過程能力指數(shù)Cpk中的偏移系數(shù)k的正確認(rèn)識

孫小素，何 琳

(山東工商學(xué)院統(tǒng)計學(xué)院，山東 煙臺264005)

一、有偏移的過程能力指數(shù)Cpk之定義

與潛在過程能力指數(shù)Cp相比，有偏移的過程能力指數(shù)Cpk因為更符合生產(chǎn)過程的實際，并且通過該指標(biāo)人們能夠得到過程的最大不合格率信息，得到了最廣泛的應(yīng)用。但是，它還是一個備受爭議的指數(shù)，爭論的焦點集中在Cpk能否為負(fù)值。根據(jù) Cpk的定義(見式(1))，由于 Cp＞0，因此，Cpk能否為負(fù)值的實質(zhì)又是k能否大于1的問題。針對這一問題，質(zhì)量管理界形成了4種觀點——荒謬論，不可能論，限定范圍論和k的定義錯誤論。4種觀點莫衷一是，甚至截然相反，對人們正確使用和解釋Cpk造成了困惑，必須予以澄清。

對于Cpk能否為負(fù)值，也即k能否大于1，之所以存在眾多的爭論，原因就在于人們還沒找到一種有效方法，對k的取值范圍給出令人信服的界定。筆者嘗試?yán)每刂茍D技術(shù)解決這一問題。

過程能力指數(shù) Cpk的定義是［1］:式中，USL(Upper Specification Limit)表示質(zhì)量特性的上規(guī)格限;LSL(Lower Specification Limit)表示質(zhì)量特性的下規(guī)格限;表示偏移系數(shù);表示潛在過程能力指數(shù);M=(USL+LSL)/2表示規(guī)格中心(公差帶中心)。

二、目前質(zhì)量管理界關(guān)于Cpk＜0或k＞1的主要看法

歸納起來，目前質(zhì)量管理界關(guān)于這一問題主要形成了4種觀點。

(一)荒謬論

代表人物是張公緒先生。他們認(rèn)為，Cpk＜0或k＞1十分荒謬。張公緒在其所著的《兩種質(zhì)量診斷理論及其應(yīng)用》不止一次講到［2］，“當(dāng)μ=TU(筆者注:TU對應(yīng)于本文的規(guī)格上限USL)或μ=TL(注:TL對應(yīng)于本文的規(guī)格下限LSL)時，k=1，CpK=0，實際上，這時合格品率仍為50%，故Cpk=0是不恰當(dāng)?shù)模坏靡阎缓眉由线@樣的說明:‘Cpk=0表示過程能力由于偏移而嚴(yán)重不足，需要采取措施加以糾正’。當(dāng)μ位于公差界限之外時，k＞1，Cpk＜0，這簡直是荒謬，故此時硬性規(guī)定Cpk=0。這說明Cpk的定義不完善，只能用于偏離量ε不太大(注:ε對應(yīng)于本文的|μ -M|，即 ε =|μ -M|)，即k＜1的場合。”

從張公緒先生對Cpk取值情況的探討看，他認(rèn)為過程能力指數(shù)的取值不超過零時過程尚有合格率(甚至可能達到50%)，這種數(shù)量對應(yīng)關(guān)系是荒謬的。在他看來，當(dāng)這些指數(shù)為零時，過程的不合格率也應(yīng)為零。嚴(yán)格來講，他并沒有否定Cpk＜0或k＞1的可能性，甚至暗含著Cpk有可能小于零，或者k有可能大于1，不然也就不需要硬性規(guī)定，更不需要對這種硬性規(guī)定不滿了。

