基于蒙特卡洛法的制導子彈藥命中概率模型

孫少華，尚雅玲，李國林，方少軍

（1.海軍航空工程學院a.兵器科學與技術系；b.七系，山東煙臺264001；2.海軍駐貴陽軍事代表處，貴州遵義563003）

子母彈一般以炮彈、火箭彈、航彈、航空布撒器以及導彈等作為載體，通過子彈藥對集群目標的密集覆蓋實現面殺傷，以其覆蓋面積大、火力迅猛等優點在現代戰爭中發揮著越來越重要的作用。隨著制導技術、目標探測識別技術和其他技術的發展，以及聯合國《特定常規武器公約》（CCW）談判進程中對子母彈的限制[1]，具備單獨搜索、探測、識別目標的智能子彈藥迅速發展，典型代表有末敏子彈藥以及制導子彈藥等。這類智能彈藥利用已有的常規武器平臺或者對平臺進行適應性改進，可以大量減少研制及裝備費用，縮短研制周期，提高武器平臺的使用效率，在保留傳統彈藥密集火力壓制功能的同時，能實現對多個點目標的精確打擊[2]。典型的制導子彈藥有美軍的智能反裝甲子彈藥（BAT），如圖1 所示。BAT 采用聲學和紅外傳感器自動搜索、探測、跟蹤、攻擊并摧毀運動的坦克和其他的裝甲戰車。這些傳感器提供使子彈藥“智能化”的自主能力。

圖1 BAT子彈藥

命中概率是指在一定射擊條件下，彈藥命中目標可能性大小的數字表征。命中概率是效能分析的基礎。無控子彈藥的命中概率計算模型比較成熟，可以通過母彈積分法以及計算機上的統計試驗法，把子彈藥化成母彈計算相對毀傷面積，這種方法計算簡單，誤差相對可以接受，在計算無控子彈藥的命中概率時非常實用[3-4]。制導子彈藥的結構和作用原理不同于無控子彈藥，由于加裝了紅外、毫米波雷達等探測識別器件，子彈藥拋撒出來后能自動探測識別目標，根據一定策略選擇目標后進行攻擊。當落區沒有目標可攻擊時，制導子彈藥的落點散布類似于無控子彈藥落點散布；當落區有目標時，制導子彈藥的落點并不“固定”，而是可以散布在以模擬固定點為圓心一定半徑的圓內，只要目標在這個圓內，子彈藥都能調整姿態飛向目標對其打擊。在子彈藥搜索識別以及毀傷目標過程中，由于過程非常復雜，存在諸多隨機因素，因而不能簡單地使用無控子彈藥命中概率模型對子彈落點進行模擬后計算。針對這些問題，本文通過對制導子彈藥的作用機理及工作過程進行分析，結合無控子彈藥落點散布模型，建立制導子彈藥對典型目標的命中概率模型。

1 制導子彈藥作用過程

當母彈飛至預定拋撒點后，母彈開艙，拋撒出全部子彈藥。在一定高度上，子彈藥目標搜索裝置開始進行掃描工作。發現目標后，子彈藥導向目標，對目標進行攻擊。若子彈藥視場內沒有發現目標，則子彈藥根據預先設定進行自毀，大致工作過程如圖2所示。

圖2 子母彈作用示意圖

在子彈掃描過程中，需要依據一定的捕獲準則來判定是否捕獲到了目標，是否發出起爆指令。捕獲準則的選取，既要考慮敏感器識別目標的必要條件，又要考慮使子彈易于命中和毀傷目標。在相同的作用條件下，采用不同的捕獲準則，捕獲概率不同，子彈藥的作用效果也不同。捕獲準則關系到敏感器識別方式、信號處理方法和動態補償方法，因而捕獲準則對子彈藥系統效能影響重大[5-6]。

子彈藥命中目標定義為任意一枚子彈落入目標投影區。子彈藥命中后還存在毀傷判定的問題，這就需要根據子彈藥裝藥結構、攻擊角度、命中位置以及目標易損性等條件來確定，對于毀傷效能問題本文不作詳細討論。

