小學數學課程教材現代化之體現

◆胡清六

1 引言

現今，精彩的數學活動包括：對單位的意義、讀法、寫法的顯示與應用；位置值、單位值概念的確立、顯示與應用；組成單位、基本單位、主單位的確認，顯示與應用；數碼、數字、數量、比值的分辨與應用。它揭示自然數、10進制數、2進制數、4進制數、8進制數、16進制數、32進制數、64進制數，不同進制數并存、各顯本能，爭為社會發展、科技進步加力。

2 小學數學課程教材現代化之體現

2.1 課程定位

以自然數為基礎，傳承人類精粹的數學思想、方法；以10進制數為主導，真實地反映人類生活，密切數學與人類的關系；以2進制數為發展方向，揭示數學與社會進步、科技發展的關系，為此奠基。

2.2 重心移位

計算的準確、快速，在數學教學中一直占有重要分量。近代算盤曾是數學教學的重要教具；很多電視廣告大力宣傳的“一分鐘速算”，也同樣不代表教改的方向，它因微型計算器普及與使用而暗淡。反之，數理、算理的掌握與顯示的過程與應用，是時代的呼喚，體現了教改的方向。

2.3 理論創新、科學發展

數學就是用單位的組合體去顯示和描述客觀世界的存在，并逐步抽象概括、形成方法和理論，并廣泛應用的過程。單位、即標準數量，用數學模型（數學事實）顯示其意義，用1顯示其存在，用其標識（名稱、符號、單位值……）表達，并稱單位顯示的三要素，如：1 cm。數字是對單位組合體的抽象，顯示單位的個數。數字的意義不同，可分為自然數、10進制數、2進制數等。數字的意義不同，顯示數量的組成結構不同，其寫法、算法也不同。數字是用數碼或數碼的有順組合顯示的，如顯示自然數的數碼共10個，因地域不同而寫法有異，如1（一）、2（二）、3（三）、4（四）、5（五）、6（六）、7（七）、8（八）、9（九）、0（零）。數量用數字與單位的名稱組合顯示，表示某種量的多少，即哪個單位的個數。數量分為單名數或復名數，單名數是對相同單位組合體的描述，復名數是對不同單位組合體的描述。將復名數簡寫成單名數（用主單位的名稱表示的數量），用各組成單位分別與主單位的關系顯示，認識整數、小數、分數。比值的顯示或整數或小數或分數形式，它顯示兩個數量的關系，它以兩個數量的存在而存在。數字與數量、單名數與比值的顯示雷同，不能簡單地以名數、不名數去區分，而要從意義、用法的不同去分辨。概念的教學是體現素質教育的重要手段。

1）自然數的寫法與位置值的顯示。自然數是對相同單位組合體的抽象，顯示某單位的個數。只用到一個單位自然數的寫法不涉及數位、數位順序、位數的概念。如何用1、2、3、4、5、6、7、8、9與0或它們的有序組合，顯示無限個不同的自然數的數字？涉及一個重要的數學概念——位置值。位置值由法國著名數學家拉普拉斯（1749—1827）提出，指出：數碼在不同位置有不同的位置值，如：1（一）、10（十）、100（百）、1000（千）……顯示數碼1在不同位置有不同位置值一、十、百、千……得到位置順序……千百十一；依據位置順序，用同一位置數碼的不同與同一數碼位置的不同顯示各不同的自然數。在自然數中，只有自然數1是對單位的抽象，其余均為這一單位的不同個數。用自然數表示數量的多少，教材中稱為整數。

2）2進制數的寫法與單位值的顯示。2進制數是對不同單位組合體的抽象，顯示單位不同的個數。自然數與2進制數為龍鳳雙胞胎，前者相同單位的個數可以無限，后者單位不同的個數可以無限，它們都能顯示同一個數量的多少。如何用1與0兩個數碼，顯示一個數量所用不同單位的個數？涉及一個重要的數學概念——單位值。將一個單位不同的組合體抽象為一個數字，不同單位如何顯示？這就涉及數位，數位順序、位數的顯示法。單位值的概念也就應運而生。如一物的長度剛好為8 cm、4 cm、2 cm、1 cm四段不同長度之和，顯示其物長度的數字，用自然數顯示是15，用2進數顯示是1111；15指一個單位（1 cm）的個數（8+4+2+1），1111指4個不同長度單位的合并（1+1+1+1）。如何顯示1111這四個單位的不同？只能從單位顯示的三要素入手，最小單位的標識是“cm”，其余3個不同單位給予不同的標識無法解決，8、4、2、1可作為單位值標注單位的不同，用它們顯示數位、數位順序，既容易造成混亂，更不可持續。若將8、4、2、1改用23、22、21、20顯示，其數位順序顯示為……23222120；用它顯示這一長度的組成單位不同，一目了然。