(二)不可能論

代表人物是何曉群教授。他認(rèn)為，Cpk不可能小于零，或者說k不可能大于1。何曉群教授從兩個方面論證了Cpk＜0或k＞1是不可能的［3］。其一，當(dāng)偏移量 ε=T/2時，k=1，則 Cpk=0，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于0．67，更低于最小可接受值1．33。此時過程能力已經(jīng)嚴(yán)重不足，應(yīng)采取緊急措施進行全面檢查，必要時停工整頓。在生產(chǎn)現(xiàn)場根本等不到過程能力低下到這種程度，現(xiàn)場的種種異常現(xiàn)象早已警示操作者停工檢查。再說就算偏移量ε=T/2(T=USL-LSL表示規(guī)格范圍)可以達到，偏移量ε=T也是不可能達到的。因此偏移量ε的取值范圍是:0≤ε≤T/2。其二，對過程能力的考察，不會間隔相當(dāng)長的一段時間才測量的，這樣數(shù)值相差很大，而是在一個班次中測量多次，用來監(jiān)控生產(chǎn)過程是否正常。也就是說每相鄰兩次測量的過程能力指數(shù)不會使過程能力評定等級相差兩個及其以上的級別差，即上一次測量的過程能力指數(shù)級別是II，而這一次的測量級別是IV，或者更差。當(dāng)過程能力指數(shù)低于最小可接受值1．33時，企業(yè)就會進行生產(chǎn)過程微調(diào)，使過程能力指數(shù)不低于最小可接受值1．33。

(三)限定范圍論

這種觀點多見于國外學(xué)者的研究報告［4-5］。他們在研究Cpk時，只是簡單地把k限定在［0，1］，并不說明原因。

(四)k的定義錯誤論

嚴(yán)格的說，這類觀點并不是針對Cpk或k的取值范圍的，但卻是由此引起的。持這類觀點的主要有3個代表性人物。一個是青島海信智能商用設(shè)備有限公司的高級研究員宋祥彥，另一個是上海理工大學(xué)管理學(xué)院的郭進利老師，還有一個就是北京工業(yè)大學(xué)的于善奇教授。他們都對已有的Cpk公式提出了質(zhì)疑和改造，但改造的依據(jù)和方式卻不盡相同。其中，宋祥彥和郭進利兩個人的共同點是，他們都堅信Cpk＜0或k＞1十分荒謬，但對待Cpk或k的方式卻不同。宋祥彥的處理方式，用他自己的話說就是［6］，“在張教授的啟發(fā)下，對過程能力指數(shù)基本概念和理論進行了系統(tǒng)研究，發(fā)現(xiàn)了過程能力指數(shù)的四個基本特性;在此基礎(chǔ)上分析和解剖了Cpk公式的錯誤表現(xiàn)形式及其錯誤本質(zhì)…;提出了正確的Cpk公式并進行了證明…”他通過改造k實現(xiàn)了對Cpk的改造。他認(rèn)為，有偏移過程的偏移系數(shù)應(yīng)定義為ε/T，相應(yīng)的過程能力指數(shù)應(yīng)定義為(T-ε)/6σ。若記宋祥彥的偏移系數(shù)為k'，則有k'=k，C=(1-k')C=(1pkrp-k)C(C是宋祥彥本人給出的記法，筆者ppkr注)。郭進利從解決“質(zhì)量管理中出現(xiàn)的‘直觀悖論’:當(dāng)k=1時，Cpk=0，而合格品率還接近50%”(顯然，郭進利所說的質(zhì)量管理中出現(xiàn)的“直觀悖論”就是張公緒先生所說的荒謬論)入手，將現(xiàn)有的Cpk公式改造為:ˉCpk=Cp/(1+k)3，并指出，他的改造式的特點是［7］，“k增大，ˉCpk減小，且當(dāng)k=0時，ˉCpk=Cp;當(dāng)k=1，即過程中心與規(guī)格界限重合時，合格率仍接近50%，但ˉCpk≠0，而且這時ˉCpk的量相當(dāng)于理想狀態(tài)下(指過程中心μ與規(guī)格中心M相重疊，筆者注)合格率接近50%所對應(yīng)的Cp;當(dāng)過程中心(過程特性值的分布均值)偏離公差中心(指規(guī)格中心M，筆者注)非常大時，ˉCpk≈0，合格品率也接近于0。”與前面這二位不同的是，于善奇教授研究的出發(fā)點并非張公緒先生所說的荒謬論，他的矛頭直指k的定義。他指出［8］，“當(dāng)工序有偏時，式(1)的定義是有缺陷的，其缺陷在于:偏移系數(shù)定義為是不合理的。這是因為在實際的生產(chǎn)過程中，分布中心μ對規(guī)范中心M而言，除無偏外，非左即右，二者必居其一。偏移量是對規(guī)范中心而言，故偏移量的定義是合理的。偏移系數(shù)應(yīng)該是偏移量ε對公差幅度T而言，即偏移系數(shù)定義為ε/T更加科學(xué)、合理。如果把定義為偏移系數(shù)，則只能理解為偏移量對半個公差而言，這顯然是不合理的。”雖然出發(fā)點不同，于善奇教授對k的改造及由此得到的Cpk的公式，卻與宋祥彥的結(jié)論不謀而合。

