球形破片侵徹明膠的瞬時空腔模型

莫根林，吳志林，劉坤

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

創(chuàng)傷彈道實驗中常采用明膠作為人體肌肉組織的替代物。彈頭侵徹明膠過程中通過3 種方式將能量傳遞給周圍的明膠:切割作用、壓力波和瞬時空腔。實驗表明瞬時空腔使得彈道周圍的明膠拉伸破壞，瞬時空腔被認(rèn)為是創(chuàng)傷效應(yīng)中最大的影響因素[1－2]。因此，研究投射物穿透明膠過程中瞬時空腔的形成規(guī)律對于闡明投射物的致傷機制具有十分重要的意義。

錢有林[3]對空腔效應(yīng)的形成機理及其影響因素進行了探討，并運用模糊數(shù)學(xué)的觀點預(yù)估空腔的大小。Fackler 等[4]沿彈道方向?qū)⒚髂z塊分割成很多明膠切片，將明膠切片中最長的兩道裂紋長度之和作為該處最大的瞬時空腔直徑;結(jié)合明膠切片到明膠塊表面的距離，利用最大空腔直徑的包絡(luò)線描述彈頭的致傷效應(yīng)(WP)方法。裂紋總長測量(TCL)方法以明膠切片中所有裂紋長度之和作為該處瞬時空腔的最大周長[5]。多邊形測量(PP)方法將明膠切片中裂紋形成的多邊形周長作為瞬時空腔的最大周長[6]。這些方法是以測量靜態(tài)裂紋長度作為致傷效應(yīng)評估的基礎(chǔ)，而明膠中的裂紋有時候很難辨識。采用高速攝影獲得的空腔數(shù)據(jù)表明上述方法帶來的誤差可以達到50%[7].Schyma[6]通過在明膠塊前放置染料，光學(xué)掃描明膠切片的方法提高了裂紋的辨識度。對彈頭侵徹明膠實驗數(shù)據(jù)的分析表明明膠中裂紋的產(chǎn)生和明膠吸收的能量成線性關(guān)系[8]。文獻[9]建立的最大瞬時空腔(MTC)模型將瞬時空腔最大值和彈頭的運動速度、直徑、迎風(fēng)面積等因素聯(lián)系起來。該模型無需借助實驗即可獲得瞬時空腔的最大值。上述模型沒有建立瞬時空腔隨時間的變化關(guān)系。Liu 等[10]假設(shè)明膠為不可壓縮材料，將空腔膨脹的能量分為彈性能和塑性能，建立了空腔的運動模型。

1 實驗材料與方法

采用質(zhì)量百分比10% 的彈道明膠，密度為1 030 kg/m3，尺寸為30 cm×30 cm ×30 cm.實驗前將明膠塊放在4 ℃的冰箱中保溫24 h.實驗中采用彈道槍作為發(fā)射裝置，彈道槍距離明膠塊25 m.光電靶放置在明膠塊前1 m 處，高速攝影機放置在明膠塊側(cè)面與明膠塊等高，實驗裝置如圖1 所示。實驗裝置固定后，在明膠塊位置放置刻度尺并用高速拍攝其圖像，為空腔實驗數(shù)據(jù)的讀取做準(zhǔn)備。采用直徑為3 mm、4 mm 和4.8 mm 的鋼球作為侵徹破片，鋼球的速度范圍為650 ～1 000 m/s.實驗時將明膠塊放置在光線充足的場所，破片垂直侵徹明膠塊，采用高速攝影機Phantom v120 拍攝鋼球在明膠塊中的運動和瞬時空腔的運動。高速攝影的拍攝頻率為10 000 f/s，曝光時間5 μs，圖像分辨率為1 024 像素×512 像素，拍攝時長2 s.

圖1 實驗裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of experimental apparatus

2 實驗結(jié)果和分析

2.1 數(shù)據(jù)的讀取

圖2 為4 mm 鋼球侵徹明膠過程中的瞬時空腔。從圖中可以看出，空腔和明膠有明顯的分界線，利用帶有刻度尺的圖像和Phantom Camera Control 軟件的Measure 功能即可標(biāo)定圖像中空腔的尺寸。將坐標(biāo)系設(shè)定在選定的截面位置，通過讀取空腔分界線的縱坐標(biāo)，得到空腔位移隨時間的變化關(guān)系。圖3 ～圖6 顯示直徑為3 mm、4 mm、4.8 mm、4.8 mm 鋼球分別以660 m/s、720 m/s、727 m/s 和938 m/s 速度侵徹明膠時，不同截面處空腔位移隨時間的變化曲線。

圖2 4 mm 鋼球侵入明膠時的瞬時空腔Fig.2 Temporary cavity for 4 mm steel sphere penetrating into gelatin block

2.2 空腔運動模型

假設(shè)明膠為彈性介質(zhì)，其變形為平面軸對稱變形。令明膠的空腔半徑為u0，假設(shè)截面半徑r 處明膠的徑向位移

根據(jù)彈性胡克定律，明膠的運動方程表示為

式中:ρ0、λ 和G 分別為明膠的密度、拉梅常數(shù)和剪切模量。(2)式對半徑r 從0 ～R 進行積分，得

圖3 3 mm 鋼球以速度660 m/s 侵徹時空腔實驗數(shù)據(jù)Fig.3 Movement of cavity wall for 3 mm steel sphere penetrating into gelatin at 660 m/s

