對2012年全國高考理綜21題的討論

薛文堂

(山西省實驗中學 山西 太原 030031)

2012年全國高考理綜全國卷有兩道題背景相同，一道是新課標卷21題，試題如下.

【題目1】假設地球是一半徑為R,質量分布均勻的球體.一礦井深度為d.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為

另一道是全國大綱卷25題，試題如下.

【題目2】一單擺在地面處的擺動周期與在某礦井底部擺動周期的比值為k.設地球的半徑為R.假定地球的密度均勻.已知質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，求礦井的深度d.

兩道題都涉及到地表以下礦井內的重力加速度與地面上重力加速度的比較同一個背景，都提示已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.這個問題在以前的高考題中沒有涉及過.以前涉及到重力加速度問題的都是在地面之上某高度處與地面上的重力加速度比較.而在中學物理競賽書上，這個問題是個基本問題.該問題和均勻帶電球殼球內場強處處為零，證明方法一樣.對于處于球心的的物體，球殼對其引力為零比較容易證明，但如果物體不在球心，證明就比較復雜.現證明方法如下.

如圖1所示，在球殼內任取一點P，以P為頂點做兩個對頂的、頂角很小的錐體，錐體與球面相交得到球面上的兩個面元ΔS1和ΔS2，兩個面元到P點的距離分別為r1和r2.設球面的質量面密度為σ，則這兩個面元對放在P點質量為m的質點的引力分別為

圖1

α1=α1=α

所以

因此F1=F2，而它們的方向是相反的，所以，兩個面元ΔS1和ΔS2對放在P點的質點引力大小相等，合力為零.

同理，如圖2所示，其他各個相對的面元ΔS3和ΔS4，ΔS5和ΔS6……對放在P點的質點引力大小相等，合力為零.因而，整個球面對放在P點的質點引力的合力為零.由于P點是球殼內任意一點，所以，整個球面對放在球面內任意一點的質點引力合力均為零.

圖2

題目1解:如圖3，地球半徑為R,礦井深為d.地球可看成許多球面構成，則在礦井底部，一個質量為m的質點，僅受到以半徑為(R-d)球體對它的引力，這個球面之外的部分對此質點的引力為零.設地球表面重力加速度為g，地球的密度為ρ，則

圖3

礦井底部的重力加速度為g′,則

所以

題目2解:知道同一單擺在地面上和在礦井底部的周期之比為k,根據單擺的周期公式

可得礦井底部和地球表面重力加速度之比

而如前所述

解得

d=(1-k2)R

與該題背景類似的問題還有以下例題.

【例1】假若地球是一個密度均勻的球體，設想沿地球直徑開鑿一條貫穿地球的隧道，將一小球從隧道的一端由靜止釋放,那么，此小球的運動是怎么樣的？

圖4

解析：可以證明這個小球做簡諧運動，證明如下：如圖4所示，小球從洞口釋放后受到指向地心的引力充當回復力.設地球半徑為R,密度為ρ，由于均勻的球殼對球內的質點引力為零，地球可以看成是許多球殼組成，某時刻小球位于距球心為x處時，在以地心為圓心,半徑為x的球面之外部分對小球引力為零.只有以地心為圓心,半徑為x的球面之內的部分對小球有引力.所以,回復力為

即小球做簡諧運動，平衡位置就是地心.

【例2】如圖5所示，設球體的半徑為R，電荷體密度(單位體積內的帶電荷量)為ρ，求距球心為r處的場強.

圖5

解析：用前面相同的證明方法，可以證明均勻帶電球殼對殼內的電荷靜電力為零.

設想在距球心為r處放一個點電荷，在r

Q′為半徑為r的球體部分的電荷量

所以

因此

即越靠近球心場強越小.

在球體外，由于r>R，球體的電荷可看成集中在球心，利用庫侖定律和場強定義式可得

即越r越小，場強越大.