從上面的介紹看，學(xué)者們對Cpk(或k)的取值范圍莫衷一是，甚至截然相反，如何正確評價、合理取舍學(xué)者們的觀點呢?這顯然需要更深一步的剖析。

三、Cpk＜0或k＞1究竟意味著什么?

直觀上看，Cpk＜0首先意味著過程能力很低，過程生產(chǎn)的合格率很低，其根本原因是過程的輸出中心μ偏離規(guī)格中心M太遠(yuǎn)(遠(yuǎn)到k＞1)。這種顯而易見的結(jié)論顯然不需要再研究，在此，筆者想借助控制圖對k的取值范圍進行深入探討。

(一)可以用來檢測過程輸出中心發(fā)生偏移的控制圖

產(chǎn)品的質(zhì)量特性具有變異性，但是這種變異并非雜亂無章，而是有一定的規(guī)律可循。經(jīng)驗與理論分析表明，當(dāng)生產(chǎn)過程中只存在隨機因素時，產(chǎn)品質(zhì)量特性值將形成某種典型分布，如具有特定參數(shù)的正態(tài)分布。如果除去隨機因素外還有系統(tǒng)因素，則產(chǎn)品質(zhì)量特性值的分布必將偏離原來的典型分布。因此，根據(jù)典型分布是否被偏離就能判斷出有無系統(tǒng)因素的存在。控制圖就是利用變異的這一統(tǒng)計規(guī)律設(shè)計出來的統(tǒng)計假設(shè)檢驗的圖上作業(yè)法。具體地講，將按一定順序抽取的樣本統(tǒng)計量數(shù)值，描在有中心線(CL)和上、下控制界限(UCL，LCL)的圖上，形成一個序列圖(示意圖見圖1)。觀察該序列圖，若控制圖中的描點落在上、下控制界限之外，或描點在上下控制界限之間的排列不隨機，則表示過程出現(xiàn)了系統(tǒng)因素，并引起過程的異常。能引起過程中心發(fā)生位移的一定是系統(tǒng)因素，因此如果相應(yīng)的控制圖顯示出異常，那很有可能過程中心發(fā)生了位移。一旦過程中心發(fā)生位移，那就必須采取措施加以排除，使過程中心回到原來的位置上去。

對于計量質(zhì)量特性而言，存在兩大類控制圖——常規(guī)控制圖和累積和控制圖。其中，常規(guī)控制圖主要用來檢測控制對象大的偏移，而適用于檢測平均水平有無大的偏移的常規(guī)控制圖主要有兩張，一張是單值控制圖，另一張是均值控制圖;累積和控制圖主要用來檢測控制對象中、小程度的偏移，可以檢驗均值有無中、小程度偏移的是均值累積和控制圖。

(二)控制圖中的判異準(zhǔn)則及對應(yīng)事件的概率

根據(jù)質(zhì)量特性波動的原理，如果質(zhì)量特性的分布中心沒有發(fā)生位移，則其波動不會太大，換言之，如果波動太大，那就意味著過程的分布中心發(fā)生了偏移，那么這個界限該如何劃定呢?

