運用圓的知識求解物理問題

2013-01-12 02:48:12楊國平

物理通報 2013年2期

關鍵詞：磁場方向

楊國平

(紹興市第一中學浙江紹興 312000)

應用數學工具解決物理問題是高考重點考查的能力之一，物理問題經常以圓作為背景來設置情境，充分運用圓的幾何特性來解決物理問題，是數理結合的體現.

1 圓的幾何特性

平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓.定點稱為圓心，定長稱為半徑.在平面直角坐標系中，以點O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是

(x-a)2+ (y-b)2=r2

參數方程是

x=a+rcosθy=b+rsinθ

其中θ為參數.

圓周運動是物理學重點研究的運動形式之一，一般的曲線運動常可化為曲率圓來處理.經常涉及到的幾何性質有：

(1)圓周長c= πd=2πr，圓面積S= πr2；

(2)同一段圓弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角；

2 以圓為載體的習題

(1)循環過程中的最高溫度是多少?

(2)從A到B過程氣體吸收的熱量為多少?

解析：在p-V坐標系中圓的方程為

(p-3)2+ (V-3)2=12

結合克拉伯龍方程

pV=nRT

聯立后消去p，可求出T的極大值.為簡化數學運算，以下改用數形結合的方法來求解.

圖1

(1)由克拉伯龍方程可求得

代入數據得

TA=300 K

同理，TD=300 K =TA，TB= 600 K=TC.對一定質量的理想氣體，溫度越高，在p-V圖上的等溫線(雙曲線)離原點越遠，且每條等溫線(A，D在同一條上，B，C在另一條上)與角平分線垂直.由此可知,與最高溫度對應的狀態(記作H點)的壓強

pH= (3 +1*sin45°)*105Pa

體積

VH= (3 +1*cos45°)*10-3m3

由克拉伯龍方程可求得

代入數據得

TH≈687 K

(2)A到B過程氣體的內能增量

ΔE內=nCVΔT

代入數據得

ΔE內= 900 J

體積增大，氣體對外做功，數值W對應于該段曲線下面所圍的面積，則

|W|≈379 J

根據熱力學第一定律ΔE內=W+Q，求得Q=1 279 J，正值表示吸收熱量.

圖2

圖3

在圖3(a)中，圖線下的面積

代入數據得

S≈34 m2

t=10 s時的加速度a對應于切線PQ的斜率，即

為求線段OP與OQ之比值，在圖3(b)中(把橢圓退化成圓周)，注意到△POQ與△BCO′相似(就算是橢圓中該結論仍成立)，則有

O′C=Rcos30°

代入數據得

3 它們的軌跡是圓周

【例3】如圖4(a)所示，位于豎直平面內的直角支架MON可繞O點旋轉，用兩根細線拉住一個小球，開始時繩AC水平(與OM平行)，現將直角支架順時針緩慢轉過90°，設繩AC上的拉力為F1，繩BC上的拉力為F2，則在此旋轉過程中

A．F1一直增大 B．F1先增大后減小

C．F2一直減小 D．F2先減小后增大

圖4

解析：緩慢轉動過程中F1,F2方向都在變(大小更不用說)，但小球合力為零，畫出小球所受各力的矢量合成圖，注意到F1與F2的合力是不變的，大小等于小球重力，方向豎直向上，選幾個位置作出矢量合成圖，如圖4(b)，由F1，F2兩個力矢量所夾的角β是不變的，根據“圓周上同一段圓弧所對的圓周角相等”，可知F1,F2兩個力矢量的連接點構成的軌跡是圓周.初始狀態F2就在該圓的直徑上，之后F2一直減小，而F1先增大(最大值對應于圓周的直徑位置上)后減小，正確答案是選項B,C.

【例4】如圖5所示，在0 ≤x≤ 2a，-a≤y≤a的正方形某個區域內存在著勻強磁場，方向垂直紙面向里；在直線y=a的上方，直線x= 0與x=2a之間的區域內存在著勻強電場，場強大小為E，方向沿y軸負方向.一質量為m，電荷量為q(q>0)的粒子以速度v從O點垂直磁場方向射入，當v沿x軸正方向時，粒子恰好從A(a,a)點沿y軸正方向射出磁場，不計粒子重力.

(1)求磁感應強度B的大小；

(2)為使從O點射出的粒子飛越磁場后在電場中運動的時間最長，應加什么樣的磁場(寫出所加磁場的邊界方程).