位制簡(jiǎn)介

2.1 國際單位制中的基本單位和輔助單位

國際單位制是目前應(yīng)用最為廣泛，也是大家最熟悉的單位制.其基本單位有7個(gè)，即時(shí)間單位秒(s)、長度單位米(m)、質(zhì)量單位千克(kg)、電流單位安培(A)、熱力學(xué)溫度單位開爾文(K)、發(fā)光強(qiáng)度單位坎德拉(cd)、物質(zhì)的量的單位摩爾(mol),此外還有兩個(gè)輔助單位即平面角的單位弧度(rad)、立體角的單位球面度(sr).

2.2 國際單位制中的基本單位與基本物理常量之間的關(guān)系

國際單位制中的7個(gè)基本單位和基本常量有一定的關(guān)系，見表1.

表1 與基本單位相關(guān)的基本常量

注：表1僅僅列出了一部分與基本單位相關(guān)的基本常量，而沒有列出所有的相關(guān)常量.此外，力學(xué)中的三個(gè)基本單位s，m，kg也并不是和三個(gè)常量?,c,G一一對(duì)應(yīng)(正因?yàn)槿绱耍@三個(gè)表格中的線為虛線而非實(shí)線).常數(shù)π與發(fā)光強(qiáng)度相關(guān)是因?yàn)檎麄€(gè)空間的立體角為4π.

3 國際單位制的缺陷

自國際單位制推廣以來，各國科學(xué)家采用統(tǒng)一的單位描述自然現(xiàn)象和規(guī)律，這對(duì)科學(xué)進(jìn)步和普及起到了巨大的促進(jìn)作用.但是這個(gè)單位制也有一些不足，如基本單位定義的隨意性.究竟多長的時(shí)間叫做1 s？多長的距離叫做1 m？多少物質(zhì)叫做1 kg？——這都是人為的約定(當(dāng)然不是絕對(duì)的隨意，它的定義至少必須方便日常生活以及盡可能便于精密測(cè)量). 由于這種隨意性，導(dǎo)致了基本單位量度上的不精確性，應(yīng)用上的局限性，邏輯上的不統(tǒng)一性.因此，尋找一種自然的，精確的單位制就是一種必然.

4 幾種常見的自然單位制

表2列出了幾種常見的自然單位制.自然單位制和SI制不同，它的基本單位不是隨意規(guī)定的，而是根據(jù)基本物理常量得出的，并且7個(gè)量綱縮減為一個(gè)量綱.

表2 常見自然單位制一覽表

5 “準(zhǔn)自然單位制”

5.1 “準(zhǔn)自然單位制”的概念

與眾多專家學(xué)者一樣，在各種自然單位制中，筆者特別推崇“普朗克單位制”，因?yàn)樗幕締挝徊皇怯媚骋惶囟Ｗ拥奶囟▍?shù)來定義的，而是以普適常量來定義的.而像原子物理或量子色動(dòng)力學(xué)中采用的單位制那樣，以電子質(zhì)量或質(zhì)子質(zhì)量為質(zhì)量的基本單位，顯得并不那么自然，其適用范圍也必定相當(dāng)有限.普朗克單位制是真正自然的單位制.下面我們將在此基礎(chǔ)上引入一種和它相似的單位制——“準(zhǔn)自然單位制” .

前面已經(jīng)提到，多長的時(shí)間叫做1 s？多長的距離叫做1 m？多少物質(zhì)叫做1 kg？多高溫度叫做1 K？多少電荷叫做1 C？(或多大電流叫做1 A?)這純粹是人為規(guī)定的.既然如此，我們當(dāng)然可以重新定義一個(gè)新的“秒、米、千克、開爾文、庫侖(安培)”，它使相關(guān)的普適常量的數(shù)值恰好等于1,即

下面來證明，我們確實(shí)可以做到這一點(diǎn).

