四元數在均勻圓形矢量傳感器陣列信號參數估計中的應用

康曉濤，王志洋，康博宇，李靜靜，石要武

(1.吉林大學通信工程學院，長春130022;2.上海工程技術大學管理學院，上海201620)

矢量傳感器陣列能同時獲取并感應到入射電磁信號的全部電場信息和極化信息，因而比傳統標量傳感器陣列抗干擾能力更強，檢測能力更穩健，空間分辨力也更高。矢量傳感器陣列因其信息獲取能力強而成為國內外學者競相研究的熱點［1－3］，并被廣泛應用。傳統長矢量模型是基于復數理論的，受復數數學結構的限制只簡單的將所有分量的輸出數據排列成一個長矢量，而沒有考慮各分量之間的正交關系，破壞了各分量之間固有的正交結構，很大程度上降低了矢量傳感器的優越性能。四元素理論特有的四維超復數正交結構能夠保持矢量信號各分量之間固有的正交結構，為解決上述問題提供了一個有效方便的數學工具。四元素廣泛應用于各個領域［4－7］，在矢量傳感器陣列信號處理領域中主要是對極化信號的波達方向和極化參數等方面進行估計［8－11］。

本文通過構造基于四元數的均勻圓形電磁矢量傳感器陣列的信號接收模型，對電磁波信號入射到陣列的方向角和極化信息等參量進行聯合估計。四元數的四維超復數結構是復數的擴充和發展，因而可以說復數是四元數的一個特例。四元數因其不滿足乘法交換律，因而其矢量正交性比復數有更多的約束條件，四元數的正交結構能夠保持矢量傳感器各分量固有的正交性，而正交性恰是信號處理中最有效且常用的手段之一。因此四元數的矢量正交性是四元數有別于復數的一個突出特點。仿真實驗驗證了方法的有效性。

1 數學模型

采用極化均勻圓陣(UCA)作為信號模型，它由N個均勻分布在半徑為R的圓周上特性一致的緊湊電磁矢量傳感器構成，如圖1所示。

考慮k≤N個窄帶，不相關且完全極化的電磁波以一定方向從遠場入射到上述信號模型。

圖1 極化均勻圓陣結構圖Fig.1 Structure of uniform polarization circular array

第k個信號入射到第m個矢量傳感器所獲得的兩個相互正交的磁場分量表示為:

式中:αk∈［0，2π)為方位角;βk∈［－π/2，π/2］為俯仰角;γk∈［0，π/2］;ηk∈［－π，π)分別為極化域中的輔助極化角和相應的極化相位差。

pk=(sinβkcosαk，sinαksinβk，cosβk)為信號的Poynting向量，以原點為參考點，第k個信號在陣元m與參考點之間的相位延遲為:

式中:ξk=2πR sinβk/λ，λ為信號波長;第m個電磁矢量傳感器的空間位置為rm=(xm，ym，zm)= (R cosφm，R sinφm，0)，其 中 φm=2πm/N，m=0，…，N－1。極化均勻圓陣的空域導向矢量為:

第m個陣元接收到第k個信號的輸出為:

式中:lk(t)為信號的復包絡;nx(t)與ny(t)均為噪聲矢量。nm(t)=nx(t)+j ny(t)為四元數形式，則第k個信號入射到第m個陣元的接收信號用四元數表示為:

陣列的四元數接收模型表示如下:

式中:x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xN(t)］T，x(t)∈HN，Q(α，β)=［q(α0，β0)，q(α1，β1)，…，q(αK－1，βK－1)］為空域導向矩陣，q(αk，βk)=［q1(αk，βk)，…，qN(αk，βk)］T，qm(αk，βk)是第m個陣元的空間相位延遲。l(t)=［l0(t)，l1(t)，…，lK－1(t)］T是信號矢量，aΔ=diag{，，…，－1}是極化域矩陣，n(t)=［n1(t)，n2(t)，…，nN(t)］T是四元數形式的均值為零的白噪聲矢量。

2 基于Q－MUSIC的UCA陣列信號的多參量估計

2.1 基于四元數的相關矩陣模型的構建

電磁矢量傳感器陣列接收信號的協方差矩陣:

式中:A=Q(α，β)aΔ;Rl=E［l(t)l(t)H］，Rn為噪聲矢量協方差矩陣，“H”表示共軛轉置。A是四元數形式的信號空域－極化角度域導向矢量，由于k個信號是非相關的，令Z表示為

