關于Mordell方程

管訓貴

（泰州學院 數理信息學院，江蘇 泰州 225300）

管訓貴

（泰州學院 數理信息學院，江蘇 泰州 225300）

用初等數論的方法研究了一類不定方程

Mordell方程；整數解；一般公式

1 引言及主要結論

關于Mordell方程

曾引起許多學者的興趣。李偉[1]用初等方法給出了k=2時的全部整數解為(x, y)=(±5, 2)。柯召、孫琦[2]用代數數論方法給出了k=13時的全部整數解為(x, y)=(±70, 17)。管訓貴[3]用初等方法給出了k=1250時的全部整數解為(x, y)=(±9, 11)。而對于大多數整數k，Mordell方程均無整數解。本文運用初等數論的方法，給出以下結果。

定理設pi為奇素數，pi≡5或7(mod 8)，i=1, 2, …, s，若存在整數a, b滿足(a, b)=1，且

則Mordell方程

的全部整數解為

推論1設p為大于5的奇素數，則Mordell方程

當p≡7, 13, 23 (mod24)且p≠23, 47時無整數解；當p=23時全部整數解為(x, y)=(±423, 59)；當p=47時全部整數解為(x, y)=(±149, 51)；當p=24k +5（k為非負整數），40k+9=a2時全部整數解為

推論2設p為大于7奇素數，則Mordell方程

當p≡5,7, 13, 23(mod24)且p≠23, 71時無整數解；當p=23時的全部整數解為(x,y)=(±1345, 123)，當p=71時的全部整數解為(x,y)=(±855, 107)。

推論3設p為大于7奇素數，則Mordell方程

當p≡7, 13, 23(mod24)時無整數解；當p =24k +5（k為非負整數），40k+41=a2時的全部整數解為

2 關鍵引理

引理1設p為奇素數，若p≡5或7(mod8)，且

對(6)兩邊同取模p得

引理2不定方程

滿足條件(x,y)=1的一切整數解為

這里(a, 2b)=1。

證明參見文獻[1]。

3 定理及推論證明

3.1 定理證明

由引理1知，(x, pi)=1，i=1,2,…,s，故

又存在整數a, b滿足(a, b)=1，且

故(a,2b)=1，否則，2能整數某一pi（i=1,2,…,s），得出矛盾。

再由引理2知，(1)的全部整數解為

定理得證。

3.2 推論1的證明

由p≡5或7(mod8)可得p≡5,7, 13, 23(mod 24)。若

則b|5p，故b=±1，±5，±p，±5p。

（i）將b=±1代入(9)式得

當p≡7, 13(mod24)時，(10)式成為

無解。

當p≡23(mod24)時，令p=24k +23（k為非負整數），代入(10)式得a2=40k+39≡7(mod8)，無解。

當p≡5(mod24)時，令p=24k+5（k為非負整數），代入(10)式得a2=40k+9，此時(2)的全部整數解為

（ii）將b=±5代入(9)式得

對于(11)，當p≡5, 23(mod 24)時，有

無解。

當p≡7(mod24)時，令p=24k+7（k為非負整數），代入(11)式得a2=8k+19≡3(mod8)，無解。

當p≡13(mod24)時，令p=24k +13（k為非負整數），代入(11)式得a2=8k +21≡5(mod8)，無解。

對于(12)，p僅可能取23, 47。當p=23時，a=±3，此時(2)的全部整數解為

當p=47時，a=±1，此時(2)的全部整數解為

（iii）將b=±p代入(9)式得

對于(13)，當p≡5,7, 13, 23(mod 24)時，有

無解。

對于(14)，當p≡5,7, 13, 23(mod 24)時，有

無解。

（iv）將b=±5p代入(9)式得

對于(15)，當p≡5,7, 13, 23(mod 24)時，有

無解。

無解。

推論1得證。

由推論1容易得到p取不同值時，(2)對應的全部整數解(x, y)：

3.3 推論2的證明

則b|7p，故b=±1，±7，±p，±7p。（i）將b=±1代入(17)式得

[1] 李偉.不定方程y3=x2+2的初等解法[J].四川大學學報(自然科學版),1997,34(1)∶16-19.

[2] 柯召,孫琦.談談不定方程[M].上海∶上海教育出版社, 1980∶45-61.

[3] 管訓貴.不定方程y3=x2+1250的全部整數解[J].河北北方學院學報∶自然科學版,2011,27(4)∶18-19.

（責任編輯、校對：趙光峰）

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou University, Taizhou 225300, China)

In this paper, we have studied the indefinite equation where pibe odd prime, with pi≡5,7(mod 8), i=1, 2, …, s , and gave out the general formulas of all integral solutions of the equation.

Mordell equation; integral solution; general formulae

O156

A

1009-9115(2013)05-0023-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2013.05.007

泰州學院重點課題資助項目（2011-ASX-01）

2013-04-09

管訓貴（1963-），男，江蘇興化人，副教授，研究方向為基礎數論。

其中pi為奇素數，pi≡5,7(mod 8)，i=1, 2, …, s ，并給出了該方程全部整數解的一般公式。