大跨中承式鋼管混凝土拱橋的自振特性及穩定性

云 迪，劉 賀，張素梅

（1.吉林建筑工程學院 土木工程學院，長春 130118；2.吉林農業工程職業技術學院，吉林 四平 136001；3.哈爾濱工業大學 土木工程學院，哈爾濱 150090）

0 引 言

自我國于1990年首次將鋼管混凝土作為拱肋用于公路橋梁建設以來，鋼管混凝土拱橋發展迅猛，2000年后鋼管混凝土拱橋超越鋼筋混凝土拱橋和鋼拱橋成為中國修建數量最多的拱橋橋型。已建成的跨徑在百米以上的鋼管混凝土拱橋占56.3%，即已有的鋼管混凝土拱橋多屬于大跨徑橋梁［1］。

鋼管混凝土拱橋較大的跨寬比、較小的構件截面尺寸、良好的面內整體性等特點使其面外剛度相對較弱。為了提高鋼管混凝土拱橋的面外剛度，改善其結構性能，對橋型及結構參數進行了研究，提出了提籃拱、鋼管－鋼管混凝土復合拱、單肋斜撐拱等新橋型，確定了拱肋矢跨比、拱肋截面、橫撐布置等影響拱橋橫向剛度的重要結構參數。對上述結構參數進行研究時，動力特性分析以其快速直觀的特點得到重點研究，自振頻率及振型作為動力特性分析的重要指標被廣泛用于評價結構參數取值的合理性［2-5］。

根據結構動力學原理，結構自振特性僅與結構彈性剛度矩陣和質量矩陣有關，而結構在外荷載作用下剛度降低，結構剛度矩陣發生變化，僅依據自振特性分析結果評定結構參數取值的合理性欠妥。研究鋼管混凝土拱橋穩定性的一個常用方法是非線性穩定分析，該方法基于實際構件的失穩屬于二類穩定問題，即極值點失穩問題，分析過程中綜合考慮結構幾何非線性與材料非線性的雙重影響，可以更精確地定量反映結構的整體穩定性。由于該方法較彈性分析復雜費時，一般僅用于研究幾何非線性和材料非線性對成橋穩定性的影響程度或研究不同拱肋模型對成橋穩定性的影響，很少用于結構參數的討論［6-7］。

為彌補自振特性分析無法考慮荷載工況對結構剛度矩陣的影響，利用彈性穩定性分析快速省時的優點初步對一360m跨中承式鋼管混凝土拱橋的主要結構參數進行討論；之后綜合考慮幾何與材料雙重非線性的穩定性分析對自振特性及彈性穩定性分析的結果進行驗證，研究了矢跨比及拱面內傾角度對結構靜動力性能的影響，提出了矢跨比及拱面內傾角的建議取值區間。

1 有限元模型

本文以一座跨度為360m的中承式鋼管混凝土拱橋為算例，其為一計算跨徑l0＝344m的懸鏈線無鉸拱（拱軸系數m＝2、k＝1.317），矢跨比f／L＝1／4.5［8］。

該算例的主要結構構件包括：六肢桁式鋼管混凝土拱肋；圓鋼管桁架橫撐；間距為8m、極限抗拉強度為fu＝1670MPa的鍍鋅高強鋼絲束吊桿；間距為8m的鋼管混凝土立柱；計算跨徑為35.95m的工字形截面鋼橫梁；22cm厚的預制鋼筋混凝土橋面板（對于12cm厚的橋面鋪裝層，只計自重不計剛度）。各主要結構構件的材性及有限元單元類型見表1。鋼材及混凝土的相關材料力學性能指標均按照現行結構設計規范取值；拱肋鋼管混凝土弦管的組合材料模型及材性依據文獻［9－10］確定。文獻［10］分別對文獻［11－12］的拱肋模型進行了雙重非線性有限元分析，并與文獻［11－12］給出的試驗結果進行了對比，吻合良好。本文依據文獻［10］的分析結果，考慮到計算機求解耗費的機時及結果存儲空間等綜合因素，鋼管混凝土拱肋采用雙線性隨動強化材料模型。

