軌道基準網平面測量及其數據處理的探討

王建紅

(中鐵第一勘察設計院集團有限公司,西安 710043)

1 概述

無砟軌道具有整體穩定性強、剛度均勻性好、線路平順度高、耐久性強的突出優點，并可顯著減少后期線路的維修工作量。而CRTSⅡ型板式無砟軌道作為其中一種重要的無砟軌道結構形式，在高速鐵路建設中已經得到廣泛應用，并已在許多方面顯示出明顯的優越性，取得了良好的技術效益和經濟效益[1]。CRTSⅡ型板式無砟軌道與其他無砟軌道結構的重要區別是多一級加密控制網，這一級稱為軌道基準網。其由一系列的軌道基準點組成，軌道基準點設于混凝土底座或支承層上，位于軌道板橫接縫的中央、相應里程中心點的法線上，偏離軌道中線0.10 m。曲線地段置于軌道中線內側；直線地段置于線路中線同一側。軌道基準網是一個精度極高的三維控制網，但實際測量中是將平面、高程分開處理，因此，軌道基準網平面測量是軌道基準網建網測量的一個重要組成部分，其相鄰軌道基準點之間的相對點位中誤差≤0.2 mm，測量精度滿足下列要求[2]：

(1)軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差≤0.4 mm；

(2)重疊區內軌道基準點的平面位置允許偏差：橫向≤0.3 mm，縱向≤0.4 mm。

軌道基準網作為一種從德國引進的全新的建網方法，其測量和數據處理方法以及精度控制指標跟我國常規的測量方法有很多不同之處，因此有必要對軌道基準網平面測量及其數據處理進行詳細的探討。

2 軌道基準網平面測量

軌道基準網平面測量在軌道板粗鋪之前配合專門的不等長三腳支架分左、右線分別進行，具體可概括為半測回、多次重復測量、單向(后退)、搭接。如圖1所示，以右線軌道基準網平面測量為例，介紹軌道基準網平面測量的具體實施過程。

(1)測站點架設在軌道基準點的連線方向上，以便優先利用全站儀的測角高精度性，并離最近的軌道基準點的距離不小于6.5 m，且所有觀測的軌道基準點在測站的同一側。

(2)直接測量測站點附近的4對CPⅢ點和軌道基準點的坐標，軌道基準點測量個數從11～14個不等。

(3)測站上的CPⅢ控制點和軌道基準點平面測量觀測順序如下：

①順時針觀測測站前后共計4對CPⅢ點；

②由遠及近按順序觀測軌道基準點；

③與步驟①一樣再次半測回觀測相同的4對CPⅢ點；

④再次由遠及近按順序觀測軌道基準點；

⑤與步驟①一樣再次半測回觀測相同的4對CPⅢ點；

⑥再次由遠及近順序觀測軌道基準點；

⑦與步驟①一樣再次半測回觀測相同的4對CPⅢ點。

(4)對CPⅢ和軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差進行檢查，對于超限的數據及時重測。

(5)更換測站后，相鄰測站重疊觀測CPⅢ控制點不少于2對、軌道基準點5個。

圖1 軌道基準網平面測量示意(右線)

3 軌道基準網平面數據處理

軌道基準網平面數據處理的基本流程是：先進行測站內數據處理，測站內處理合格后，再進行相鄰測站間的平順搭接處理，下面對軌道基準網平面數據處理基本流程的每一個環節進行詳細的探討。

3.1 外業觀測數據質量檢查

對外業采集到的CPⅢ和軌道基準點各半測回測量的坐標值與其均值間的較差進行質量檢查，文獻[2]中只給出“軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差≤0.4 mm”的要求，對CPⅢ點各半測回測量的坐標值與其均值間的較差并未作明確的要求，但可以從“軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差≤0.4 mm”的要求出發，推導CPⅢ點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差，具體推導過程如下所述。

由“軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差≤0.4 mm”的要求可知，對于x坐標，軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差極限情況其中的一種為

x1-x1+x2+x33=0.4 mm

x2-x1+x2+x33=-0.4 mm

x3-x1+x2+x33=0.0 mm(1)

對式(1)中的前兩式進行簡單運算后，有

(x1-x2)+(x1-x3)=1.2 mm

(x1-x2)+(x3-x2)=1.2 mm(2)

由式(2)可知，當且僅當(x1-x2)=(x1-x3)=(x3-x2)=0.6 mm時，式(2)中的兩式均取得最大值。

由于CPⅢ點觀測的測回數是4個測回，因此對照式(1)和式(2)，對于CPⅢ點的x坐標，CPⅢ點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差的限差Δx限可寫作