圖1 控制圖示意圖

國家標(biāo)準(zhǔn)《常規(guī)控制圖》依據(jù)把第一類錯誤α(即虛發(fā)警報的概率)嚴(yán)格控制在0．27%(這就是著名的3σ原則)以內(nèi)，同時適度控制第二類錯誤β(即漏發(fā)警報的概率)的原則，規(guī)定了8條判定異常的準(zhǔn)則［9］，并指出這些準(zhǔn)則適用于均值(ˉx)控制圖和單值(x)控制圖。其具體內(nèi)容為，準(zhǔn)則1:一個點落在A區(qū)以外;準(zhǔn)則2:連續(xù)9點落在中心線同一側(cè);準(zhǔn)則3:連續(xù)6點遞增或遞減;準(zhǔn)則4:連續(xù)14點中相鄰點上下交替;準(zhǔn)則5:連續(xù)3點中有2點落在中心線同一側(cè)的B區(qū)以外;準(zhǔn)則6:連續(xù)5點中有4點落在中心線同一側(cè)的C區(qū)以外;準(zhǔn)則7:連續(xù)15點落在中心線兩側(cè)的C區(qū)內(nèi);準(zhǔn)則8:連續(xù)8點在中心線兩側(cè)，且無一在C區(qū)中。

表1 判異準(zhǔn)則對應(yīng)事件發(fā)生的概率

筆者測算了這8條判異準(zhǔn)則對應(yīng)事件的概率［10］，列入表 1。

從表1中不難發(fā)現(xiàn)，判異準(zhǔn)則規(guī)定的隨機事件在原假設(shè)成立(即過程處于統(tǒng)計控制狀態(tài))時，發(fā)生的概率都很小，所以，一旦當(dāng)均值(ˉx)控制圖和單值(x)控制圖上顯示這些小概率事件出現(xiàn)時，即判斷過程發(fā)生異常。

仔細(xì)研究一下這8條判異準(zhǔn)則，筆者發(fā)現(xiàn)，其中的第1，2，3，5，6條都是針對過程的分布中心有無偏移(位移)的，可見常規(guī)控制圖對分布中心位移導(dǎo)致的異常波動還是非常重視的。

累積和控制圖設(shè)計原理與常規(guī)控制圖不同，它利用以往所測得的所有觀測值信息的總和，作為控制圖上的一個點，故“異常”的判斷是利用了以往所抽取的樣本的全部信息，因此，具有靈敏度高、控制可靠(可檢測出中、小程度的偏移)等優(yōu)點。還有一點與常規(guī)控制圖不同的是，它通過鏈長這一工具，可以同時控制犯第一類錯誤和第二類錯誤的概率，這也是它優(yōu)于常規(guī)控制圖的地方。該圖對異常的判斷有兩種方法——V形模板法，以及有判定距的固定界限控制圖法［11-14］。

(三)控制圖可以把k控制在什么范圍?

在質(zhì)量管理中，通常用μ0表示可接收的均值，相應(yīng)于能使所生產(chǎn)的產(chǎn)品獲得最好質(zhì)量的工藝狀態(tài)(顯然它就是公差帶的中心值M);μ1表示拒收的均值，是被檢質(zhì)量特性所允許的極限均值，超過它就要求對過程進行校正;δ表示過程異常時所規(guī)定的經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的位移量的絕對值，其定義是:

1．單值(x)常規(guī)控制圖中δ的臨界位移量值及對應(yīng)的k的取值范圍

這里，臨界偏移量值是指過程正常波動和異常波動的分界線。通過上面的介紹，我們知道，對于單值(x)常規(guī)控制圖，則:

即若選擇單值(x)常規(guī)控制圖來控制過程輸出中心的理想值μ0(=M)，則δ等于3時一定會報警過程失控。不僅如此，如果控制圖上出現(xiàn)了判異準(zhǔn)則2，3，5，6規(guī)定的情形，則等不到δ達到3就會報警過程失控。因此，單值(x)常規(guī)控制圖中δ的最大臨界位移量值即為3。此時，k會取什么值呢?