單位值確定用冪顯示，并作為單位的標識。這一創新，標志數學基礎理論的重大突破，用它可顯示……N3N2N1N0；得到N進制數的寫法；顯示數與式的聯系，如（321）N=3N2+2N+1；當位置值與單位值相等時，N進制數與自然數可相互改寫，如15=（1111）2，（）2為2進制符號。單位值概念的確立、顯示方式的確認，能定量刻畫結構多變的單位組合體，揭示20世紀中葉后數學自身的發展發生的巨大變化。

3）10進制數與人類生活的顯示。數學來源于人類生活，又必須反映生活。國際標準單位普遍為10進單位。因此，用10進制不同單位的組合體顯示數量，是當今社會最常見的顯示方式。用單位值顯示十進制為……103102101100，因量的類別不同，顯示10進可分類為…元角分…、…米分厘毫…等，其排列均顯示數位順序。用10進制不同單位組合體顯示的數量，用不同單位的名稱顯示10進制，數位、數位順序、位數顯示一目了然。用數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9或0顯示不同各單位各自的有限個數，就能真切地顯示和描述人類生活中的數量，密切數學與人類的關系。

2.4 小學數學課程現代化的標志

1）以10進數為主導，其主導地位的確立，是因為數量的顯示方式普遍是不同10進單位的組合體。只有10進才能用不同單位的名稱排列顯示；用單位的名稱排列顯示數位順序，它最能反映人類生活：①顯示數量的讀寫（單名數或復名數）；②顯示單名數的寫法，用各組成單位與主單位的關系顯示（確定小數點在數位順序中的位置）；③顯示單名數的改寫（小數點所在的數位不動，其10進數在其數位順序中或左或右位置移動）；④顯示小數的基本性質；⑤計算1+1=2，顯示相同兩單位的合并，1+1≠2顯示不同兩單位的合并。

2）以2進數為發展方向。為何為發展方向？①因一個2進數是對一個自然數的擴寫，使計算簡單，口訣為：一上一或一去一進一，一去一或一退一還一。顯示計算器計算原理。②16進制數、32進制數是對一個自然數的縮寫，用于科學研究，它們可改用2進數進行計算，學習2進數，為社會發展、科技進步奠基。

3）以自然數為基礎，傳承人類精粹的數學思想方法。N進制數、不同進制數是以自然數為基礎的發展，單位值的顯示實為對一個自然數顯示方式的改變。自然數為相同單位個數加減等式顯示多數量的聯系，揭示同一單位個數的增減變化。乘除等式顯示兩數的關系（比值），比例式顯示兩數量的存在狀態（簡比），比值與簡比可相互改寫，它們均以兩數量的存在而存在。求解比值與簡比，涉及一個數是奇數還是偶數、是合數還是質數，一個數質因數的個數多少的肯定。對兩個數的公約數與公倍數，最大公約數與最小公倍數的求解，互質數的求解，這些概念都只能在自然數的范圍內成立，求兩數量的關系轉化為求兩自然數的關系，依據兩數量關系式解決數學問題。

3 結語

綜上所述，不同意義的數都能顯示數量的讀、寫、算，10進數優于顯示數量的讀寫，2進制數優于顯示數量的計算，自然數揭示多數量的聯系與顯示兩數量關系，小學數學教育才能簡單、科學，與時俱進。

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[2]胡清六.排列計數教學法和排列計數顯示器[J].實驗教學與儀器,1999(4):28-29.

[3]胡清六.三算結合：數學教育的科學發展[J].中國教育技術裝備,2012(19):34.

[4]胡清六.數字的多義、擴寫、縮寫與應用[J].中國教育技術裝備,2013(4):113.

[5]胡守成.數理創新結碩果 科技花開分外香:十進制單位關系算盤[J].中國教育技術裝備,2013(17):42.