Δx限=(x1-x2)+(x1-x3)+(x1-x4)4(3)

由式(3)可知，當且僅當(x1-x2)=(x1-x3)=(x1-x4)時，式(3)取得最大值。并將(x1-x2) mm帶入式(3)，得到Δx限=0.45 mm。亦即：CPⅢ點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差≤0.45 mm。

因此可以看出，CPⅢ和軌道基準點由于外業觀測的測回數不同，導致了CPⅢ和軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差也不同，因此，在軌道基準網平面數據外業觀測質量檢查時，應對CPⅢ和軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差設定不同的限差進行檢查。

3.2 站內平面坐標的轉換

在外業觀測數據質量檢查合格后，得到各CPⅢ和軌道基準點的平均值。由于此時的CPⅢ和軌道基準點所在的坐標系是任意的測站坐標系，所以需要將其轉換到線路坐標系，而平面坐標系之間轉換一般常用的方法有相似變換法[3]和仿射變換法[4]，相似變換法又分為三參數和四參數兩種轉換模型。對于四參數相似變換法，亦即[3]

x線路

y線路=x0

y0+(1+k)cosθsinθ

-sinθcosθx任意

y任意(4)

式中x0、y0——平移參數；

k——尺度；

θ——旋轉角。

對于三參數相似變換法，即在式(4)中不考慮尺度k。

而仿射變換法的模型為[4]

x線路=ax任意+by任意+c

y線路=dx任意+ey任意+f(5)

式中a、e——分別確定點(x任意，y任意)在輸出坐標中x線路方向和y線路方向上的縮放尺度；

b、d——確定旋轉角度；

c、f——分別確定在x線路方向和y線路方向上的水平平移尺寸。

由于軌道基準網的測量和數據處理方法是從德國引進的，在國內尚處于研究和起步階段。軌道基準網站內平面坐標的轉換采用何種坐標轉換方法無法確定，而德國軌道基準網數據處理軟件采用的是馬克斯·博格建筑公司的“FFBoegl-PVP construction”軟件(以下簡稱為“PVP軟件”)，因此，為了確定軌道基準網站內平面坐標的轉換采用的坐標轉換方法，可以采用上面所述的幾種坐標轉換方法，對大量的軌道基準網測量數據進行坐標轉換，并分別將坐標轉換結果與PVP軟件的計算結果進行比較。由于計算的數據量比較多，下面僅列出其中一站的軌道基準點坐標比較情況，見表1。

從表1可以看出，三參數相似變換法計算結果與PVP軟件計算結果沒有任何差異，而四參數相似變換法和仿射變換法計算結果與PVP軟件計算結果差異明顯，特別是仿射變換法。這個結果是與大量的軌道基準網測量數據計算結果一致的，因此可以確定軌道基準網站內平面坐標的轉換采用的是三參數相似變換法。

3.3 站間平面坐標的搭接

軌道基準網測站內處理合格后，接著要進行相鄰測站間的平順搭接處理。通過前面的軌道基準網平面測量方法介紹知道，軌道基準網平面測量是由多個測站組成的，不同測站由于換站的原因使得相鄰測站之間重疊觀測5個軌道基準點的測量坐標存在偏差，如果不進行平順搭接處理，勢必會形成轉角或突變。為了解決這個問題，對相鄰測站之間重疊觀測的5個軌道基準點采用余弦曲線加權平滑的方法進行相鄰測站之間的平順搭接處理。

表1 不同坐標轉換方法計算結果與PVP軟件計算結果比較 mm

如圖2所示，賦予前一測站坐標的權為Z，后一測站坐標的權為1-Z。其中，Z的函數表達式為

Z=cos((π/L)×I)/2+0.5(6)

式中L——搭接長度，重復點號前后各延長1個點，m；

I——當前點離重合起始點的距離，m。

圖2 軌道基準網平面測量余弦曲線加權平滑示意

利用余弦曲線加權平滑方法得到相鄰測站重疊區內軌道基準點的平滑坐標之后，根據文獻[2]的規定，重疊區內軌道基準點的平面位置允許偏差：橫向≤0.3 mm，縱向≤0.4 mm。該平面位置允許偏差的定義指的是重疊區內每個軌道基準點的橫向、縱向改正量，即重疊區端部(任意一端)橫向、縱向差值，分配到各軌道基準點上的改正值。亦即前、后測站的橫向、縱向坐標與平滑后橫向、縱向坐標的較差分別應≤(0.3×n)mm、≤(0.4×n)mm，其中，n為重疊觀測的軌道基準點個數。

