一道光學高考題的三種解法

劉金山

(江西省于都中學 江西 于都 342300)

2011年新課標卷全國高考理科綜合能力測試物理試題中 ，有一道選考的光學題．它考查的是關于光學中的折射角和折射率問題，而考生普遍反映本題的折射角求解較難，因此，筆者通過思考與探究，找出了它的三種解法．

【題目】一半圓柱形透明物體橫截面如圖所示，地面AOB鍍銀(圖中粗線)，O表示半圓截面的圓心.一束光線在橫截面內從M點入射，經過AB面反射后從N點射出．已知光線在M點的入射角為30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°．求：

(1) 光線在M點的折射角

(2) 透明物體的折射率

解法1：(1)如圖1所示，將原圖的半圓截面補充為同樣半徑的圓形截面，依題意，AOB看做平面鏡，據平面鏡成像特點，可以作出M點相對于底面AB對稱的像點Q，則透明物體內部的光路為折線MPN， 且Q,P和N三點共線，作NF垂直于AB，垂足為F．設M點處光的入射角為i，折射角為r，又設

∠OMQ=α∠PNF=β

據

∠MOA=60°

可得

α=90°-60°=30°

據幾何關系知

∠PNO=∠PQO=r

所以

β+r=60°

于是

α+r=β=60°-r

因此可解得

r=15°

圖1

(2)根據折射定律有 sini=nsinr

則

代入數據得

圖2

解法2：(1)如圖2所示，將原圖的半圓截面補充為同樣半徑的圓形截面，設折射角為r，根據平面鏡成像特點，分別作出入射點M和出射點N在鏡面AB中的像點M′和N′，分別連接MN′和NM′，據光路可逆原理，則MN′和NM′必交鏡面AB于點P，結合光的傳播方向可作出透明物體內部的光路為折線MPN．于是據幾何知識可知

而已知

∠MOA=60° ∠NOB=30°

則

∠MON=90°

因此可知

代入數據得

∠M′MN′=45°

因∠M′MO=30°，所以

r=∠M′MN′-∠M′MO

代入數據得

r=15°

(2)略

圖3

解法3：(1)如圖3所示，將原圖的半圓截面補充為同樣半徑的圓形截面，設AB界面的P點為光在透明物體內的反射點，則據反射定律必然有

∠NPB=∠MPA

便可作出透明物體內部的光路為折線MPN．令折射角為r．分別延長MP和MO交圓周于點C和點D；同樣分別延長NP和NO交圓周于點E和點F，再分別連接CD和EF．由幾何知識可得

∠MCD=∠NEF=90°

又因直徑

MD=NF

據關于點P的幾何對稱關系，可知

MC=NE

則有

△MCD≌△NEF

所以

∠ENF=∠CMD=r

依題意知

∠MOA=60° ∠NOB=30°

據三角形內外角間的關系有

∠MPA=∠MOA-r=∠NPB=∠NOB+r

則

代入數據得

r=15°

(2)略

從以上的解答過程可以看出，要順利求解幾何光學當中的折射角問題，就必須對題目所涉及的數學幾何知識能熟練運用，并且關鍵在于正確畫好光路圖和相應的輔助線，找出滿足題意的各種關系，從而結合物理規律建立對應的方程求出需要的結果．