設(shè)新的“秒、米、千克、開爾文、庫侖”分別用符號(hào)s′,m′,kg′,K′,C′來表示，并令新單位和舊單位之間的比例系數(shù)分別為α,β,γ,δ,λ，即

1 s′=αs,1 m′=βm

1 kg′=γkg,1 K′=δK,1 C′=λC

反之有

1 s=α-1s′,1 m=β-1m′,1 kg=γ-1kg′

1 K=δ-1K′,1 C=λ-1C′

要使“約化普朗克常量”?=1，也就是使

?≈1.055×10-34J·s=

1.055×10-34kg·m2/s=

1.055×10-34×(α/γβ2)× kg′·m′2/s′=

1 kg′·m′2/s′

即數(shù)值上有

γβ2/α=?

(1)

同樣，要使光速c=1, 也即

c≈3×108m/s=3×108(α/β) m′/s′=1 m′/s′

于是在數(shù)值上有

β/α=c

(2)

類似地，要使萬有引力常量G=1，也即

G=6.67×10-11N·m2/kg2=

6.67×10-11m3/(kg·s2)=

6.67×10-11(γα2/β3) m′3/(kg′·s′2)=

1 m′3/(kg′·s′2)

于是數(shù)值上有

β3/γα2=G

(3)

要使玻爾茲曼常量kB=1即

kB=1.38×10-23J/K=

1.38×10-23kg·m2/(s2·K)=

1.38×10-23(α2δ/γβ2) kg′·m′2/(s′2·K′)=

1 kg′·m′2/(s′2·K′)

于是有

γβ2/α2δ=kB

(4)

若要靜電力常量Kj=1,即

9×109kg·m3/(s2·C2)=

9×109(α2λ2/γβ3) kg′·m′3/(s′2·C′2)=

1 kg′·m′3/(s′2·C′2)

于是有

γβ3/α2λ2=Kj

(5)

聯(lián)立方程(1)、(2)、(3)即可得到比例常數(shù)α,β,γ.具體做法是把式(2)分別代入式(1)和式(3)得到

于是我們得到“新的1 m”和舊的1 m之間的關(guān)系式

將β的表達(dá)式代入式(2)可得

α,β,γ求出后就很容易求出δ,λ.

把α,β,γ的表達(dá)式分別代入式(4)和(5)可得

1.876×10-18C

上述5個(gè)比例常數(shù)α,β,γ,δ,λ數(shù)值上恰好等于普朗克時(shí)間、長度、質(zhì)量、溫度、電荷,即tP,lP,mP,TP,qP.由“新的庫侖”和“新的秒”可以構(gòu)成新的電流強(qiáng)度單位即新的安培A′.

1A′=1 C′/s′=(qP/tP) A=

IP即為普朗克電流.

1(cd)′/(cd)=1W′/W=1(J′/s′)/(J/s)=

1(kg′·m′2/s′3)/(kg·m2/s3)=1γβ2/α3=

即

1W′=3.628×1052W=PP=c5/G

1cd′=3.628×1052cd

這里的PP=c5/G就是普朗克功率.由此可知，我們無需重新定義新的坎德拉，由新定義的5個(gè)基本單位(即新的“秒、米、千克、開爾文、安培或庫侖)完全可以確定新的坎德拉.7個(gè)基本單位中還剩下最后的一個(gè)單位摩爾沒有重新定義.這最后一步最艱難，也是許多人最容易犯錯(cuò)誤的一步！

5.2 摩爾的新定義和電子質(zhì)量的關(guān)系

從原則上講，除了純粹的數(shù)學(xué)常數(shù)(比如圓周率π或精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α′)之外，幾乎一切有量綱的物理常量均可以通過重新選擇合適的單位制而使其為1，但是有一個(gè)例外，那就是阿伏伽德羅常數(shù)NA，它是絕對(duì)不可以等于1的！文獻(xiàn)[2]為了引進(jìn)所謂的自然單位制而令NA=1的做法是十分荒謬的.筆者查閱了許多文獻(xiàn)，除文獻(xiàn)[2]之外，從來沒有哪本書中有NA=1的，文獻(xiàn)[2]的做法是完全錯(cuò)誤的！

摩爾這個(gè)基本單位與所有其他的基本單位有質(zhì)的區(qū)別，一切其他單位，從原則上講，其大小都可以隨意變化，隨意規(guī)定.比如長度單位米，你把多長的距離叫做1 m是無所謂的，隨你怎么定都可以.其他如秒、千克、開爾文、庫侖(或安培)、坎德拉等也是如此.但是摩爾是不能隨意變化、隨意規(guī)定的(當(dāng)然可以在一定的范圍內(nèi)變化，有一定的自由度).

