對(duì)力學(xué)中一表達(dá)式的審視和再修正

王光宇

(松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院附屬立達(dá)中學(xué) 上海 201600)

圖1

原文:設(shè)物體m從h1高度下落到h2高度時(shí)物體的速度為v，物體和地球相對(duì)于質(zhì)心參考系的速度分別從零變?yōu)関和V,此過程機(jī)械能守恒，系統(tǒng)重力勢(shì)能的減小量與參考系的選取無關(guān)，還是(mgh1-mgh2)，則有

(1)

又地球和物體組成的系統(tǒng)無外力作用，動(dòng)量守恒，則有

mv-MV=0

(2)

因?yàn)镸?m，所以

此時(shí)可做近似

1 問題提出

筆者研讀此文后頗受啟發(fā)，但筆者認(rèn)為原文中作者對(duì)該表達(dá)式的修正結(jié)論尚不夠完整，其過程和條件有待商榷.

2 問題討論

討論1：

原文由動(dòng)量守恒并結(jié)合M?m得出V?v是合理的，但由此得出

由式(1)、(2)可得

因?yàn)閙?M所以

即

討論2：

原文選取地球和物體的質(zhì)心作為參考系，由系統(tǒng)重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為地球和物體的動(dòng)能，結(jié)合動(dòng)量定理給出了表達(dá)式的修正式.筆者認(rèn)為，從更加嚴(yán)密地角度對(duì)表達(dá)式進(jìn)行修正，選取系統(tǒng)的引力勢(shì)能較為合理，因?yàn)橹亓?shì)能Ep=mgh只是系統(tǒng)引力勢(shì)能的一級(jí)近似.

證明：選取無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，設(shè)R為地球半徑，h為物體距離地面的高度.

(3)

由萬有引力定律可得

即GM=gR2

(4)

由式(3)、(4)得

Ep=-mgR+mgh

則Ep1-Ep2=mg(h1-h2)與原文重力勢(shì)能的減小量一致.

綜上分析，對(duì)表達(dá)式修正，應(yīng)選取系統(tǒng)的勢(shì)引力勢(shì)能

則式(1)修正為

(5)

由式(2)、(4)、(5)可得

(6)

由式(6)得

(7)

h1?Rh2?R

當(dāng)滿足條件m?M，h1?R，h2?R，由式(7)得

結(jié)論：當(dāng)m?M，物體處于地球表面附近

討論3：

當(dāng)m?M，物體位于距地球表面高度H處附近，表達(dá)式的形態(tài)和修正式.

如圖(2)所示，物體m從距參考面h1處下落至h2處，此時(shí),物體和地球相對(duì)于質(zhì)心參考系的速度為v和V,由機(jī)械能守恒定律得

(8)

圖2

由式(2)、(8)可得

(9)

由式(4)、(9)可得

mgh1-mgh2=

(10)

當(dāng)H與地球半徑R相比不能忽略時(shí)

特例：當(dāng)R=H時(shí)

由式(10)可得

為此,對(duì)式(10)進(jìn)行修正

(11)

則式(11)變?yōu)?/p>

(12)

為使

必須同時(shí)滿足

h1?R+Hh2?R+H

當(dāng)滿足條件m?M，h1?R+H，h2?R+H時(shí)，由式(12)得

結(jié)論：當(dāng)m?M，物體處于距離地球表面高度為H處附近

參考文獻(xiàn)

1 漆安慎.杜嬋英．普通物理學(xué)教程 ·力學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社

2 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)(第二冊(cè)) ．北京：高等教育出版社