多點激勵下地震動輸入模式探討及有限元軟件實現方法研究

羅 宇

（深圳市市政設計研究院有限公司，廣東深圳 518035）

0 引言

通常進行傳統結構地震響應分析時，均認為地震動輸入是一致的，即假定結構不同支承處的地面運動是完全一致的，僅考慮地震動時間的變化性。在地震動一致激勵下，結構的擬靜力位移與地震地面運動位移是相同，動位移是上部結構與地面運動之間的相對位移，結構內力只與動位移有關。然而，陳匡怡SMART臺陣實際地震記錄表明，空間各點的地震動并不是完全一致的，而是具有一定的差異性，而且地震動的空間差異對大跨度結構地震響應有重要的影響。而且，多點激勵下地震響應分析卻與一致激勵地震響應有較大的不同，此時，必須要考慮擬靜力反應對結構響應的影響，同時，疊加原理不適用于非線性結構的響應分析[1]。

本文基于多點激勵下的動力學平衡方程入手，忽略一些次要的影響因素，討論了適用于多點激勵響應分析的多點地震動輸入模式及動力平衡方程。為了避免自編程序耗時耗力，本文基于通用有限元軟件的現有功能，提出適合多點地震動輸入模型在通用有限元軟件中的幾種實現方法，并對其進行分析研究。最后，以某一大跨度懸索橋為計算示例，基于SAP2000程序介紹各種方法在有限元軟件中的應用。

1 多點激勵下地震動輸入模式討論

在地震所引起的地面運動作用下，當結構為集中質量系統時，基于達朗貝爾原理，結構的動力平衡方程可以用上部結構未知節點位移us和基底節點絕對位移ub形式表示，方程式可寫為：

式（2）中：ub為絕對坐標系下地面位移運動向量；Ksb為與支承節點相連的剛度矩陣，只與施加位移的基底節點相連的節點相關的項；-Ksbub即為絕對坐標系下由于支座隨地面運動而產生的上部結構力。

當地面位移運動為已知時，即可利用上式求解平衡方程。此式即為求解地震地面運動下結構反應的絕對位移輸入模型。

當結構處于線性范圍時，絕對位移可分為慣性力引起的位移和擬靜力位移。

上式可以進一步簡化為：

在工程結構中，一般情況而言，結構的阻尼力與慣性力相比可以忽略不計；還注意到，當采用集中質量法進行有限元的計算時，結構的質量矩陣為對角矩陣，這意味著矩陣]為對角陣，當所有動力分量為0時，可以得到求解震響應的絕對加速度輸入模型，如下：

當結構各支承節點的運動一致時，Tsb=I；同時，阻尼項通常遠小于慣性力，一般可以忽略，此時，式（4）可以寫為：

以上基于達朗貝爾原理，建立多點激勵下結構反應的動力平衡方程，并進一步推導結果表明，結構運動方程可以分別由地震動的位移輸入模型和加速度輸入模型來表達，其分別對應著結構的相對運動狀態或絕對運動狀態兩種形式。位移輸入模型是將地面位移作為動荷載，建立關于絕對坐標系的動力平衡方程；而加速度輸入模型是將結構在絕對坐標系下的地震響應分為擬靜力反應和動力反應，其中擬靜力反應是忽略慣性力的影響后地面運動位移的靜力反應，動力反應是地面運動加速度引起的反應[2]。由于地震地面運動的記錄多是地面加速度時程，很少直接測到位移的時程，因此，在結構地震嗅覺中多采用加速度輸入模型。目前，當結構各支承點跨度較小且場地條件差別不大時，通常采用相對加速度輸入模型，即式（5）所示。目前，地震動的位移時程的實際記錄較少，我們可以通過剛性質點的運動學關系，通過地震加速度記錄經過積分得到。

2 多點激勵地震動輸入模型在有限元軟件中的應用

由前文推導可知，式（5）為相對加速度輸入模型，當地震激勵為一致激勵時，由已知的支承節點加速度時程，通過動力學方程的求解，即求得與地震動激勵相對應的結構非支承節點的相對位移、速度及加速度，此法也可以稱為即相對運動法（簡稱RMM）。此方法為目前通用的有限元軟件所采用的分析模型。計算分析模型如式（5）所示，即一致激勵地震響應分析通常所采用的計算方法，此方法可以適用于一致激勵下線性及非線性地震響應分析，可以求得節點相對位移、速度及加速度。

