重力勢能之佯謬

張輝鵬

(惠安第一中學 福建 泉州 362100)

“物體由于被舉高而具有的能叫勢能；某物體在某高度具有多少重力勢能；物體從高處下落，其重力勢能減少，動能增加……”，各種簡略的說法已經被師生所熟悉，已導致學生錯誤地認為：重力勢能是物體本身所具有的，甚至要教師真正解讀出“重力勢能是屬于地球和物體所組成的這個系統”的來龍去脈都有一定的困難.筆者將系統詳細地論證重力勢能(當然包括其他形式的勢能)是屬于系統的.

1 準備知識

系統內的一對作用力和反作用力所做的總功與參照系的選擇無關.

在某一力學系統內，作用力的功和反作用力的功并不一定總是等值反號的，或者說它們的總功一般并不為零，這在系統內部各物體間存在相對位移的情況下是明顯的.

【例題】質量為m的子彈以水平速度v0擊中置于光滑水平面上質量為M的木塊，射入深度為s0，木塊和子彈最后具有共同速度v，現在我們計算子彈與木塊之間的一對相互作用力f和f′的總功W總(設f和f′為常量).

方法1：取地面為參照系

如圖1所示，子彈對木塊的作用力f對木塊所做的功為

Wf=fs

式中s為木塊的位移.

木塊對子彈的反作用力f′對子彈所做的功為

Wf′=-f′(s0+s)

由f=f′,得這一對摩擦力的總功為

W總=Wf+Wf′=-fs0

這里s0表示相對位移，可見存在相對運動的情況下一對相互作用力的總功并不互相抵消.

圖1

方法2：取木塊M為參照系

子彈對木塊所做的功Wf=0，而木塊對子彈的反作用力f′對子彈所做的功為

故這一對摩擦力的總功為

我們還可以選取任意其他物體做參照系，應用大學普通物理知識推出同樣的結論，即在任何參照系中(不論是慣性參照系還是非慣性參照系)，一對作用力和反作用力做功的總和是相同的，其數值僅取決于力和質點間的相對位移[1].

2 重力勢能的引入

在大學普通物理中，勢能的概念是在保守力概念的基礎上提出的，通常教科書上都是通過對重力、彈力、引力做功的計算，指出這些力做功的一個共同特點：僅僅與受力質點的始末位置有關，而與質點通過的路徑無關.因此，我們把具有這種性質的力稱為保守力.

例如,在計算質量為m的物體在重力作用下自a點經豎直平面曲線acb運動到b點時(圖2)，若以地面為參照系，取y軸豎直向上，則重力所做的功為

由于這個功的值跟物體從a到b所經過的路徑無關，所以重力是保守力.

圖2

有了保守力的概念，關于勢能的概念，常常是這樣說的：當物體系內各物體的相對位置發生變化，保守力就要做功，因保守力做功僅與系統中各物體的始、末的相對位置有關，而與變化路徑無關，因此我們可以引入一個僅由系統中各物體的相對位置所決定的物理量Ep，并規定它的減量等于保守力在此過程中所做的功，即

Ep1-Ep2=W

這個物理量Ep就叫系統的勢能.

3 對重力勢能的一些疑問

對這樣引入的重力勢能的概念，常常會遇到這樣一些問題：

(1)重力勢能的值是否跟參照系有關？

(2)在計算重力勢能時，地球是作為參照系還是作為研究對象？

(3)重力做功與路徑無關指的是一個重力做功跟路徑無關，還是指一對相互作用力和反作用力的總功跟路徑無關？

(4)按上面計算重力的功并引入重力勢能，地球是作為參照系出現的，為什么又說重力勢能是屬于地球和物體這個系統所共有?

這些問題就是高中階段師生對重力勢能這個重要的物理概念似是而非，甚至出現錯誤觀點之所在，下面予以詳細論證回答.

4 理解掌握重力勢能

現行高中教材不講保守力及保守力做功，查找了一些普通物理教材，講到保守力做功跟路徑無關時，也沒有明確指出是一對作用力和反作用力的總功與路徑無關，還是一個力(如重力)做功與路徑無關，按教材舉例說明，感覺是指后者.

事實上，在研究重力勢能時，我們是取物體和地球為系統，計算物體和地球之間的這一對相互作用力的總功.對物體和地球這個研究對象，我們在準備知識中已證明了,這樣一對相互作用力的總功跟參照系選取無關，只決定于系統本身相對位置的變化.取地球為參考系計算僅僅是為了使功的計算較簡便，因為,這時物體對地球的作用力不做功，這一對相互作用力的總功就等于地球作用在物體上的重力所做的功.實際上如果不取地球為參照系，這一對相互作用力的總功也仍然等于mg(ha-hb)，所以地球實質上與物體一樣是作為研究對象出現的.也就是說，mg(ha-hb)不應理解為僅僅是作用在物體上的重力的功，否則很顯然這功的數值跟參照系選取有關了，不取地球為參照系，這個數值就不同了.式中(ha-hb)也應理解為物體和地球系統的相對位置變化.

正因為保守力的功與路徑無關指的是一對相互作用力的總功，因此重力勢能總是屬于地球與物體這個系統共有的.

參考文獻

1 力學(上冊) .福建師范大學物理系普通物理教研室編.1981