高斯波束傳播特性研究

常 偉，張登玉，張宗兵，魏增飛

（1.西安電子科技大學 理學院，陜西 西安 710071；2.衡陽師范學院 物理與電子信息科學系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

隨著激光的出現和光電子技術的發展，對高斯波束研究開始為人們所重視。Kogelnik［1－2］在傍軸近似的條件下，研究了高斯波束場的分布特性。對于高度平行的激光束，傍軸近似理論成功地解釋了實驗數據。然而，半導體激光器及大數值孔徑光學透鏡的廣泛應用，標志著光源尺寸不斷接近波長數量級甚至更小，波束發散角增大，傍軸近似條件不再滿足。目前對于大角度波束的研究主要有三種方法，第一種是M.Lax提出的“微擾法”［3］，即將波束場量用無量綱的冪級數展開。Davis在M.Lax基礎上給出場強的一級修正解［4］。第二種角譜法［5－7］則將高斯波束用平面波展開，根據邊界條件確定角譜。第三種是曾小東［8］使用格林函數基于惠更斯原理直接求解波動方程得到了遠軸高斯波束場表達式。

1 高斯波束及其性質

電磁場的任意直角分量u（x，y，z）都滿足Helmholtz方程

波束場強在橫截面上的分布由具體的激發條件確定［9］，考慮一種最簡單的高斯分布，分布函數為e－（x2＋y2）／w2，波束的寬度w＝w（z），故u可以寫成

其中eikz表示沿z方向的傳播因子，不同于廣延于全空間中的平面波所具有的確定波矢，波束只能有大致的傳播方向。e－f（z）（x2＋y2）為限制波束寬度因子，g（z）表示波的振幅。

將g（z）和f（z）代入（2.2）式可以得到高斯波速場強函數［9］

圖1 高斯波束過軸線剖面

2 高斯波束場描述

2.1 傍軸近似理論

均勻各向同性無源介質中沿z軸方向傳播的波束電場可以寫成［10］

將Laplace算子分解成橫向和縱向兩部分［11］

該方程解的最低階模即為高斯波束，具有形式［12］

將（8）式代入（5）式，得到傍軸近似條件下的高斯波束解

其中w（z）＝w0表示波束的尺寸，R（z）＝z（1＋z20／z2）表示波 前曲率半 徑，η（z）＝tan－1（z／z0），z0＝nπw20／λ。為描述波束的發散特性，將波束的發散角定義為

其中n為介質折射率。對于平行度極好的激光束，傍軸近似理論與實驗數據已經能高度吻合。

從高斯波束場強分布圖可以看到場強集中在軸線附近，往兩側迅速衰減，當束腰半徑變大時其相位沿z軸有向前移動的趨勢。

2.2 微擾法

傍軸近似理論在實驗上獲得了巨大的成功，卻因為其只考慮場沿橫向極化，忽略了縱向分量，以至于傍軸解與Maxwell方程不能自洽［3－4］。為此，Lax提出將波束場分解成橫向和縱向兩個分量，求解嚴格的Maxwell方程，并將場量用束腰尺寸與發散長度之比s＝w0／l＝1／kw0的冪級數展開，建立對傍軸各級修正的微分遞推關系。Davis在此基礎上給出了傍軸解得一階修正表達式。

假設

在Lorentz規范下的滿足Helmholtz方程

將（11）式代入（13）式得到

將（12）式代入（14）式得到

其中s＝w0／l＝1／kw0，ξ＝x／w0，η＝x／w0，ζ＝z／l，l＝kw20為共焦參數，當z＝l時，R取得最小值。求解（15）式得到

其中Q0＝1／（i＋2ζ），ρ2＝（ξ2＋η2）。根據電磁場與矢勢的關系

得到修正后的波束電場

2.3 角譜展開法

當波長達到束腰半徑數量級或者更小時，傍軸近似條件不再成立，而微擾法得到的電場表達式將非常繁瑣。基于本征函數的角譜展開是Helmholtz方程在邊界條件下的嚴格解，不受傍軸近似條件限制，能夠用來研究傍軸區外場特性，而且場的角譜展開具有明顯的物理意義，即空間波束可以看做是沿各個方向具有不同振幅的平面波的疊加［13］，這對研究波束與介質體的相互作用是很方便的。

設電場振幅在束腰平面內具有高斯型函數分布

在平面坐標系內，將電場用平面波譜展開，各分量的具體形式為［6］

其中

將（25）式再代入到（22）式，可以得到

其中

在遠場時，倏逝波的貢獻可以忽略，角譜展開法的遠場解為

3 結 論

本文介紹高斯波束的基本理論，指出高斯波束與平面波的區別，平面波廣延于全空間并具有確定的波矢，而波束只有大致的傳播方向和一定的波束寬度，在波束腰部處其波陣面為平面，遠離軸心處則為以腰部中點為球心的球面。分析比較了描述高斯波束的三種主要方法并基于角譜展開法推導波束場分量表達式，模擬了波束寬度內場強及其相位分布。研究發現，高斯波束場能量主要分布在軸線附近，遠離軸線時呈指數衰減。對于近軸解，這三種方法都可以退化到同一形式，對于遠軸解角譜展開法有著更明確的物理意義、更高的精度和更廣的適用范圍。

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