求解碰撞次數(shù)的突破口

馬緒友

(灌云縣第一中學(xué) 江蘇 連云港 222220)

碰撞是發(fā)生在運(yùn)動(dòng)過程中的一個(gè)特殊現(xiàn)象，而碰撞問題卻是物理教學(xué)中經(jīng)常遇見的題型，其中又以多次碰撞問題涉及的知識(shí)點(diǎn)多、過程復(fù)雜成為教學(xué)中的難點(diǎn).要突破這個(gè)難點(diǎn)，我們可以從物體碰撞前后運(yùn)動(dòng)的位移、路程或時(shí)間等關(guān)系中尋找解題的突破口.

1 以對(duì)地位移為突破口

【例1】如圖1所示，水平地面上有一質(zhì)量為0.2 kg的凹形鋁板，內(nèi)寬L1=12 cm，外寬L2=13 cm，在鋁板的右擋板處緊靠著一個(gè)半徑為0.3 cm質(zhì)量也為0.2 kg的光滑鐵球.鋁板與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，開始時(shí)鋁板和球均處于靜止.現(xiàn)突然給鋁板一個(gè)方向水平向右，大小為1.5 N·s的沖量.設(shè)鐵球與豎直擋板碰撞時(shí)沒有動(dòng)能損失，且碰撞時(shí)間極短.求：從鋁板開始運(yùn)動(dòng)到鋁板與鐵球均恢復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)的過程中，槽內(nèi)小球與兩豎直擋板總共碰撞的次數(shù).(g=10 m/s2)

圖1

分析：鋁板因沖量而獲得初速度后向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，但鐵球仍保持靜止.當(dāng)鋁板與小球發(fā)生第一次碰撞時(shí)，由于球與板的質(zhì)量相同且是彈性碰撞，所以，碰后交換速度.因此第一次碰后鋁板靜止，小球以鋁板碰前的速度向右做勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)二者發(fā)生第二次碰撞后小球又保持靜止，鋁板又以第一次碰撞前的速度為初速向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，直至與小球發(fā)生第三次碰撞，……以后二者的運(yùn)動(dòng)及交替碰撞按上述形式進(jìn)行下去，直至鋁板和球的運(yùn)動(dòng)速度均減小到零為止.由此看來，按其運(yùn)動(dòng)過程逐一求解碰撞的次數(shù)不現(xiàn)實(shí)，而從每次運(yùn)動(dòng)中尋找規(guī)律又太繁雜，但板從運(yùn)動(dòng)到最終停止一直是單方向的，總位移是可以求出的，且每交換一次速度，板的位移是一定的(最后一次除外)，所以，從板的位移可以找出求解的突破口.

解：設(shè)鋁板在地面上總共所發(fā)生的位移為s,鋁板的初速度

板與球碰撞不損失動(dòng)能，由動(dòng)能定理得

代入數(shù)據(jù)得

s=7.03 m

根據(jù)以上分析，發(fā)現(xiàn)二者的運(yùn)動(dòng)及碰撞次數(shù)具有如下的兩個(gè)特點(diǎn).其一，只要板在運(yùn)動(dòng)中能夠與球相碰，則球必能再與板在球的運(yùn)動(dòng)中相碰.也就是說，二者總共碰撞的次數(shù)一定為偶數(shù)；其二，只要板對(duì)地發(fā)生Δs=L1-2r=11.4 cm的位移，二者必能相碰兩次.不過要注意，若某次球與板相碰后，板所滑行的距離小于或恰好等于Δs時(shí)板的速度就已達(dá)到零，則二者在此次相碰后不會(huì)再發(fā)生碰撞，則

代入數(shù)據(jù)得

n=61.7>61

n取整數(shù)61即可算出二者相碰的總次數(shù)

N=2n=122

2 以路程為突破口

【例2】如圖2所示，質(zhì)量M=2 kg的盒子放在光滑水平面上，盒子內(nèi)寬L=1 m，質(zhì)量m=1 kg的小物塊從盒子的右端以v0=6 m/s的初速度向左運(yùn)動(dòng).小物塊與盒子底部間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，與盒子兩側(cè)壁間的碰撞無機(jī)械能損失，則小物塊最終與盒子能碰撞幾次？將相對(duì)靜止于盒子的何處？(g=10 m/s2)

分析：由題意知，物塊在盒子內(nèi)往返運(yùn)動(dòng)若干次后,最終與盒子以共同速度運(yùn)動(dòng).物塊每碰一次，物塊對(duì)地位移都是變化的，但相對(duì)于盒子滑行的路程是一定的(最后一次除外).所以,本題以物塊在盒內(nèi)所滑動(dòng)的路程為突破口來求解碰撞次數(shù).

圖2

解：由動(dòng)量守恒定律得

mv0=(m+M)v

系統(tǒng)損失的動(dòng)能等于兩物體相對(duì)滑動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功，即

代入數(shù)據(jù)可解得從開始運(yùn)動(dòng)到小物塊與盒子相對(duì)靜止的過程中，小物塊與盒子相對(duì)滑動(dòng)的路程為

s=2.4 m

則碰撞的次數(shù)為

代入數(shù)據(jù)得

N=2.4

N取整數(shù)2.

由此知,小物塊最終相對(duì)靜止于距離盒子右端0.4 m處.

3 以時(shí)間為突破口

圖3

【例3】有垂直于地面且互相平行的兩堵墻A和B，兩墻水平距離L=0.8 m.從距地面高h(yuǎn)=5 m的A墻處以5 m/s初速度水平拋出一個(gè)球.球與墻的碰撞都是彈性碰撞.問：落地前與墻發(fā)生了幾次碰撞？(g=10 m/s2)

分析：小球自拋出后，每次碰撞時(shí)的速度都不同，若一步一步計(jì)算出每次碰撞后小球下落的距離是相當(dāng)麻煩的.從小球運(yùn)動(dòng)的過程來看，雖然每次碰撞時(shí)球的速度不同，但其水平速度的大小卻是不變的，所以，相鄰兩次碰撞時(shí)間間隔是定值，而小球拋出后到落地的時(shí)間是可以求出的.因此，本題中以小球下落的時(shí)間為解決問題的突破口來求解碰撞次數(shù).

解：小球在兩壁間碰撞的時(shí)間間隔

且小球下落的總時(shí)間

所以，碰撞的次數(shù)

代入數(shù)據(jù)得

n=6.25

n取整數(shù)6.

突破口往往是解題的起點(diǎn)，也是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從碰撞過程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律入手，可以在正常解題思維的基礎(chǔ)上抓住關(guān)鍵環(huán)節(jié)，突破該難點(diǎn)也就容易了.