在多點地震動激勵作用下，當結構處于線性范圍時，式（5）仍然成立，因此，相對運動法仍然適用，但是在求解過程中需要求解逆矩陣，有限元求解逆矩陣較困難；當結構處于非線性范圍時，由于結構非線性變形引起的結構剛度不能忽略，擬靜力反應和動力反應不能單獨求解，疊加原理不再適用[3]。因此，目前，通過的相對加速度輸入模型不適用于多點激勵下非線性地震響應分析。進行多點激勵響應分析，需要通過直接對絕對位移輸入模型或絕對加速度輸入模型進行直接求解。然而，現有的有限元軟件通常無法直接實現各支承點的非一致激勵響應分析，需要重新進行編程分析，但是自編程序耗時耗力，且程序通用性較差，很難為其它人所接受。因此，人們基于地震動輸入原理，根據通用有限元軟件的現有功能，提出了基于現有通過有限元軟件中的絕對加速度/位移輸入模型的實現方法。根據在有限元軟件的實現方法的不同，可以分為大質量法、大剛度法、絕對位移輸入法。

2.1 大質量法（LMM）

由于地震地面運動的記錄多是地面加速度時程，因此，基于加速度輸入的輸入模型更習慣被人們所接受。然而，目前通用的有限元分析軟件，如ANSYS、SAP2000等均無法實現支承點的非一致加速度激勵下的地震響應分析。基于此目的，提出了適用于商用有限元軟件的絕對加速度輸入模型的實現方法——大質量法。大質量法（Large Mass Method，簡稱LMM）是對結構模型進行動力等效的一種近似分析方法。在此方法中，為了實現各支承處的非一致加速度輸入，這種方法通過在支承點處施加遠大于結構總質量的大質量(大于整個結構質量的10倍以上)，因此，慣性力在響應中就占優勢。為了得到確定的加速度，在支承處的慣性力應該被視作外部驅動力，便可在支承自由度處獲得確定的加速度。此方法即通過施加力的時程使支承大質量產生振動而實現各支承點的非一致地震激勵，表達式如下：

式（6）中：Mbig為節點大質量，通常取結構總質量的106～108倍；Fb為在各節點大質量上所施加時間變化的節點荷載為各支承節點處的地面加速度時程。當大質量遠大于結構質量Mbb時，有即支承節點的實際響應加速度與地面加速度一致，最終實現了對支承節點的加速度輸入。

大質量法通過對支承節點添加大質量并施加與地震加速度相對應的力時程，實現了地面加速度的輸入。大質量法在求解過程中不涉及位移的分解，因此可以通過直接積分的方法得到結構的總體地震反應。而且，大質量法可以適用于非線性分析[4-6]。但是，由于大質量法求得的最終結果是結構各點的絕對反應，因此無法區分擬靜力反應項和動力反應項。

多點支承激振可很明確地通過此方法進行計算，地震激勵產生的內力可通過直接解方程獲得,所得結果是本文第二章所述相對運動方法中擬靜力項和動力項的和。從以上分析可知，用大質量法求解基礎激勵的動力響應問題實際上是將結構與基座連接處的固定約束變為隨時間變化的加速度約束，從本質上講是一種約束關系[7]。

2.2 大剛度法（LSM）

為了避免位移輸入模型中Ksb的計算分析，可以使用大剛度法近似進行分析。大剛度法的解題原理與大質量法基本相同，也基于罰函數法，不過是作用在剛度矩陣上。大剛度法在支撐處設置一大剛度彈簧，其剛度K約為單元剛度總和的 106倍，然后在支撐處施加與地震激勵 Ug≈Ub相應的動力荷載。大剛度法也需要對模型進行一定的修改：將對應基礎激勵自由度的剛度上加一個大彈簧Kll，同時改變對應的荷載。大剛度法的動力平衡方程為：

式（7）中：K*為原支承節點與新增支承節點間桿件剛度；K*ug為在原支承節點處所施加沿位移方向時程力。

大剛度法與大質量法相比,大質量法的求解精度和求解效率較高。因為大剛度法會造成結構的高階模態,而用模態疊加法求解時往往會忽略高階模態的存在,因而大剛度法不適合用模態疊加法求解,宜采用直接瞬態法求解。大剛度法適用于基礎激勵為位移的情況，此時,載荷的施加非常方便，不需要作其它變化,同時避免了加速度積分引起的剛體漂移問題。