這就是說，一旦報警過程不處于統(tǒng)計控制狀態(tài)，那么k絕對不會超過1/Cp，至于它會不會超過1而導(dǎo)致Cpk＜0，則完全取決于Cp。在當(dāng)今經(jīng)濟全球化背景下，企業(yè)之間的競爭只會越來越激烈，對Cp提出1．33的最小可接受值一點也不過分，此時，如果企業(yè)使用單值控制圖，則k≤0．75。也就是說，正常情況下，k不會超過1，因此Cpk也不會小于0。

k與Cp之間的這種數(shù)量關(guān)系很有價值。在企業(yè)的質(zhì)量管理中，常用Cp表示質(zhì)量能力，k表示管理能力，可以想象，這兩種能力之間應(yīng)該會相輔相成，沒想到他們之間竟會存在這樣嚴(yán)格的數(shù)量關(guān)系，毫無疑問，這種數(shù)量關(guān)系將為企業(yè)實施精細(xì)化管理提供科學(xué)依據(jù)。

2．均值(ˉx)常規(guī)控制圖中δ的臨界位移量值及對應(yīng)的k的取值范圍

同理，對于均值(ˉx)常規(guī)控制圖，則:

式(5)表明，如果使用均值(ˉx)常規(guī)控制圖控制的分布中心發(fā)生位移，那么最大偏移系數(shù)將取決于樣本量和過程的質(zhì)量能力兩個因素。國家標(biāo)準(zhǔn) GB/T 4091-2001 在10．4 中明確指出［9］:通常子組大小取為4或5，并說明這種規(guī)定是遵循合理子組原則的產(chǎn)物。合理子組原則是指，過程變動(shift)在取樣期間發(fā)生的機會要最小(因此要采用小樣本)，在兩次取樣之間發(fā)生的可能性最大(因此要至少取25個子樣)，如果變動注定要發(fā)生的話。因此，如果 n=4，Cp=1．33，那么 k≤0．375;如果 n=5，Cp=1．33，那么 k≤0．336。即，如果企業(yè)使用均值(ˉx)常規(guī)控制圖，通常情況下，k連0．5都不會超過，因此Cpk也絕不會小于0。

比較式(4)與(5)，我們發(fā)現(xiàn)，在其他條件相同時，單值控制圖對異常的檢出力只是均值控制圖的 1 /，因此，除非我們?nèi)〉脭?shù)據(jù)實在困難，或者取樣期間過程的均勻性非常好，最好不使用單值控制圖監(jiān)控過程的位移。

3．均值(xˉ)累積和控制圖中δ的臨界位移量值及對應(yīng)的k的取值范圍

與常規(guī)控制圖將臨界位移量控制在3之內(nèi)不同的是，均值累積和控制圖可將標(biāo)準(zhǔn)位移量控制在0．5～2．5之間［15］。文獻［15］又具體給出了 δ 的三種臨界位移量值標(biāo)準(zhǔn)——δ ＜0．75，0．75≤δ≤1．5，δ＞1．5。下面探討這三種情形下k的取值。

與探討均值(xˉ)常規(guī)控制圖下k的取值范圍相類似(過程略)，我們很容易得到:(1)當(dāng) δ＜值累積和控制圖的最大標(biāo)準(zhǔn)位移量不超過2．5，因

給定 n=4，Cp=1．33，對應(yīng)于 δ ＜0．75，有 k ＜0．093 75;對應(yīng)于0．75≤δ≤1．5，有0．093 75≤k≤0．187 5;對應(yīng)于 1．5 ＜ δ≤2．5，有 0．187 5 ＜ k≤0．312 5。我們不再計算 n=5，Cp=1．33 時各種臨界位移量值對應(yīng)的k值了，但有一點可以肯定，那就是k一定小于0．312 5。

綜上所述，只要企業(yè)使用均值累積和控制圖，通常情況下，k同樣連0．5都不會超過，因此Cpk也絕不會小于0。

(四)Cpk＜0或k＞1究竟意味著什么?