2 蒙特卡洛法

蒙特卡洛法是一種數學上的統計試驗方法，即應用描述隨機對象的數學方程，對抽取的隨機參數和隨機輸入變量的一組數值進行解算，用一次解算結果模擬一次試驗結果，并對此解算結果進行統計處理，求得關心的統計量。

運用蒙特卡洛方法的基礎是使用隨機數。真正的隨機數是使用物理現象產生的，比如擲硬幣、轉輪等。由計算機按照一定數學方法生成的隨機數，存在周期現象，初值確定后所有的隨機數序列就被唯一確定起來，存在規律，嚴格來說并不是隨機的，因而這種方法產生的隨機數稱為偽隨機數。在實際應用中，由于這些偽隨機數能夠充分顯示統計意義的隨機特性，在實際應用中，只要這些偽隨機數序列通過統計檢驗符合一定統計要求，如均勻性、抽樣的隨機性等，即具有真正隨機數列的一些統計特征，就可以作為“真正”的隨機數使用。

[0,1]區間上的均勻分布的隨機數一般作為標準函數給出。由[0,1]區間上均勻分布的隨機數可以產生標準正態分布N(0,1)的隨機數。抽取[0,1]區間上均勻分布的隨機數x1、x2，令

則y1、y2是相互獨立的正態分布N(0,1)隨機數。事實上，有了正態分布N(0,1)隨機數后，利用線性變化

可以將正態分布N(0,1)的隨機數轉換為均值為μ、方差為σ2的正態分布N(μ,σ2)的隨機數。

Matlab 軟件中提供了生成一元分布隨機數和多元分布隨機數的函數，可以直接調用[7]。

3 命中概率模型的建立

3.1 模擬目標群

對于目標群，可以表達為若干點目標的組合，這些目標的位置有2種方法給出[8]：

1）給定的各目標坐標，將目標簡化成n個點的組合{(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)} 以及它們組成的區域；

2）按概率分布規律在每次行動中模擬目標的坐標。

3.2 子母彈工作情況判定

對于一發母彈，借助在[0,1]上均勻分布的隨機數α進行抽簽模擬，若隨機數α≥PM，則該發母彈及其子彈藥不予以考慮，認為是故障彈，PM為母彈無故障工作概率。

若α＜PM，認為該發母彈正常工作，生成該發母彈各子彈藥開始尋的的坐標值。

同理，對每一枚子彈，借助在[0,1]均勻分布的隨機數β進行抽簽模擬，若隨機數β≥PZ，則認為該枚子彈為故障子彈，PZ為子彈無故障工作概率；若β＜PZ，認為該枚子彈正常工作。如前所述，目前子彈藥可靠性較高，本文中假定母彈拋撒出的所有子彈藥均能正常作用。

3.3 子彈與目標的相互作用

目標傳感器啟動高度受各種因素影響，在一定的范圍內是隨機的，而發現目標概率和命中目標概率作為發現高度的函數，也具有隨機特點。

單枚子彈對目標的命中概率，可以表示為

式中：PBH為母彈進入目標區的概率即捕獲概率，文中假設母彈進入目標區后，子彈藥均能捕獲目標；PFX為子彈藥發現識別目標的概率；PFH為子彈藥發現識別目標后命中目標的概率。

下面對子彈藥與目標的作用過程進行分析[8]。

1）母彈進入捕獲區的概率。母彈的精度分析與評定在文獻[9]中有詳細的介紹，假設母彈散布中心與瞄準點重合，散布誤差σx=σy=σ，在綜合誤差為(xc,yc)給定時，落點散布誤差的概率密度函數為

f(x,y)取決于母彈的制導精度。當射擊方向與目標縱深一致時，若目標區的正面和縱深分別為2ly和2lx，則母彈進入捕獲區的概率為

2）發現識別目標概率。目標傳感器根據預先設定在一定高度區間[H1,H2](H2＞H1)上啟動并開始工作是隨機事件，設傳感器啟動和開始工作同時進行，此時所處的隨機高度H服從區間[H1,H2]上的均勻分布，可得

