關(guān)于二維正態(tài)分布的一個教學注記

呂東風

摘 要：利用二維正態(tài)分布定義中的一個基本事實，簡單地說明了兩個正態(tài)分布的聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布，指出了教材中一個性質(zhì)的不足之處。

關(guān)鍵詞：二維正態(tài)分布；相關(guān)系數(shù)；數(shù)學問題

眾所周知，二維正態(tài)分布是概率論中非常重要的一種分布，其性質(zhì)也是很重要的，但很多教材在討論兩個正態(tài)分布的聯(lián)合分布是不是二維正態(tài)分布這個問題時，要么就是說得不是很清楚，要么就是沒有給出例子，要么就是給出的例子比較復(fù)雜，其實只要注意到二維正態(tài)分布定義中的一個基本事實，這個問題就可以說得很清楚。

首先，給出二維正態(tài)分布的定義：如果二維隨機變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為：

其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均為參數(shù)，且σ1>0，σ2>0，ρ<1，則稱（X，Y）服從參數(shù)為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態(tài)分布，記作（X，Y）（μ1，μ2，σ1，σ2，ρ）。

經(jīng)過討論，發(fā)現(xiàn)如果（X，Y）服從二維正態(tài)分布，那么兩個分量X，Y都服從一維正態(tài)分布，而且參數(shù)ρ就是兩個分量X，Y的相關(guān)系數(shù)，它是不能等于1和-1的，也就是說（X，Y）服從二維正態(tài)分布的前提是：兩個分量X，Y是正態(tài)分布，而且它們的相關(guān)系數(shù)不是1和-1。

如果二維隨機變量（X，Y）的兩個分量X，Y是同一正態(tài)分布，都是X，那么（X，Y）就不服從二維正態(tài)分布，因為兩個分量的相關(guān)系數(shù)是1。這樣我們就很容易解釋，為什么兩個分量是正態(tài)分布，但它們的聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布。

另外，一些教材中往往給出二維正態(tài)分布的這樣一個性質(zhì)：

性質(zhì)：若（X，Y）服從參數(shù)為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態(tài)分布，那么（aX+bY，cX+dY）服從二維正態(tài)分布。

我覺得這個性質(zhì)是不嚴謹?shù)模热鏰=c=1，b=d=0這時（aX+bY，cX+dY）為（X，X），兩個分量的相關(guān)系數(shù)為1，（X，X）就不服從二維正態(tài)分布。更一般的，如果a b

c d=0，那么（aX+bY，cX+dY）的兩個分量aX+bY和cX+dY成比例，其相關(guān)系數(shù)為1或-1，（aX+bY，cX+dY）就不服從二維正態(tài)分布。應(yīng)該再加一個前提，就是行列式a b

c d不等于0，就可以利用二維正態(tài)分布的定義證明（aX+bY，cX+dY）服從二維正態(tài)分布，這樣就沒有問題了。

參考文獻：

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