用摩擦角概念理解自鎖問題

胡雙根 劉 燕

(新余市第四中學 江西 新余 338031)

2012年全國理科綜合能力測試卷第24題是一道與生活現象緊密結合的問題.從我省閱卷統計來看，第二問得分不足3分，得分之低，令人嘆息.

【原題】拖把是由拖桿和拖把頭構成的擦地工具(圖1).設拖把頭的質量為m，拖桿質量可忽略,拖把頭與地板之間的動摩擦因數為常數μ，重力加速度為g.某同學用該拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

圖1

(1)若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小.

(2)設能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動.求這一臨界角的正切tanθ0.

解析：(1)設該同學沿拖桿方向用大小為F的力推拖把.將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，由平衡條件有

Fcosθ+mg=N

(1)

Fsinθ=f

(2)

式中N和f分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力.由摩擦定律有

f=μN

(3)

聯立式(1)～(3)得

(4)

(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運動，應有

Fsinθ≤λN

(5)

這時，式(1)仍滿足.聯立式(1)、(5)得

(6)

現考察使式(6)成立的θ角的取值范圍.注意到式(6)右邊總是大于零，且當F無限大時極限為零，有

sinθ-λcosθ≤0

(7)

使式(7)成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當θ≤θ0時，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動拖把.臨界角的正切為tanθ0=λ.

學生丟分的原因有：

(1)部分學生不清楚這是一個靜力學平衡問題；

(2)絕大多數學生能列出式(5)、(6)，卻想不到F可以取無窮大的極限；

(3)題中定義的臨界角θ0的物理意義不清晰.

針對上述問題，筆者從摩擦角概念來分析本題的幾何意義，可以使以上問題迎刃而解.

圖2

設某物體在另一個物體表面運動時，受到的正壓力為N，摩擦力為f，其合力為F′，它們的矢量關系如圖2所示.則有

把φ稱為滑動摩擦角.由于最大靜摩擦力通常認為等于滑動摩擦力，所以，最大靜摩擦角等于滑動摩擦角，簡稱摩擦角.當N和F′夾角小于摩擦角φ時，則f為靜摩擦力，物體間保持相對靜止.

在滑動摩擦條件下，由于μ為定值，故φ一定為定值.在保持相對滑動條件下，當外界條件變化時，引起N,f變化，但只會引起F′的大小變化，不會改變合力F′的方向.

圖3

置于水平面上的物體質量為m，物體與水平面間的動摩擦因數為μ，現用一與豎直方向成θ角的斜向下的力F推物體，如圖3所示，φ為摩擦角，當θ≤φ時，無論推力F多大物體仍處于靜止狀態，這是一種自鎖現象.因此，本題第(2)問是一個自鎖問題.

由摩擦角的觀點解釋這一自鎖現象，將物體所受的支持力N和摩擦力f合成一個力F′，可以等效認為物體受G，F，F′三個力作用.很明顯，當θ≤φ時，不管推力F多大，物體不可能獲得水平方向的加速度，這時,物體間的摩擦力總為靜摩擦力，保持相對靜止，物體將始終處于靜止狀態，即產生自鎖現象.當θ>φ時，只要推力F足夠大，物體可以獲得水平方向的加速度，使物體運動起來.

由上述分析可知，題中定義的臨界角θ0實際上就是摩擦角，所以，有

tanθ0=λ

摩擦角除了可靈活解決靜力學平衡的難點問題，還可以在摩擦力做功、彎道技術、破冰船船體設計等方面得到應用，限于篇幅，本文不再贅述.

參考文獻

1 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程.力學篇.摩擦角及應用.北京：中學科學技術出版社，2010.264