1971年第十四屆國際計(jì)量大會(huì)規(guī)定：“摩爾是一系統(tǒng)的物質(zhì)的量，該系統(tǒng)中所包含的基本單元數(shù)與0.012 kg碳-12的原子數(shù)目相等(這個(gè)數(shù)目就是阿伏伽德羅常數(shù)NA).使用摩爾時(shí)應(yīng)予以指明基本單元，它可以是原子、分子、離子、電子及其他粒子，或是這些粒子的特定組合.”摩爾好似一座橋梁，把單個(gè)的、肉眼看不見的微粒跟大數(shù)量的微粒集體、可稱量的物質(zhì)之間聯(lián)系起來.摩爾的概念最初來自于阿伏伽德羅定律.

1811年阿伏伽德羅發(fā)現(xiàn)了以他的名字命名的“阿伏伽德羅定律”：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下(0℃，1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓)，同體積的任何氣體都含有相同數(shù)目的分子，而與氣體的化學(xué)組成和物理性質(zhì)無關(guān). 反過來，由此定律可知，相同數(shù)目的任何氣體分子在同體積的情況下，將產(chǎn)生相同的宏觀壓強(qiáng)和溫度！正是基于這一點(diǎn)，我們才有可能和必要引入摩爾這個(gè)單位.

摩爾是物質(zhì)的一種量度方法，它和質(zhì)量(它也是物質(zhì)的一種量度方法)不同之處在于，質(zhì)量只關(guān)心物質(zhì)的多少，無論量度的對(duì)象是大還是小，是單個(gè)粒子還是粒子集團(tuán)(系統(tǒng))都是一樣的.這種量度方法的優(yōu)點(diǎn)是統(tǒng)一性，其缺點(diǎn)是忽略了“量變質(zhì)變規(guī)律”，它認(rèn)為一個(gè)系統(tǒng)所包含的單元數(shù)不論多少都是一樣的，其實(shí)不然.當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)所包含的粒子數(shù)較少時(shí)，系統(tǒng)的演化規(guī)律與單個(gè)粒子的規(guī)律相差不大(可以在單個(gè)粒子的規(guī)律基礎(chǔ)上通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得系統(tǒng)的演化規(guī)律)，但是，當(dāng)粒子數(shù)目多到一定程度時(shí)，量變就會(huì)引起質(zhì)變，此時(shí)，系統(tǒng)所遵循的規(guī)律是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，它與單個(gè)粒子的規(guī)律截然不同！一些宏觀的物理量(比如壓強(qiáng)和溫度等)也只有在粒子數(shù)多到一定程度是才有意義(一個(gè)分子不存在壓強(qiáng)，也沒有宏觀上的溫度).

選擇自然單位制的目的是為了簡(jiǎn)化規(guī)律或方程的數(shù)學(xué)形式，絕對(duì)不是推翻或否定規(guī)律.而像文獻(xiàn)[2]那樣令NA=1(即規(guī)定每一摩爾為一個(gè)粒子)，就已經(jīng)完全徹底地否定了量變質(zhì)變規(guī)律或統(tǒng)計(jì)規(guī)律.無論我們選擇什么樣的單位制，有一點(diǎn)絕對(duì)不能更改,即摩爾必須是一個(gè)溝通宏觀物理量和微觀物理量之間的橋梁！

由此可知，引入摩爾時(shí)，必須遵循三個(gè)基本原則：一是宏觀性(一個(gè)摩爾必須是一個(gè)看得見、摸得著的宏觀系統(tǒng)，即在質(zhì)量和體積上都不能太小)；二是統(tǒng)計(jì)性(這個(gè)宏觀系統(tǒng)所遵循的規(guī)律不同于少數(shù)粒子的規(guī)律)；三是溫度等概念的有價(jià)值性(這個(gè)宏觀系統(tǒng)可以用一些宏觀的物理量比如溫度來描述，對(duì)氣態(tài)物質(zhì)還可以用壓強(qiáng)來描述).

