預應力鋼束空間干涉快速計算方法

耿 杰

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司橋梁處,武漢 430063)

近年來，隨著鐵路建設大規模的開展，橋梁特殊結構比重大幅增加且設計周期越來越短。以混凝土箱梁而言，梁體幾何形狀趨于復雜，梁體內預應力鋼束的布置也隨之變得更加困難，出現了大量平縱彎重疊的情況；與此同時，斜腹板梁由于能夠有效減小橋墩頂帽寬度，得到了廣泛的應用，在這種情況下，由于腹板傾斜，預應力鋼束的形狀變得愈發復雜。因此，如何準確、快速判斷鋼束之間、鋼束與普通鋼筋之間以及鋼束和梁體表面之間的距離是否滿足規范要求成為了一個需求。本文通過建立預應力鋼束的空間參數方程，運用數值計算方法求解鋼束之間、鋼束與梁體表面之間的最小間距，從而提高了設計效率，確保設計質量。

1 預應力鋼束空間曲線方程

由于箱梁是縱向承載構件，預應力鋼束的曲線方程在縱向上一般為單值函數。故以箱梁小里程方向的頂面中點為原點，以縱向為X軸，以橫向為Y軸，按照右手法則建立空間坐標系。

工程上習慣用平面、立面投影來表達三維物體，在建立預應力鋼束空間方程的時候，也借鑒了這種思路。將復雜三維形狀拆分為2個平面圖形，進而用參數方程來表達。對于預應力鋼束而言，其投影圖形一般由直線和圓弧組成，可用分段函數表達。如對于直線段而言，確定了起點和終點坐標之后(圖1)，方程可表達如下

×(x-x0)+y0(1)

式中x0,y0——直線段起點坐標；

x1,y1——直線段終點坐標。

圖1 直線段方程示意

對于圓弧段而言，考慮到圓弧兩側均有直線相切這一約束條件(圖2)，方程可以表示如下

式中xc,yc——圓弧段圓心坐標；

y0——圓弧段起點Y坐標；

y1——圓弧段終點Y坐標；

ym——圓弧段中點Y坐標；

r——圓弧段半徑。

圖2 圓弧段方程示意

對某一鋼束立面(或平面)投影的二維平面方程可利用分段函數表達如下

X=x

利用立面曲線表示預應力鋼束到頂板(即XOY平面)的距離，用平面曲線表示鋼束到截面中心(即XOZ平面)的距離。特別的，當鋼束是腹板索時，考慮斜腹板的情況，平面曲線將表示鋼束到腹板外側的水平距離，在計算時需要做一次轉換，如圖3所示。

圖3 預應力鋼束空間模型

根據以上條件，建立預應力鋼束空間曲線的參數方程

X=x

Z=z(x)

式中hx——x處的截面總高度；

α——腹板傾角，rad；

bx——x處的截面底寬。

于是，對于給定的x坐標，能夠計算出對應的鋼束空間位置點P(X，Y，Z)。普通鋼筋的空間曲線方程也可以按照上述方法建立。

2 梁體表面曲面方程

一般而言，箱梁表面由一系列柱面組成，以箱梁梁底曲面為例，準線是圓弧或者拋物線，母線是平行于Y軸的直線。梁體空間模型可以利用放樣等操作生成，空間模型生成之后，各個表面的方程也隨之生成。大部分情況下，箱梁的表面均可以表示成為由以平行于Y軸的直線為母線和準線構成的柱面。其方程表達如下

f(x,z)=0

y=0(5)

3 空間干涉判斷算法原理

圖4 預應力鋼束空間干涉

判斷鋼束之間(或鋼束與普通鋼筋之間)是否干涉，抽象為數學模型就是計算曲線之間的最小距離，判斷該最小距離是否大于2倍的管徑(圖4)；同樣的，鋼束與梁體表面的距離可以轉換為求解曲線到曲面的最小距離。而最小距離可以通過最優解算法解決，通過建立預應力鋼束空間參數方程，達到了將曲線方程消元的目的，從而使得三維最優解問題轉換為二維最優解問題，進一步使問題得到了簡化。

以鋼束之間的最小距離為例，即求解

f(x1,x2)=[(x1-x2)2+(y1(x1)-

y2(x2))2+(z1(x1)-z2(x2))2]1/2

由于鋼束空間方程采用分段函數表達，故上述最優解問題難以求出理論解，只能采用數值分析方法解決。本文采用改進的Downhill Simplex Method， Nelder-Mead Simplex(下山單純形法，簡稱單純形法)求解此二元函數極值問題。單純形法的基本思想是構建n維空間(n是參數個數)，在這個空間中初始化一個n+1邊形(通常為等邊形)，通過對此多邊形進行相關操作，使多邊形的最佳頂點的評價函數值最終達到用戶的要求，從而使問題得到解決。標準的下山單純形法，每一步變換的尺度是固定的，而在本文中，首次引入了遺傳算法思想，即通過罰函數來控制變換的尺度，使計算能夠更加快速地收斂。

對于二元函數，單純形即為三角形。首先，比較函數在三角形各頂點處的值，最大值的頂點為最差頂點，值最小的頂點為最佳頂點，另一個頂點為次最佳頂點，同時記錄三點之間距離與函數值，定義一個基本罰函數；隨后通過一系列變化(反射、開拓、收縮)在函數值遞減的方向產生新的頂點，用以代替最差頂點，形成新的三角形，在這個過程中，每一步都將生成一個新的罰函數，來決定下一步變形(反射、開拓和外延)的尺度，然后重復這一過程。這一過程將生成一系列可能具有不同形狀的三角形，頂點處的函數值越來越小，隨著三角形的減小函數值趨于極小值，極值點的坐標隨之確定。可以看出，單純形法的搜索過程是模式化的，其優點是緊湊有效，收斂速度快，程序設計簡單。

4 結果及性能分析

基于該方法編制的子程序集成在“混凝土箱梁輔助設計系統” 中[4]。以杭長客運專線(50+80+50)m標準連續箱梁為例，在布置縱向預應力鋼束的時候，當用戶指定鋼束橫向分布之后，程序將調用該模塊進行空間干涉檢算，如果發現存在干涉情況，將提示用戶進行修改,如圖5所示。

注：8號、9號為程序內部編號，對應鋼束名稱為T9、T11

該模塊在武廣高速鐵路、鄭武客運專線、杭長客運專線等項目的連續箱梁設計過程中廣泛運用，使用過程中程序能夠快速判斷預應力鋼束的干涉情況，有效地提高了設計效率與質量。如果在干涉計算之前，加上三維實體空間包圍盒的疊加判斷，效率將會得到進一步提升。表1為算法性能的部分統計數據。

表1 算法在不同情況下的時間復雜度

5 結語

三維設計是鐵路橋梁設計的趨勢所在，將鐵路橋梁設計從二維平面拓展至三維空間之后，在帶來技術進步的同時，也引發一些依靠常規手段難以解決的問題。例如本文中提到的預應力鋼束空間干涉等問題，這些問題往往要依靠跨學科的技術手段及強大的數學分析工具來解決，這也是工程設計專業軟件開發的一項關鍵支撐性技術。

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