具有反饋控制的多種群互惠系統(tǒng)的全局吸引性與數(shù)值模擬

王海江

(北方工業(yè)學(xué)校，遼寧盤錦124021)

近年來，許多學(xué)者利用微分方程穩(wěn)定性理論和拓?fù)涠确椒ǎ接懥宋⒎稚鷳B(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，獲得了一批重要的研究成果［1-3］，但對(duì)具有互惠關(guān)系的多種群模型考慮相對(duì)較少.1976年，May R M［4-5］提出如下兩種群互惠系統(tǒng):

其中，xi(t)代表 i種群在時(shí)刻 t的密度，ai，bi，ci，ri∈C(［0，+∞)，(0，+∞)，(0，+∞))(i=1，2).2004年，柏靈［6］依據(jù)模型(1.1)建立了帶有周期系數(shù)和離散時(shí)間的差分系統(tǒng)，利用重合度理論給出了差分系統(tǒng)存在周期解的充分條件.然而，對(duì)于帶有反饋控制的多種群互惠系統(tǒng)的研究卻不多見.最近，研究了具有生物控制的微分生態(tài)系統(tǒng)［7-9］，分別給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期解存在性的代數(shù)判據(jù).受以上工作的啟發(fā)，本文考慮如下具有反饋控制的非自治時(shí)滯n種群互惠系統(tǒng):

其中，Ni(t)為第i個(gè)種群在 時(shí)刻的密度，Pi(t)為第i個(gè)控制變量在t時(shí)刻的密度，時(shí)滯τi≥0，ai(t)，bi(t)，ci(t)，di(t)，ρi(t)，σi(t)，pi(t)，q1(t)∈C(R，R+)的連續(xù)有界常數(shù)，R+=［0，+ ∞).其互惠性在于:當(dāng) i，j=1，2，L，n，j≠i時(shí)，種群 Nj(t)的存在有助于種群 Ni(t)的增長(zhǎng)，即種群 Nj(t)的存在增大了 Ni(t)的環(huán)境容納量，反之亦然.

令 C+=C(［－τ，0］，R2n+)表示由［－τ，0］到 R2n+的連續(xù)的向量函數(shù)的全體，其中 R2n+={N(t)=(N1(t)，L，Nn(t)，P1(t)，L，Pn(t))T∈R2N:Ni(t)≥0，i=1，2，L，n}.由系統(tǒng)(1.2)的可應(yīng)用性，本文考慮初值問題

本文采用記號(hào):

這里f(t)是非負(fù)的連續(xù)有界函數(shù).

生物動(dòng)力系統(tǒng)有著重要的實(shí)際意義，歷來受到學(xué)術(shù)界的重視.本文主要究系統(tǒng)(2)的一致持久性、正周期解存在性及其全局漸近穩(wěn)定性，最后利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬，進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.據(jù)悉，尚未有學(xué)者研究系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

1 一致持久性

證明 采用文獻(xiàn)［3］的類似證明方法易得，從略.

2 正周期解存在性

假設(shè) ai(t)，bi(t)，ci(t)，di(t)，ρi(t)，σi(t)，pi(t)，qi(t)∈C(R，R+)都是關(guān)于 t的正連續(xù) ω-周期函數(shù)，這時(shí)系統(tǒng)(1.2)成為一個(gè)ω-周期系統(tǒng).為證明系統(tǒng)(2)正周期解的存在性，現(xiàn)引入重合度理論中的延拓定理靈［10］如下:

設(shè)X，Z是賦范向量空間，L:DomL?X→Z為線性映射，N:X→Z為連續(xù)映射.如果dim KerL=dim(Z/ImL)＜+∞且ImL為Z中的閉子集，稱L為指標(biāo)為零Fredholm算子.如果L為指標(biāo)為零Fredholm算子，又存在連續(xù)投影P:X→X和Q:Z→Z滿足ImP=KerL和ImL=KerQ=Im(I－Q)，那么L|DolmL∩KerP:(I－P)X→ImL是可逆的，記其逆為Kp.設(shè)Ω是X的有界開集，若(QN)(Ω)有界且Kp(1－Q)N:Ω→X是緊的，則稱N在是L-緊的.由于ImQ與KerL同構(gòu)，因此存在同構(gòu)映射J:ImQ→KerL.

引理2.1 設(shè)X，Z是Banach空間，L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，N:Ω→Z在Ω上是L-緊的，其中Ω是X中的有界開集，且滿足

進(jìn)而，由式(9)和(13)，我們獲得

則由式(10)和(15)，我們獲得

3 全局漸近穩(wěn)定性

則系統(tǒng)(1.2)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的周期解.

結(jié)合定理3.1，系統(tǒng)(2)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的ω-周期解N(t).證畢

4 數(shù)值模擬

下面利用計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)(1.2)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證本文所獲結(jié)論的正確性［11］.不妨取n=2以及

圖1 數(shù)值模擬

［1］ 張正球，王志成.基于比率的三種群捕食者-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的周期解［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，47(3):531-540.

［2］ 高建國(guó).具有時(shí)滯和基于比率的一類捕食者-食餌系統(tǒng)全局周期解的存在性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，20(3):315-329.

［3］ 王靜，王克.非自治一捕食者-兩互惠食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為［J］.東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，37(1):1-6.

［4］ May R M.Theoretical Ecology，Principles and Applications［M］.Sounders，Philadelphia，1976.

［5］ Jing A C，Chen L S.Global Asymptotic Stability in a Nonautonomous Cooperative［J］.System Science and Mathematics Sciences，1993，6(1):39-44.

［6］ 柏靈，范猛，王克.離散時(shí)間的互惠系統(tǒng)的正周期解的存在性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19(3):271-279.

［7］ 程榮福，孫吉榮.具生物控制的時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)種群模型的穩(wěn)定性［J］.北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，9(2):97-103.

［8］ 趙明，程榮福.一類具生物控制和比率型功能性反應(yīng)的食物鏈系統(tǒng)周期解的存在性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2009，47(4):730-736.

［9］ 程榮福.一類具生物控制的多滯量捕食模型正周期解的存在性［J］.北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，11(1):1-6.

［10］ Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations［M］.Berlin:Springer-Verlag，1997:40-45.

［11］桂占吉.生物動(dòng)力學(xué)模型與計(jì)算機(jī)仿真［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.