2.3 絕對位移輸入法（ADM）

SAP2000中可以直接對支撐點指定位移時程,所以不需要對模型進行任何處理。位移輸入法求解方程如式（4）所示：

式（8）即為位移輸入法的基本方程。此方法不需要事先對模型進行修改，可直接對各固定支承點施加不同的位移時程，通過直接求解式（4）得到結構的地震響應，此方法可以不修改模型的前提下在現有通用的有限元程序中方便實現。直接法與以上兩種方法相比,求解精度最高,而且不會遇到數值問題。但由于模態疊加法求解的特性，直接法不宜用模態疊加法求解，只能采用直接積分法求解。同樣，也不會遇到加速度積分引起的剛體漂移問題。文獻[2]則認為，不論對于多點激勵還是一致激勵，采用相同的數值積分方法和積分步長時，位移輸入模型都能較加速度輸入模型得到較高的精度。

3 基于SAP2000的多點激勵響應算例分析

為了更具體地表達出各種方法在現有商用有限元軟件中的實現方法，本文基于大型通用有限元軟件SAP2000，建立某大跨度懸索橋的三維有限元分析模型。在進行大跨懸索橋地震響應分析時，分別應用各種不同的方法來在SAP2000中實現多點非一致的激勵，最后，用關鍵節點的地震響應結果來比較驗證各種方法和準確性。

3.1 工程背景及有限元分析模型

本文以某主跨為850 m的大跨度懸索橋為算例。此大跨懸索橋的主梁采用工字型鋼板梁；主塔采用鋼筋混凝土框架結，高度約為129 m，由塔座、上、下塔柱及上、下橫梁幾部分組成。主塔上、下橫梁均為鋼筋混凝土單箱單室結構。主纜矢跨比為1/9，橫向中心距為36 m，吊點間距15 m。各跨主梁均為簡支體系，主梁在主塔及邊墩處均設上、下游豎向拉壓支座，約束主塔、主墩處主梁的豎向位移，并通過上、下游豎向支座的聯合作用，約束主梁的扭轉；主梁在邊、中主塔及邊墩處均設側向抗風支座。

采用SAP 2000建立了空間動力計算模型。主纜和吊桿采用梁單元模擬，但忽略其彎曲剛度，考慮纜索及吊索的柔性，同時設置拉壓限值，模擬只受拉不受壓的特性。主纜按吊桿的吊點進行離散，但應考慮幾何非線性及垂度的影響，對其彈性模量進行修正。橋塔在計算模型中用空間梁單元模擬，單元節點取截面形心的連接線。在橫梁與主塔相交處。鋼主梁采用空間梁單元進行模擬，由實際梁計算的實際截面特性輸入進行計算，主梁在模擬中用脊梁模式進行模擬，質量包括所有橋面系的質量，并考慮扭轉質量慣矩的影響。主纜在錨固點處約束3個方向的線位移，以模擬錨固的錨固作用；塔底基礎節點處固結。建立的三維有限元模型如圖1所示。

圖1 三維有限元模型圖

本算例地震響應分析時所采用的地震加速度時程曲線及相應位移時程曲線如圖2所示。其中位移時程是由加速度時程曲線二次積分得到，并進行零基線調整。由于本次算例主要為了探討各種方法在SAP2000中的實現方法，因此，在本算例中的多點非一致激勵僅考慮地震動沿X向行波效應，假定地震動波以400 m/s的視波速沿縱橋向傳播，即各個支承點的地震動激勵時滯分別為0.5 s,2.63 s，3.13 s。

圖2 地震動輸入

然而，目前在SAP2000中并無法直接實現多點激勵地震響應分析，分別介紹基于SAP2000程序的間接實現方法。

3.2 大質量法在SAP2000中的實現方法

根據該算例的實際情況，在SAP2000中采用LMM法進行分析時，有限元模型要做以下調整：

（1）首先，在SAP2000軟件是定義地震動加速度時程曲線；把結構的支承點處釋放掉一個地震激勵方向的約束，該算例釋放縱橋向線位移約束；給邊界節點施加一個X向大質量Mmass，大質量約為全橋質量的106倍左右，該算例中取Mmass=1012T；在各個支承點沿X向分別施加單位的質量力；圖3（a）僅為左主塔底邊界處理的示意圖。

