對力學中一表達式的審視和再修正

王光宇

(松江區教師進修學院附屬立達中學 上海 201600)

圖1

原文:設物體m從h1高度下落到h2高度時物體的速度為v，物體和地球相對于質心參考系的速度分別從零變為v和V,此過程機械能守恒，系統重力勢能的減小量與參考系的選取無關，還是(mgh1-mgh2)，則有

(1)

又地球和物體組成的系統無外力作用，動量守恒，則有

mv-MV=0

(2)

因為M?m，所以

此時可做近似

1 問題提出

筆者研讀此文后頗受啟發，但筆者認為原文中作者對該表達式的修正結論尚不夠完整，其過程和條件有待商榷.

2 問題討論

討論1：

原文由動量守恒并結合M?m得出V?v是合理的，但由此得出

由式(1)、(2)可得

因為m?M所以

即

討論2：

原文選取地球和物體的質心作為參考系，由系統重力勢能轉化為地球和物體的動能，結合動量定理給出了表達式的修正式.筆者認為，從更加嚴密地角度對表達式進行修正，選取系統的引力勢能較為合理，因為重力勢能Ep=mgh只是系統引力勢能的一級近似.

證明：選取無窮遠處為勢能零點，設R為地球半徑，h為物體距離地面的高度.

(3)

由萬有引力定律可得

即GM=gR2

(4)

由式(3)、(4)得

Ep=-mgR+mgh

則Ep1-Ep2=mg(h1-h2)與原文重力勢能的減小量一致.

綜上分析，對表達式修正，應選取系統的勢引力勢能

則式(1)修正為

(5)

由式(2)、(4)、(5)可得

(6)

由式(6)得

(7)

h1?Rh2?R

當滿足條件m?M，h1?R，h2?R，由式(7)得

結論：當m?M，物體處于地球表面附近

討論3：

當m?M，物體位于距地球表面高度H處附近，表達式的形態和修正式.

如圖(2)所示，物體m從距參考面h1處下落至h2處，此時,物體和地球相對于質心參考系的速度為v和V,由機械能守恒定律得

(8)

圖2

由式(2)、(8)可得

(9)

由式(4)、(9)可得

mgh1-mgh2=

(10)

當H與地球半徑R相比不能忽略時

特例：當R=H時

由式(10)可得

為此,對式(10)進行修正

(11)

則式(11)變為

(12)

為使

必須同時滿足

h1?R+Hh2?R+H

當滿足條件m?M，h1?R+H，h2?R+H時，由式(12)得

結論：當m?M，物體處于距離地球表面高度為H處附近

參考文獻

1 漆安慎.杜嬋英．普通物理學教程 ·力學(第二版)．北京：高等教育出版社

2 四川大學數學系高等數學教研室．高等數學(第二冊) ．北京：高等教育出版社