式中:a▽=diag{||2，||2，…，|－1|2}，根據式(4)和式(5)得

利用信號子空間法推導出關于(αk，βk)的估計，前提是γk≠0，且βk≠±π/2，否則子空間估計算法受限。

基于上述得出的公式，式(8)可表示為

由此可知R是自共軛矩陣，將其用四元數矩陣表示如下

式中:

式(11)構成對角陣Λ的對角線上的元素。即

2.2 相關矩陣的特征分析

考慮K個窄帶，完全極化的電磁波信號入射到N個電磁矢量傳感器組成的均勻圓陣，則陣列接收信號的相關矩陣R的秩為K。

對R進行奇異值分解如下:

式中:Σ1=diag(σ1σ2… σK)，V1對應V前K個矢量，V2對應的是V中后N－K個奇異矢量，同理得到奇異值矢量矩陣U=［U1U2］。矢量空間U1和V1中包含信號的導向信息，稱為信號子空間，而空域－極化角度域導向矢量矩陣A與矢量空間U2和V2均正交表示如下:

因而稱U2和V2為噪聲矢量空間。則利用V2中任一奇異值矢量均與A正交的關系，可對信號的DOA和極化信息進行聯合估計。

式中:ak(α，β，γ，η)=(α，β，γ，η)·qk(α，β)。

利用噪聲子空間原理，譜估計公式可得:

式中:矩陣Z中含有極化信息，而導向矩陣Q(α，β)只包含導向信息，因此可以將式(18)的四維搜索降為二維搜索，在極化參數未知的情況下，提出基于Q－MUSIC算法對(αk，βk)進行估計如下:

將估計的DOA結果代入式(18)中，則A中只含有信號的極化信息，從而可對(γ，η)進行估計如下:

3 仿真實驗及分析

設8個電磁矢量傳感器構成均勻圓陣，其半徑為R=0.9λ≤λ/(4sin(π/N))，陣列噪聲為高斯白噪聲，經計算機仿真驗證本文算法的有效性。

3.1 實驗1

假設兩個彼此獨立的窄帶電磁橫向極化平面波信號入射到已給出的極化均勻圓陣模型，信號的DOA參數分別為:α1=60.05°，β1=65.07°，α2=－30.47°，β2=－30.01°;極化參數分別為:γ1=80°，η1=50°，γ2=45°，η2=－90°;信噪比為: snr1=10 dB，snr2=10 dB，采樣點數N=1 024。

(1)圖2～圖4是基于本文提出Q－MUSIC算法的信號相關參數估計仿真圖。圖2為基于QMUSIC算法的DOA譜估計圖。

圖2 基于Q-MUSIC的DOA譜估計三維圖Fig.2 The estimation of DOA based on Q-MUSIC

圖3 基于Q-MUSIC的俯仰角β估計譜圖Fig.3 The estimation of pitch angleβbased on Q-MUSIC

圖5～圖7是基于傳統V－MUSIC的信號多參量估計圖。

從圖2可以清楚地看到兩個譜峰，在極化參數未知的情況下能很好地估計出信號的DOA。

將圖3和圖4的Q－MUSIC算法分別與圖6和圖7的V－MUSIC算法相比較，結果表明本文提出算法的譜峰更加尖銳，即增益更高，而且沒有“偽峰”的干擾。

圖4 基于Q-MUSIC的方位角α估計譜圖Fig.4 The estimation of azimuthαbased on Q-MUSIC

圖5 基于V-MUSIC的DOA譜估計三維圖Fig.5 The estimation of DOA based on V-MUSIC

圖6 基于V-MUSIC的俯仰角β估計譜圖Fig.6 The estimation of pitch angleβbased on V-MUSIC

圖7 基于V-MUSIC的方位角α估計譜圖Fig.7 The estimation of azimuthαbased on V-MUSIC

(2)圖8為采樣點數N=256時的參數估計仿真圖，從圖8中可以看出當接收信號序列為短序列時，估計效果依然很好。

圖8 基于Q-MUSIC(N=256)的DOA譜估計三維圖Fig.8 The estimation of DOA(N=256)based on QMUSIC

(3)基于Q－MUSIC算法的極化參數估計，以第一個信號為例，如圖9所示。

圖9 信號1基于Q-MUSIC的極化參數估計譜圖Fig.9 The estimation of Signal 1’s polarization parameters based on Q-MUSIC