式（6）中，δ為[0,1]區間上均勻分布的隨機數。

在目標傳感器開始工作高度H上子彈的掃描半徑為

式中：η為服從標準正態分布的隨機量；θ為子彈掃描角。

多個目標情況下，計算視場中心坐標為(xzi,yzi)的一枚子彈到坐標為(xtj,ytj)的第j個目標的距離為

式中：i=1,2,…,q；j=1,2,…,m。

將到子彈視場中心距離小于子彈掃描半徑的多個目標按照探測特征和距離進行減序排列，并按照一定規則選擇第一個目標，此時子彈所處高度為

利用表1 所示包含高度和發現目標概率值的數據，借助于分段線性插值公式計算發現目標的概率。選擇滿足邊界條件hn≤H＜hn+1的高度區間，求得第1枚子彈發現第j個目標的概率為[8]

表1 高度和發現目標概率值的對應關系

將均勻分布在區間[0,1]上的隨機數χ進行抽簽，若，則此目標被發現。否則，認為目標沒有被發現，子彈藥落點按照文獻[10]中無控子彈藥落點計算方法確定。

3）發現識別目標后命中目標概率PFH的確定。PFH同樣是傳感器啟動高度的函數，發現目標后，子彈藥根據自身相對目標的位置進行姿態調整，若一枚子彈的視場在水平面上的投影位于集群目標范圍內，或者雖然超出集群目標群范圍但超出量不大于掃描半徑，則通過隨機數對該枚子彈的工作進行模擬，否則該枚子彈不計入模擬范圍，而轉向另一枚子彈。具體計算方法文獻[10]中已詳細分析。

3.4 計算命中概率

由于子母彈一般攜帶多枚制導子彈藥，在求得單發命中概率后，可根據一發母彈的全部子彈藥打擊目標時命中目標的概率來求得制導子彈藥的命中概率。經過多次模擬射擊抽樣，統計滿足至少有一枚子彈命中目標的抽樣次數，最后，由命中次數n與總抽樣次數S可得到制導子彈藥對某一類目標的命中概率。如果模擬S次，當S足夠大時，則命中概率為

4 模擬流程圖及算例分析

制導子彈藥命中概率模擬流程圖如圖3所示。

以打擊某一反艦導彈發射架為例，其投影面積為10 m2，K級易損面積為1.5 m2，F級易損面積為8.5 m2，在此僅以投影面積計算子彈藥的命中概率。設母彈無故障工作概率PM為98%，一發母彈中攜帶N=10枚制導子彈藥，掃描角θ=15°，子彈掃描器啟動高度區間為400～900 m，模擬次數為5 000 次。在母彈CEP（圓概率誤差）為50 m 時，通過無控子彈藥落點散布方法計算得出子彈藥命中概率為46.4%，同等條件下制導子彈藥的命中概率為87%，可見對于單個反艦導彈發射架，制導子彈藥的命中概率遠高于無控子彈藥。對于不同的母彈CEP，對應不同的捕獲概率，下面研究不同捕獲概率下制導子彈藥的命中概率，如表2所示。

表2 不同捕獲概率下命中概率 %

圖3 制導子彈藥命中概率計算流程圖

通過表2 可以看出，不同的捕獲概率下制導子彈藥的命中概率也有所不同，命中概率隨著捕獲概率的增大而增大，而由式（5）可知，捕獲概率取決于母彈的制導精度。由此可知，提高母彈的制導精度對于制導子彈藥的命中概率效果明顯。

5 結束語

隨著制導技術的發展，常規彈藥的制導化已然成為彈藥發展的一個重要趨勢，裝備制導子彈藥的子母彈也將具有較高的作戰效費比和作戰使用性能。本文通過對制導子彈藥結構以及工作原理的分析，運用蒙特卡洛方法建立了制導子彈藥的命中概率計算模型，為制導子彈藥的效能分析奠定了基礎。由于制導子彈藥可以實現10 m以內的精確打擊，再配以精確制導母彈，子母彈的打擊目標范圍可以得到較大的擴展，可以更好地完成作戰任務。

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