保守力的二元屬性

蘇云

(韓山師范學(xué)院物理與電子工程系 廣東 潮州 521041)

力學(xué)是物理學(xué)的入門(mén)篇章，而力是物理學(xué)中最重要的概念，從牛頓運(yùn)動(dòng)定律到萬(wàn)有引力定律，經(jīng)典力學(xué)用了4個(gè)定律來(lái)定義這個(gè)概念，這在物理學(xué)乃至整個(gè)自然科學(xué)中都是絕無(wú)僅有的.

在力這個(gè)大概念之下有一種性質(zhì)非常特殊的力，它就是保守力.從作用效果來(lái)看保守力可以分為兩種，一種是以做功的形式表現(xiàn)出來(lái)，成為改變質(zhì)點(diǎn)能量(動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能)的原因，這一點(diǎn)與所有其他力相同.另一種是以能量的形式呈現(xiàn)，成為被其他力做的功所改變的對(duì)象，也就是勢(shì)能，這是保守力所特有的性質(zhì)，也是導(dǎo)致力學(xué)系統(tǒng)與能量守恒定律建立聯(lián)系的關(guān)鍵所在.為了更好地理解保守力的獨(dú)特性質(zhì)，有必要回顧一下這一概念產(chǎn)生和演變的過(guò)程.本文的討論只限于經(jīng)典力學(xué).

從牛頓第二定律出發(fā)可以推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理[1]

(1)

這是一般意義上的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系，方程左端是所有力對(duì)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所做功之和.我們知道，經(jīng)典力學(xué)只有為數(shù)不多的幾種常用力，其中重力、萬(wàn)有引力和彈性力等都有已知的函數(shù)形式，分別由萬(wàn)有引力定律和胡克定律來(lái)表述.下面把這些力函數(shù)分別代入方程(1)，看看能得出些什么結(jié)果.

首先考慮重力的情況，把式(1)左端A當(dāng)中重力所做的功分離出來(lái)，并用力函數(shù)來(lái)表示它，于是方程變?yōu)?/p>

(2)

式中A′是重力以外的其他力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.

這一變化引出了兩個(gè)結(jié)論：

第一，重力的功是位置的函數(shù)，當(dāng)z=z0時(shí)這個(gè)功等于零，換句話說(shuō)，如果質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了一個(gè)閉合路徑，重力在這個(gè)過(guò)程中不做功.

第二，重力的功已經(jīng)是自變量z的函數(shù)了，按照數(shù)學(xué)的習(xí)慣應(yīng)該把它移到方程右端，式(2)左端m前面的那個(gè)負(fù)號(hào)就是在為移項(xiàng)做準(zhǔn)備.我們知道，教科書(shū)是通過(guò)做功來(lái)定義保守力概念的，即保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值，其中的“負(fù)值”就源于這個(gè)為移項(xiàng)做準(zhǔn)備的負(fù)號(hào)，此刻它已經(jīng)成為保守力概念的一部分了.移項(xiàng)后方程(2)變?yōu)?/p>

(3)

接下來(lái)討論引力的情況，按照同樣方法可以得到類似于式(2)和(3)的兩個(gè)方程

(4)

(5)

同樣，對(duì)于彈性力的情況也可以得到相應(yīng)的兩個(gè)方程

(6)

(7)

可見(jiàn)，萬(wàn)有引力和彈性力做的功也都可以表示成位置坐標(biāo)的函數(shù)，因而可以移項(xiàng)并與動(dòng)能合并，而且在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)閉合路徑時(shí)這兩個(gè)力所做的功都等于零.

上述分析揭示出這三個(gè)函數(shù)形式已知的力所具有的一些獨(dú)特物理性質(zhì).首先，它們所做的功可以表示成位置坐標(biāo)的函數(shù)，即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)閉合路徑時(shí)這些力不做功，這一特性最終導(dǎo)致保守力概念的產(chǎn)生.其次，保守力的功在移項(xiàng)后可以與方程右端的動(dòng)能合并，現(xiàn)在需要把這個(gè)功當(dāng)作能量來(lái)看待了，于是勢(shì)能概念應(yīng)運(yùn)而生，與動(dòng)能合并之后機(jī)械能的概念也順理成章地產(chǎn)生了.

鑒于這三個(gè)力的共同屬性，可以將上述6個(gè)方程概括為下面兩個(gè)

A′+[-(Ep-Ep0)]=Ek-Ek0

(8)

A′=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)=E-E0

(9)

其中Ek和Ep分別是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和勢(shì)能，E和E0分別是末態(tài)和初態(tài)的機(jī)械能，此處的A′則是所有非保守力做的功.

上述推導(dǎo)過(guò)程揭示了保守力的雙重屬性.它要么像方程(8)那樣以力做功的形式存在，成為改變質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的原因；要么以能量的形式呈現(xiàn)，像方程(9)那樣被其他力做的功所改變，二者必居其一.前者側(cè)重的是保守力的做功屬性，體現(xiàn)其改變質(zhì)點(diǎn)能量的作用，而后者側(cè)重的則是它的能量屬性，被其他力做的功所改變.究竟采取哪種形式取決于解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)方便與否.

式(1)的功能關(guān)系揭示了做功與動(dòng)能改變之間的一般關(guān)系，保守力的二元屬性使這一關(guān)系向前推進(jìn)了一大步，即式(9)所表示的非保守力做功與機(jī)械能改變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由此與能量轉(zhuǎn)換與守恒定律建立了聯(lián)系，進(jìn)而得到了機(jī)械能守恒定律.

綜上所述，在勢(shì)能和機(jī)械能等基礎(chǔ)概念的建立過(guò)程中，以及在功能關(guān)系的演變過(guò)程中，保守力的二元屬性所起的作用是極為關(guān)鍵的.

參考文獻(xiàn)

1 程守洙,江之永.普通物理學(xué)(第五版第一冊(cè)).北京:高等教育出版社, 2000.82