與“礦井”有關的高考物理選擇題的分析與拓展

劉振華

(河北豐潤車軸山中學 河北 唐山 064001)

2012高考新課標理綜試卷的21題及大綱版理綜試卷的25題，從知識點上看考查了萬有引力定律，同時，還考查了等效的思想及一定的數學計算能力，與平常的萬有引力定律及天體運動的試題考查角度大不一樣，有點難度.

下面就這兩道試題，進行一下分析與拓展.

1 試題分析

【例1】(2012年高考全國卷第21題)假設地球是一半徑為R，質量分布均勻的球體.一礦井深度為d.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為

圖1

乍一看，雖然可以看出是萬有引力的題目，但從何處下手，使眾多考生棘手.靜下心來，可以發現有一個條件，已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.如果能夠建立起這樣的模型即挖去深度為d的礦井之后，變成一個半徑為R-d的球體和一個厚度為d的球殼,如圖1所示.那么,問題就迎刃而解了.

解析：當質量為m物體在地球表面時，物體所受萬有引力近似等于其重力，即

推出

設地球密度為ρ，地球的體積

將

代入

得

挖去的礦井質量對于整個地球來說，很小很小，可忽略不計，所以，可以把球體R-d之外的部分仍然當做一個球殼.由“已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零”可知，這部分對m的作用力為零.綜上所述，挖了礦井之后的地球對m的作用，可以等效成半徑為R-d球體對m的作用力.

同理可得

所以，礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為

答案為選項A.

【例2】(2012年高考全國卷第25題)一單擺在地面處的擺動周期與在某礦井底部擺動周期的比值為k.設地球的半徑為R.假定地球的密度均勻.已知質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，求礦井的深度d.

解析：在地面處，單擺所受萬有引力近似等于其重力，即

同樣可得

可得

同理，礦井內單擺的周期

而單擺在地面處的擺動周期與礦井底部擺動周期之比

解得

d=R(1-k2)

在近幾年的高考物理試卷中，由于受中學物理和數學知識的局限，將一些超出學生能力范圍的結論，直接作為已知條件告訴學生.學生只有充分挖掘該條件的深層含義，才能正確求解.

2 知識拓展

2.1 地球內部引力勢能的計算

圖2

【例3】如圖2所示，O點表示球心，地球質量為M，設想地球內部有一條從地球表面A開始到地心的直線通道AO，一質量為m物體從地球表面A點沿直線AO運動到某點B，B到地心O的距離為r.試計算物體在B點的引力勢能.

解析：要計算物體在B點的引力勢能，就要計算物體從A點運動到B點萬有引力做的功，物體從A點到B點運動，受到的萬有引力是變力，而萬有引力

與到O點的距離是線形關系，所以，萬有引力做功可以很方便地計算.

萬有引力做功等于引力勢能減少量，可得

WAB=EpA-EpB

其中

所以

2.2 試證明小球在隧道內做簡諧運動

【例2】假設地球是均勻的圓球，而且在中間鑿了個隧道，通過地心，直到另一端.現將一小鐵球以初速度為零，放入洞中.有人說，小球會做簡諧運動，那么振動周期是多少？如果不是簡諧運動 ,那會是什么運動？什么理由？

解析：首先，計算小球下落到h深處時的加速度.如同一個帶電小球處在一個空心球殼中所受庫侖合力為零的道理一樣，深處h處的質量為m的小球所受的外徑為R，內徑為R-h的地球球殼的萬有引力之合力也為零(R為地球半徑).因此，小球所受萬有引力為半徑為R-h的內層地球的引力.該引力為

(M′為內層地球質量)，小球在深處h處的加速度為

3 結論

所以M′ 與它的關系為

(2)任意h時

設r=R-h代表內層地球的半徑

小球在r處受到的指向地心的力

其中，R=6.34*106m，g=9.86 m/s2，代入計算得到

T=5.05*103s