“選系法”在力學問題中的應用

劉俊娟

(河北師范大學附屬民族學院 河北 石家莊 050091 )

魏增江

(石家莊理工職業學院 河北 石家莊 050228)

在力學中，參考系的選擇是一個十分重要的問題.因為運動的描述是相對的，即同一物體的運動相對于不同參考系有不同的描述，也就是說，物體的運動只能相對于選定的參考系來確定，所以，處理任何一個力學問題，必須首先選定參考系.

參考系分為慣性參考系(簡稱慣性系)與非慣性參考系(簡稱非慣性系)兩類.慣性定律即牛頓第一定律成立的參考系稱為慣性系，反之稱為非慣性系[1].慣性定律定義了慣性系，牛頓第二定律是在慣性系中由實驗得出的力和加速度之間的定量關系，因此，牛頓第二定律只適用于慣性系.由牛頓定律導出的動量定理、角動量定理、動能定理、功能原理、動量守恒定律、角動量守恒定律以及機械能守恒定律等規律也只適用于慣性系.如果要在非慣性系中應用牛頓定律、動量定理、角動量定理、動能定理等規律，則必須要考慮慣性力，但由于慣性力沒有反作用力，所以,必須把它作為外力來考慮.處理實際問題時，如何選取參考系，由問題的性質和處理簡便與否而定.

1 升降機的加速度[2]

圖1

【例1】在加速上升的升降機中，相對于升降機以u的速度豎直上拋一物體，物體未能達到天花板便返回手中.已知物體在空中的時間為t，求升降機豎直向上的加速度.

解析：設t=0時升降機的速度為v.

方法1：選地面為參考系(慣性系)，如圖1所取坐標，分別以升降機及物體為研究對象，根據勻變速直線運動公式，對升降機底板有

(1)

對物體有

(2)

聯立式(1)、(2)解得

方法2：選升降機為參考系，取坐標豎直向上.以物體為研究對象，根據勻變速直線運動公式及加速度變換公式有

故

結果完全相同，兩種方法相比，顯然后一種方法比較簡便.

可見，對于運動學的問題，由于不需要考慮慣性力，因此,參考系的選擇完全是任意的，怎么方便就怎么選.對于動力學問題，如果選非慣性系，就必須考慮慣性力.非慣性系有兩類，一類是直線運動的，另一類是轉動的.下面就以轉動為例，分別用慣性系和非慣性系來求解.

2 可動容器中下滑的物塊[3]

【例2】 如圖2所示，質量為m的小物塊，從內壁為半球形的容器的邊緣滑下.容器放在光滑水平面上.容器質量為M，容器內壁光滑，內壁半徑為R.開始物塊和容器都靜止.求物塊滑至容器內壁的最低點時容器內壁對物塊的作用力.

方法1：選地面為參考系(慣性系)

圖2

圖3

解析：以物塊為研究對象，物塊在容器內壁的最低點受力如圖3所示.根據牛頓第二定律有

(3)

式中v為物塊在容器內壁最低點時的速率，ρ為物塊運動軌道在最低點的曲率半徑.為求出v，選物塊、容器系統，因系統水平方向無外力，故系統水平方向動量守恒.

設物塊滑到容器內壁最低點時容器對地的速率為V.如圖4取坐標，由動量守恒定律有

0=mv-MV

(4)

圖4

選物塊、容器、地球系統，因物塊下滑過程滿足A外+A非保內=0故系統機械能守恒.選光滑水平面為勢能參考面，由機械能守恒定律有

(5)

聯立式(4)、(5)解得

(6)

為求出ρ，須先求出物塊相對地面的軌跡.為此，取固定在地面上的坐標系xOy(稱S系)和固定在容器上的坐標系x′O′y′(稱S′系),如圖5所示.并設物塊開始下滑時t=0，O與O′點重合；在時刻t，物塊在S系的坐標為(x,y),S′系的原點O′在S系中的坐標為(xO′，0)；物塊對容器的速度為v′.則在S′系中，物塊的軌道方程為

(x′-R)2+y′2=R2

(7)

圖5

又易知

y′=y

(8)

因系統水平方向動量守恒，故有

0=m(vx′-V)-MV

(9)

在式(9)兩邊乘以dt后積分得

(10)

又由r=rO′+r′可得

x=-xO′+x′

(11)

將式(10)代入式(11)得

(12)

由式(12)、(8)代入式(7)得

(13)

(14)

把式(14)、(6)代入式(3)解得

方向豎直向上.

方法2：選容器為參考系(非慣性系)

解析：以物塊為研究對象，在容器內壁最低點物塊除受重力G及容器內壁對它的支持力N外，還受慣性力f慣，其方向水平向右.由非慣性系中牛頓第二定律，物塊在豎直方向的運動方程為

(15)

式中v′是物塊在容器內壁最低點相對于容器的速率.

由速度變換有

(16)

代入式(15)中可得

方向豎直向上.

可見，兩種方法結果完全相同.但此題選容器參考系(非慣性系)比選地面參考系求解簡便得多.在慣性系中求解，概念較多，容易出錯，方程較多，求解較繁.

在選定參考系之后，要定量描述、求解運動，必須建立適當的坐標系.建立了坐標系之后，所有矢量都用它們在各坐標軸上的投影來表示.坐標系的選擇是任意的，實踐中主要由問題的性質和處理問題的方便性來決定.

參考文獻

1 康穎. 大學物理(新版)第一版.北京：科學出版社，2005.39～41

2 張三慧.大學物理學.北京：清華大學出版社，2004.39

3 馬文尉.物理學教程.北京：高等教育出版社，2007.40