在上述三個(gè)基本原則下，我們?nèi)匀挥邢喈?dāng)?shù)淖杂啥葋斫o摩爾下一個(gè)全新的定義而不必拘泥于現(xiàn)在的定義.把多少粒子集團(tuán)叫做一個(gè)摩爾？這是相當(dāng)自由的(前提是不違反上述三個(gè)原則)，比如你把現(xiàn)在的1 mol(即NA=6×1023個(gè)微粒集團(tuán))的十分之一叫做一個(gè)新的摩爾(即規(guī)定6×1022個(gè)粒子集團(tuán)叫做一個(gè)新摩爾)是完全可以的(這么多粒子組成的系統(tǒng)，其質(zhì)量、體積都是看得見、摸得著的，即使是電子集團(tuán)，其質(zhì)量也比一粒灰塵大許多.溫度也是有意義的).但是你不能把一個(gè)分子或一個(gè)電子叫做1 mol(一個(gè)粒子不是宏觀系統(tǒng)，也沒有溫度與壓強(qiáng)等概念).

當(dāng)初給摩爾下定義時(shí)并沒有什么絕對(duì)充足的理由(把12 g碳-12中的原子數(shù)NA叫做1 mol，一是因?yàn)?2 g碳是一個(gè)宏觀物質(zhì)系統(tǒng)，二是因?yàn)樘?12的原子量可以精確測(cè)量，其實(shí)，選用別的數(shù)目也是可以的).究竟如何給摩爾下一個(gè)新的定義？筆者給出一種很奇特的方法.

新的摩爾和舊的摩爾之比

2.4×1022/6×1023=0.04=kC

這個(gè)比例常數(shù)暫時(shí)可以稱之為“蔡氏常數(shù)”.即我們只需要把原先的摩爾或NA乘以4%即可得到新的摩爾和新的阿伏伽德羅常數(shù)！

至此，7個(gè)基本單位已經(jīng)得到了全部改造或重新定義.新的“準(zhǔn)自然單位制”和舊的國際單位制之間的關(guān)系如表3所示.

表3 “準(zhǔn)自然單位制”和國際單位制基本單位之間的關(guān)系

5.3 “準(zhǔn)自然單位制”與國際單位制之間的關(guān)系

電子的電荷與普朗克電荷的比值為

這里α′為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù).即電子的電荷也可以從普適常量和精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)導(dǎo)出.

6 “準(zhǔn)自然單位制”和(普朗克)自然單位制的區(qū)別與聯(lián)系

“準(zhǔn)自然單位制”和(普朗克)自然單位制的區(qū)別有兩點(diǎn)：一是前者有7個(gè)量綱而后者只有一個(gè)量綱(通常是能量的量綱)，這導(dǎo)致前者基本物理常量?,c,G,kB,K都是有量綱的，而后者大部分都是無量綱的純數(shù)(比如光速c和約化普朗克常量?就是純數(shù)字1)；二是前者給出了7個(gè)基本單位特別是發(fā)光強(qiáng)度坎德拉和物質(zhì)的量摩爾的新定義，并由此得出了新的摩爾和電子質(zhì)量的關(guān)系，而后者沒有.

兩者的聯(lián)系是緊密的，由于一切物質(zhì)歸根結(jié)底是能量的不同表現(xiàn)形式，因此7個(gè)量綱當(dāng)然可以縮減為一個(gè)量綱(如能量)，這實(shí)際上表明了自然界本質(zhì)上的統(tǒng)一性.這樣，我們不僅可以使基本物理常量的數(shù)值等于1，而且可以使它們等于一個(gè)數(shù)學(xué)上的純數(shù)1.

筆者相信，通過本文的推導(dǎo)，可以使讀者理解“為什么我們可以隨意地令許多物理常量等于1？”，并對(duì)這些普適常量背后隱藏的秘密產(chǎn)生興趣.

注：球面度為一立體角，其頂點(diǎn)位于球心，而它在球面上所截取的面積等于以球半徑為邊長的正方形的面積，在歐幾里得平直時(shí)空中，整個(gè)空間的立體角為4π球面度.

參考文獻(xiàn)

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4 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷1.北京:科學(xué)出版社,2000.536～537