基于重疊區內軌道基準點的平面位置偏差的定義，可知，對于判定相鄰測站之間搭接是否合格的重要指標，就是重疊區內軌道基準點坐標分別轉換到線路方向的坐標系后，其橫向、縱向坐標與平滑后橫向、縱向坐標的較差的大小，因此將軌道基準點從線路坐標系轉換到線路方向坐標系成為相鄰測站之間平順搭接處理的關鍵環節。嚴密的做法是將軌道基準點的測量坐標與線路設計參數結合，計算重疊區內軌道基準點處的線路切線方位角，據此線路切線方位角將重疊區內軌道基準點坐標轉換到線路方向。該方法計算嚴密，但計算過程比較繁瑣。考慮到無砟軌道平面曲線半徑都比較大，一般最小為7 000 m[5]，因此，能否直接用重疊區內首尾兩個軌道基準點坐標反算的近似方位角代替重疊區內軌道基準點處的線路切線方位角用于坐標轉換值得探討。

如圖3所示，點1～5為相鄰測站之間重疊觀測的5個軌道基準點，并假設這5個軌道基準點的位置都位于半徑為7 000 m的圓曲線上。因此，軌道基準點1處的線路切線方位角與近似方位角的差值Δα為5個軌道基準點處的線路切線方位角與近似方位角差值的最大取值，其值可以按下式計算

Δα=(90°×l)(π×R)=(90°×4×6.5 m)(π×7 000 m)=0.106°(7)

圖3 線路切線方位角與近似方位角關系示意

若在該點處用重疊區內首尾兩個軌道基準點坐標反算的近似方位角代替線路切線方位角用于坐標轉換可行的話，必定也適用于其他任何相鄰測站之間重疊觀測的軌道基準點。下面給出具體的推導過程。

根據重疊區內軌道基準點的平面位置偏差的定義，并結合式(4)和式(6)，以及軌道基準點1的前測站坐標(x1前，y1前)和后測站坐標(x1后，y1后)，可寫出該點前站坐標轉換為橫向、縱向坐標與平滑后橫向、縱向坐標的較差Δ1前橫、Δ1前縱計算式為

Δ1前縱=[cosα×x1前+sinα×y1前]-

[0.933×(cosα×x1前+sinα×y1前)+

0.067×(cosα×x1后+sinα×y1后)]

Δ1前橫=[-sinα×x1前+cosα×y1前]-

[0.933×(-sinα×x1前+cosα×y1前)+

0.067×(-sinα×x1后+cosα×y1后)](8)

式中α——軌道基準點1處的線路切線方位角，以弧度為單位。

對式(8)進行全微分，得

dΔ1前縱=Δ1前橫×dαρ

dΔ1前橫=-Δ1前縱×dαρ(9)

將Δ1前橫=1.5 mm，Δ1前縱=2.0 mm，以及式(7)帶入式(9)，可得

dΔ1前縱=0.003 mm

dΔ1前橫=-0.004 mm(10)

上面給出了在軌道基準點1處用近似方位角代替該點處的線路切線方位角，對該點前站坐標轉換為橫向、縱向坐標與平滑后橫向、縱向坐標的較差的影響情況。對于該點的后站坐標轉換為橫向、縱向坐標與平滑后橫向、縱向坐標的較差的影響情況的推導與上述過程類似，其計算結果與式(10)的計算結果相同，不再贅述。從式(10)的結果可以看出：用近似方位角代替該點處的線路切線方位角，對重疊區內軌道基準點平面位置偏差的影響甚微，因此，用重疊區內首尾兩個軌道基準點坐標反算的近似方位角代替重疊區內軌道基準點處的線路切線方位角，計算重疊區內軌道基準點平面位置偏差是可行的。

4 結語

本文從軌道基準網平面數據處理的基本流程入手，對軌道基準網平面數據處理的每一個環節進行了詳細的探討。得到如下結論：

(1)在軌道基準網平面數據外業觀測質量檢查時，由于CPⅢ和軌道基準點外業觀測的測回數不同，應對CPⅢ和軌道基準點各半測回測量的坐標值與其平均值間的較差設定不同的限差進行檢查；

(2)對大量的軌道基準網測量數據通過不同的模型進行坐標轉換，并分別將坐標轉換結果與PVP軟件的計算結果進行比較，確定了軌道基準網站內平面坐標的轉換采用的是三參數相似變換法；

(3)用重疊區內首尾兩個軌道基準點坐標反算的近似方位角代替重疊區內軌道基準點處的線路切線方位角，計算重疊區內軌道基準點平面位置偏差是可行的。

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