通過上面一系列的研究和分析，現(xiàn)在我們可以肯定地說，正常情況下，k不會超過1，因此Cpk不會小于0，除非:第一，企業(yè)沒有進行任何形式的過程控制。我們在前面已強調(diào)，過程處于統(tǒng)計控制狀態(tài)是企業(yè)研究過程能力指數(shù)的先決條件，為此必須進行過程控制，否則我們只能對計算的結(jié)果茫然失措，不知作何解釋;第二，用Cp表示的企業(yè)的質(zhì)量能力十分低下。對于均值累積和控制圖而言，要使 k＞1，Cp甚至最低不會超過 0．125;對于單值控制圖而言，也要Cp小于1。這種情況下，雖然有控制圖保駕護航，但由于Cp過小，隱含其背后的是過程波動過大，即使過程處于統(tǒng)計穩(wěn)態(tài)，但由于達不到技術(shù)穩(wěn)態(tài)(至少要求Cp≥1．33)，這樣的企業(yè)同樣是無法生存的。

四、重新審視學(xué)術(shù)界關(guān)于Cpk＜0或k＞1的主要觀點

(一)荒謬論成立的條件是非常苛刻的

原因有兩個:其一，Cpk有可能小于0，或者 k有可能大于1的說法不是沒有一點道理，只是這種可能性在非正常情況才會成為現(xiàn)實。只要企業(yè)開展質(zhì)量控制活動，并且質(zhì)量能力沒有低到讓人無法接受的地步，這種情況就不會發(fā)生，因此對Cpk會小于0的擔(dān)心缺乏理性;其二，Cpk的取值不超過零時過程尚有合格率(甚至可能達到50%)，這一數(shù)量關(guān)系也被郭進利稱為“質(zhì)量管理的‘直觀悖論’”，我們說這種數(shù)量對應(yīng)關(guān)系并不荒謬。通過對過程能力指數(shù)的介紹，我們知道，合格率就是隨機事件LSL≤X≤USL發(fā)生的概率，只要企業(yè)組織生產(chǎn)，這個概率就是客觀存在的，它可能大，也可能小，但絕不可能小于等于0;Cpk是我們定義出來的一個指標(biāo)，從Cpk=(1-k)Cp的定義公式看，它是k與Cp綜合的產(chǎn)物，它的正負(fù)完全取決于k是否大于1，我們在定義 k時并沒有限定 μ∈［LSL，USL］，因此從數(shù)理角度講，k當(dāng)然可以取大于等于1的值，而當(dāng)k≥1，也即Cpk≤0時，對應(yīng)于隨機事件LSL≤X≤USL的概率還是P=Φ［3(1-k)Cp］+Φ［3(1+k)Cp］-1，這種對應(yīng)關(guān)系是客觀存在的。如果我們非要挑出點毛病的話，那是不是可以說過程能力指數(shù)這個名字起得不合適，因為根據(jù)我們的理解習(xí)慣，給一個冠之以“能力”的指標(biāo)一個負(fù)值確實令人費解。

(二)不可能論具有現(xiàn)實基礎(chǔ)，但論證過程有失嚴(yán)謹(jǐn)

筆者通過大量的數(shù)學(xué)論證，得到了只要企業(yè)具有過程控制措施，且 Cp＞1．33，才有 k≤0．75的結(jié)論。當(dāng)然，如果一個結(jié)論是顯而易見的，或許并不需要我們這么大費周折，可事實并非如此，這從筆者的研究過程就可看出來。另外，不可能論者之所以把問題簡單化，還在于他的一些想當(dāng)然的看法。其一，把基于Cp的過程能力評級簡單地等同于基于Cpk的過程評級。這一點在他的論述中是顯而易見的［3］。根據(jù)過程能力指數(shù)的不同取值對過程能力劃分等級，得到了大家的一致認(rèn)可，但其依據(jù)是潛在過程能力指數(shù)Cp，這一點你在任何一個介紹潛在過程能力指數(shù)的文獻中都會發(fā)現(xiàn)。何曉群教授依據(jù)“Cpk=0，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于0．67，更低于最小可接受值1．33”的判斷顯然是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｎ覀儾荒軉螁我罁?jù)一個Cpk就做出過程是否有能力還有一個理由。我們知道，Cpk是k與Cp綜合的產(chǎn)物，但在實際中對待k與Cp的態(tài)度是不同的，經(jīng)驗表明，改變平均值(即改變k)會比減少標(biāo)準(zhǔn)差(即改變Cp)更為容易，因此，我們既需要將Cpk作為一個整體來對待，更需要將其拆為k與Cp來分析，這樣得到的結(jié)論才更客觀，提出的措施才更有針對性。這一點其實也是何曉群教授在文獻［3］中表達的看法。其二，何曉群教授所謂的“就算偏移量ε=T/2可以達到，偏移量ε=T也是不可能達到的”依據(jù)又是什么呢?