（2）設置大質量法的多點激勵分析工況。Load name分別設置為各支承點處施加的力時程，力時程的放大系數取為1012，各個力時程的時間差根據視波速傳遞的時間以考慮地震動的波傳播效應，具體設置如圖3（b）所示。

圖3 大質量法在SAP2000中的實現

3.3 大剛度法在SAP2000中的實現方法

根據該算例的實際情況，在SAP2000應用LSM法進行分析時，有限元模型要做以下調整：

（1）首先，在SAP2000軟件是定義地震動位移時程曲線；把結構的支承點處釋放掉一個地震激勵方向的約束，本算例釋放X向線位移約束；給邊界節點施加一個X向大剛度彈簧K，本文取大剛度為1012倍左右；在各個支承點沿X向分別施加單位的力時程；圖4（a）僅為左主塔底邊界處理的示意圖。

（2）設置大剛度法分析工況。Load name分別設置為各支承點處施加的力時程，力時程的放大系數取為1012，各個力時程的時間差根據視波速傳遞的時間來設置，具體設置如圖4（b）所示。

圖4 大剛度法在SAP2000中的實現

3.4 絕對位移輸入法在SAP2000中的實現方法

SAP2000軟件支持各支承點的位移激勵的非一致輸入，因此，在SAP2000中應用絕對位移法進行多點激勵響應分析是十分方便快捷的。

以下簡單介紹一下此方法在SAP2000中的實現過程：

（1）首先，定義地震動的位移時程曲線，在SAP2000中采用位移法進行多點激勵分析時，不需要對有限元模型進行修改，直接在支承節點施加X向位移荷載，如圖5(a)所示。

（2）設置絕對位移法分析工況。Load name分別設置為各支承點處施加的位移時程，位移時程的放大系數取為1即可，各個支在點的位移時程的時間激勵，根據視波速傳遞的時間來設置，具體設置如圖5（b）所示。

3.5 大跨懸索橋在多點激勵下地震響應比較

圖5 絕對位移法在SAP2000中的實現

根據上述的3種方法基于SAP2000軟件分別進行多點非一致激勵下的地震響應分析。對于大跨度懸索而言，重力剛度的影響不能忽略。因此本文進行多點激勵地震響應分析時基于恒載作用下的靜力平衡狀態進行分析。圖6列出采用大質量法（LMM）時，雙塔懸索橋的各個支承點的實際地震動輸入時程，由該圖可以看出，大質量法可以有效地實現各支承點的非一致激勵。圖7、圖8分別比較了在SAP2000軟件中采用大質量法、大剛度法和直接位移法的實際輸入和結構響應結果。由于篇幅有限，圖7僅列出1#主塔底的實際位移輸入時程，由圖可以看出，采用3種不同的方法，對該節點的實際位移激勵時程都幾乎完全一樣。大質量法和直接位移法的實際輸入略有些細微差別，應該是由于加速度積分過程中的誤差引起的。圖8(a)、(b)為1#主塔塔頂節點在地震激勵下的加速度響應時程和位移響應時程，可以看出3種方法均能較好地實現多點激勵地震響應分析。

4 結論

本文圍繞多點地震動激勵下地震動輸入模型及其在通用有限元軟件中的實現而開展研究，主要得到以下結論：

圖6 LMM法時各支承點的加速度激勵時程

圖7 3種方法1#塔底節點實際位移輸入時程

（1）由動力學原理出發，推導多點激勵下的動力平衡方程，地震響應分析的位移輸入模型和加速度輸入模型的動力平衡方程。

（2）根據目前通用有限元軟件的特點，提出可以適用于通用有限元軟件的多點激勵實現方法——大質量法、直接位移法及大剛度法，并闡述了各種方法的動力平衡方程及原理。

（3）以某主跨為850 m的懸索橋為工程背景，基于SAP2000詳細介紹各種方法在通用有限元軟件中的實現方法，并通過數值結果比較證明了3種方法均是行之有效的。

圖8 3種方法下塔頂節點響應時程比較

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