結合罰函數與序列二次規劃的lp 范數優化方法

馬 聰，劉 哲，甄小仙

西北工業大學 理學院，西安710129

1 引言

信號采樣是聯系模擬信源和數字信息的橋梁。人們對信息的巨量需求造成了信號采樣、傳輸和存儲的巨大壓力。如何緩解這種壓力又能有效提取承載在信號中的有用信息是信號與信息處理中急需解決的問題之一。而近年來出現的壓縮感知理論（Compressed Sensing，CS）[1-2]提供了解決辦法，它突破了傳統的奈奎斯特采樣定律的限制，是一種可以同時完成采樣和壓縮的新型信號處理理論，其核心思想是：在某個變換域是稀疏的或者可壓縮的信號，可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將變換所得高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解一個優化問題從這些少量的投影中以高概率重構出來。

在CS 理論中，信號的重構基于范數優化理論展開，數學意義上來講就是求解l0范數優化問題，但該問題屬于非凸優化問題[2]，是NP 難的。文獻[3]證明了可以用l1范數代替l0范數求解得到同等的解，但該方法還需要較多的觀測樣本。文獻[4]構造了lp(0 ＜p ＜1)范數實現算法，實驗性地證明了基于lp(0 ＜p ＜1)范數的優化算法在重構信號效果及算法可靠性方面優于l0范數優化和l1范數優化。文獻[5]從幾何學角度對不同范數的物理模型作出了解釋，并證明了lp范數在信號重構方面的優越性。

本文以非線性最優化為方向研究lp范數優化，提出了結合罰函數法和序列二次規劃方法（SQP）的lp范數優化算法，實現了lp范數最優化意義下CS 理論信號重構。

2 基于lp 范數優化的信號重構

設一個N 維有限長實信號x ∈RN，Φ 是一個M×N(M ?N)維的觀測矩陣，觀測值y=Φx 是一個M 維向量。……