(三)限定范圍論有失嚴(yán)謹(jǐn)

國外學(xué)者對Cpk進行相關(guān)研究時，或許是限于篇幅，加之研究的重點并非是Cpk的取值問題(根據(jù)筆者的搜索，國外尚無這方面的專門文獻)，他們只是簡單地把k限定在［0，1］范圍之內(nèi)。根據(jù)前面的論證，k在0到1之間并非不言而喻的，因此，就一個公式定義而言，這種做法有失嚴(yán)謹(jǐn)。

(四)k的定義錯誤論有待進一步商榷

首先來看郭進利的觀點。實事求是地講，他并沒有說k的定義是錯誤的，而只是從“質(zhì)量管理的‘直觀悖論’”入手，從數(shù)學(xué)角度解決了所謂的“直觀悖論”。我們在前面已經(jīng)討論了并不存在“質(zhì)量管理的‘直觀悖論’”，因此也就無需解決這一問題。宋祥彥也是從“質(zhì)量管理的‘直觀悖論’”入手，通過長期的潛心研究和不懈探索，發(fā)現(xiàn)了過程能力指數(shù)定義所隱含的4個推論和4個基本性質(zhì)，從多個角度論證了k的定義是錯誤的，他認(rèn)為正確的偏移系數(shù)應(yīng)該是現(xiàn)在的1/2。這里先不討論他對k的重新定義是否正確，單就他想要解決的所謂的“質(zhì)量管理的‘直觀悖論’”角度講，他只是緩解了所謂的“直觀悖論”(在相同條件下，他只是降低了Cpkr=0時的不合格率，但并未將它降至0。這里Cpkr是他重新定義的有偏移的過程能力指數(shù))，并未真正解決之。因此，從他研究的出發(fā)點而言，可以說他并未成功。于善奇教授雖沒說他相信存在“質(zhì)量管理的‘直觀悖論’”，但對k的改造卻與立志要解決所謂的“直觀悖論”的宋祥彥不謀而合，讓人不得不懷疑現(xiàn)在的偏移系數(shù)是否真的定義錯了?筆者經(jīng)過慎重思考后還是覺得現(xiàn)在的偏移系數(shù)的定義并不錯，其原因就在就在于善奇教授本人的解釋中。讓我們再仔細(xì)讀讀他將偏移系數(shù)由改造為ε/T的原因:“當(dāng)工序有偏時，式(1)的定義是有缺陷的，其缺陷在于:偏移系數(shù)定義為是不合理的。這是因為在實際的生產(chǎn)過程中，分布中心μ對規(guī)范中心M而言，除無偏外，非左即右，二者必居其一。偏移量是對規(guī)范中心而言，故偏移量的定義是合理的。偏移系數(shù)應(yīng)該是偏移量ε對公差幅度T而言，即偏移系數(shù)定義為ε/T更加科學(xué)、合理。如果把定義為偏移系數(shù)，則只能理解為偏移量對半個公差而言，這顯然是不合理的。”我們知道，定義相對指標(biāo)的一個原則就是分子、分母的口徑要一致，既然分子“非左即右，二者必居其一”，那么分母為什么要把左右全部算進來呢?

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