圖4 4 mm 鋼球以速度720 m/s 侵徹時空腔實驗數(shù)據(jù)Fig.4 Movement of cavity wall for 4 mm steel sphere penetrating into gelatin at 720 m/s

圖5 4.8 mm 鋼球以速度727 m/s 侵徹時空腔實驗數(shù)據(jù)Fig.5 Movement of cavity wall for 4.8 mm steel sphere penetrating into gelatin at 727 m/s

求解(3)式并利用初始條件t=0，u0=0 得

圖6 4.8 mm 鋼球以速度938 m/s 侵徹時空腔實驗數(shù)據(jù)Fig.6 Movement of cavity wall for 4.8 mm steel sphere penetrating into gelatin at 938 m/s

式中:A 為瞬時空腔最大幅值;ω 為空腔振動角頻率。

假設(shè)空腔內(nèi)壁的運動規(guī)律僅和該截面獲得的能量有關(guān)，(4)式表示為

（2）結(jié)晶法：取少量樣品，分別滴幾滴水，振蕩試管，結(jié)塊并放熱的是N a2CO3（N a2CO3粉末遇水生成含有結(jié)晶水的碳酸鈉晶體——水合碳酸鈉N a2CO3·xH2O）。

式中:Es為截面獲得的能量(J/m)，A 和ω 為Es的函數(shù)。

2.3 Es的求解

文獻[11 －12]建立了球形破片侵徹明膠的運動方程，其基本形式為

式中:m、a、v、F 和S 分別為球形破片的質(zhì)量、加速度、速度、受力和迎風(fēng)面積。通過對鋼球位移時間曲線的擬合，取c1= － 360 kg/m3，c2= 0，c3=－680 000 N/m2.對(6)式進行求解，得到速度－位移的表達式為

式中:v0為破片的初始速度;x 為侵徹深度。假設(shè)截面獲得的能量等于球形破片在該處損失的能量即，

式中:E 為球形破片的總動能。將(6)式和(7)式帶入(8)式求得彈道方向任意位置的Es.

2.4 參數(shù)擬合

實驗中觀察到空腔入口處明膠有一定程度的軸向運動，為使實驗數(shù)據(jù)符合平面運動假設(shè)，對侵徹深度大于4 cm 的空腔實驗數(shù)據(jù)進行正弦函數(shù)擬合。將3 mm、4 mm 和4.8 mm 鋼球?qū)嶒灁M合的幅值、角頻率，以及Es匯總起來，再通過最小二乘法擬合得到幅值A(chǔ) 和Es的關(guān)系如圖7 所示，表達式為

角頻率ω 和Es的關(guān)系如圖8 所示，其表達式為

圖7 空腔幅值和能量的關(guān)系Fig.7 A v.s.Es

圖8 空腔角頻率和能量的關(guān)系Fig.8 ω v.s.Es

3 實驗驗證

用直徑5.2 mm 鎢球以800 m/s 速度侵徹明膠的實驗驗證上述模型。圖9 為6 個截面位置的空腔位移數(shù)據(jù)。對實驗數(shù)據(jù)進行正弦函數(shù)的擬合，空腔幅值和角頻率的模型預(yù)測值和實驗擬合值的比較分別如圖10 和圖11 所示。空腔幅值的相關(guān)系數(shù)為0.95;空腔角頻率的相關(guān)系數(shù)為0.23，除去40 mm處角頻率數(shù)據(jù)，其相關(guān)系數(shù)為0.75.從比較結(jié)果可以看出，該模型能較好地預(yù)測空腔最大幅值和空腔振動角頻率，模型對空腔入口處振動角頻率的預(yù)測誤差較大。

4 結(jié)論

圖9 5.2 mm 鎢球以800 m/s 速度侵徹明膠的空腔實驗數(shù)據(jù)Fig.9 Movement of cavity wall for 5.2 mm tungsten sphere penetrating into gelatin at 800 m/s

圖10 空腔幅值預(yù)測值和實驗值比較(鎢球直徑為5.2 mm、侵徹速度為800 m/s)Fig.10 Comparison of cavity amplitude A (5.2 mm tungsten sphere，800 m/s)

圖11 角頻率預(yù)測值和實驗值比較(鎢球直徑為5.2 mm、侵徹速度為800 m/s)Fig.11 Comparison of frequency ω (5.2 mm tungsten sphere，800 m/s)

本文研究了球形破片侵徹明膠時瞬時空腔隨時間的變化過程。采用正弦函數(shù)描述空腔內(nèi)壁運動的規(guī)律，通過數(shù)值擬合得到了空腔振動幅值和能量、角頻率和能量的經(jīng)驗公式。該模型可以有效地預(yù)測不同直徑、不同材質(zhì)球形破片作用下的瞬時空腔大小和振動周期。

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