3.2 實驗2

本實驗中將參數估計的均方根誤差定義為:

實驗條件同實驗1的信號1相同，其二維DOA和極化參數的均方根誤差隨信噪比變化的曲線分別如圖10與圖11所示，由此可以看出本文算法要優于傳統MUSIC算法，尤其在低信噪比情況下參數估計的精度明顯提高。

圖10 DOA估計的均方根誤差曲線Fig.10 The RMS error curve of DOA estimation

圖11 極化參數估計的均方根誤差曲線Fig.11 The RMS error curve of Polarization parameters estimation

4 結束語

本文基于均勻圓陣研究了兩個相互正交磁偶極子分量，實現了利用四元數理論對電磁矢量傳感器陣列信號的DOA與極化參數進行聯合估計。結合四元素與極化均勻圓陣的自身特點構造矢量傳感器陣列的信號接收模型，提出基于MUSIC的二維參數估計算法。四元素的四維超復數結構使信號模型表達更為簡潔，其特有的正交性能更準確地反應電磁信號自身各分量的正交特性。因而基于四元素理論的MUSIC算法比傳統MUSIC算法具有更好的資源占用率，仿真實驗也證明了該算法有著更好的參數估計精度且分辨率高，抗干擾性強。

［1］王洪洋，王蘭美，廖桂生.基于單矢量傳感器的信號多參數估計方法［J］.電波科學學報.2005，20(1):15－19.

Wang Hong－yang，Wang Lan－mei，Liao Gui－sheng.Parameter estimation ofmultiple source based on uni－vector－sensor［J］.Radio Science，2005，20(1):15－19.

［2］徐友根，劉志文.電磁矢量傳感器陣列相干信號源波達方向和極化參數的同時估計:空間平滑方法［J］.通信學報，2004，25(5):28－38.

Xu You－gen，Liu Zhi－wen.Simultaneous estimation of2－D DOA and polarization ofmultiple coherent sources using an electromagnetic vector sensor array［J］.Journal on Communications，2004，25(5):28－38.

［3］Tan K C，Ho K C，Nehorai A.Estimating directions of arrival of completely and incompletely polarized signals with electromagnetic vector sensors［J］.IEEE Trans Signal Processing，1999，47(10):2845－2852.

［4］Lei Yin－jie，Chen Cun－jian，Lang Fang－nian.Quaternion singular value decomposition approach to color image de－nosing［C］//IEEE International Joint Conference on Neural Networks(IJCNN2008)，2008:131－136.

［5］Pang Hao－chen，Wang Yu－qing，Zhu Ming.Quaternion based assessment method for color image fusion algorithms［C］//CISP2010，2010，5:2341－2346.

［6］武永貴，王樹勛，汪飛.四元數和超復數在加性高斯噪聲背景下二維諧波頻率估計中的應用［J］.吉林大學學報:工學版，2006，36:122－125.

Wu Yong－gui，Wang Shu－xun，Wang Fei.Two－dimensional harmonics frequency estimation in additive gaussian noise background based on quaternion and hypercomplex［J］.Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition)，2006，36:122－125.

［7］汪飛，王樹勛，陳巧霞.基于Hamilton四元數矩陣奇異值分解的二維諧波頻率參量估計［J］.電子學報. 2007，35(12):2441－2445.

Wang Fei，Wang Shu－xun，Chen Qiao－xia.Parameters estimation of two－dimensional harmonics based on singular value decomposition ofquaternionmatrix［J］.Acta Electronica Sinica，2007，35(12):2441－2445.

［8］Miron S，LeBihan N，Mars J I.Quaternion－MUSIC for vector－sensor array processing［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54(4):1218－1229.

［9］Seberry J，Finlayson K，Adams SS.The theory of quaternion orthogonal designs［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2008，56(1):256－265.

［10］汪飛，王樹勛，張坤雷.色噪聲背景下基于四元數MUSIC方法的矢量陣列信號參量估計［J］.通信學報，2008，29(5):133－140.

Wang Fei，Wang Shu－xun，Zhang Kun－lei.Parameters estimation of vector－sensor array in colored noise based on quaternion－MUSIC［J］.Journal on Communications，2008，29(5):133－140.

［11］Gong Xiao－feng，Xu You－gen，Liu Zhi－wen.Quaternion ESPRIT for direction finding with a polarization sentive array［C］//ICSP2008，2008:378－381.