圖1為全橋空間有限元模型，其拱腳嵌固；柔性吊桿與橋面系、柔性吊桿與拱肋均為鉸接；其他節點為剛接。

表1 結構構件表Table 1 Structural members

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

2 自振特性及穩定性分析

2.1 自振特性分析

自振特性分析實質是以無阻尼振動為前提求解無外荷載作用時結構的動力平衡方程。假定體系作簡諧振動將問題轉化為經典的廣義特征值問題［13］，即：

式中：［K］、［M］分別為結構的總剛度矩陣及結構的總質量矩陣。

求解特征方程（1），得到結構第i階自振頻率ωi及相應振動模態的振型向量｛φ｝i。

鋼管混凝土拱橋已有動力特性分析表明：一般地，結構前幾階自振頻率和振型對結構自振特性起控制作用，只需求解結構前幾階自振頻率和振型即可滿足工程要求［3-4］。根據算例的結構特點，本文采用子空間迭代法求解方程（1），得到算例的前六階自振頻率及振型如圖2所示，主要包括面外振型（1階）、面內振型（2、4階）以及面內外耦合振型（3、5、6階）三類振型。

圖2 自振頻率及振型Fig.2 Fundamental frequencies and modes

算例的自振特性分析表明：①面外橫向振動先于面內豎向振動出現，結構面外與面內基頻之比為0.2853／0.4334＝0.7，體現了大跨鋼管混凝土拱橋面外橫向剛度弱的特點；②面外對稱振型早于反對稱振型出現，振動特性與梁相近；面外橫向振型中，拱肋與橋面異步振動早于二者同步振型，說明橋面剛度對結構面外剛度有一定貢獻；③面內振動首先出現面內反對稱振型，體現了拱結構的振動特性；吊桿與立柱于結構面內有效傳力，結構面內整體性更好，因此面內振型均為拱肋與橋面同步。

2.2 彈性穩定性分析

與結構無阻尼自由振動所體現的自振特性分析不同，彈性穩定性分析考慮了可能使結構剛度降低的外荷載作用，將幾何剛度矩陣引入結構動力平衡方程，由振動頻率為0時結構屈曲這一條件再次將問題轉化為如下特征值求解問題：

式中：［KG0］為基準荷載對應的幾何剛度矩陣；λG為荷載因子或屈曲系數［14］。

求解特征方程（2），得到結構第i階屈曲系數λi及相應屈曲模態向量｛u｝i。其中，一階屈曲系數即為結構的彈性穩定系數，相應的振型向量為結構屈曲模態［11］。

依據現行《公路橋涵設計通用規范》（JTG D60－2004），算例計算荷載工況主要考慮了恒載、汽車荷載（公路－Ⅰ級）、人群荷載和風荷載。車道荷載表現為均布荷載加集中荷載的形式，雙向六車道取車道折減系數為0.55，縱向折減系數為0.97；人群活載3.5kPa，橫向布置于2m寬人行道內，不進行車道折減；風荷載施加于迎風面拱肋節點。綜上，計算荷載工況見表2。

表2 荷載工況Table 2 Load cases

圖3為彈性穩定系數－荷載工況散點圖，由于荷載分項系數取值的不同，工況1對應的彈性穩定系數明顯高于其余工況；其余工況盡管活載布載形式不同，但彈性穩定系數非常接近。主要是因為大跨橋梁的恒載比重較大，對橋梁靜力性能起控制作用。在荷載工況作用下，算例均發生拱肋面外橫向反對稱屈曲，可見大跨鋼管混凝土拱橋面外剛度較弱。

2.3 非線性穩定性分析

圖3 彈性穩定系數－荷載工況散點圖Fig.3 Scatter points between elastic stability coefficient and load case

依據文獻［10］的分析結果，本文在對算例進行雙重非線性穩定性分析時，以設計荷載為基準荷載，考慮橋面系的非保向力作用，等比例加載至結構發生橫向失穩破壞，將此時結構基準荷載的倍數記為彈塑性穩定系數，以λcr表示。

由結構穩定系數－荷載工況關系曲線（見圖4）可知，恒載對算例的穩定系數起決定性作用；彈性穩定系數與彈塑性穩定系數變化趨勢相近，前者約為后者的2.70倍，說明非線性因素對算例穩定系數的取值影響較大，但對其變化規律影響甚微。

圖4 穩定系數－荷載工況關系曲線Fig.4 Relationship curves of stability coefficient－load cases

3 矢跨比的影響

3.1 矢跨比對自振特性的影響

算例矢跨比由1／2降至1／10，進行自振特性分析。分析結果顯示，面內振型隨矢跨比的降低呈現提前的趨勢；矢跨比為1／2時，雖然結構面內外基頻之比有所增加（見圖5），但此時結構高度大、剛度小，基頻較低；隨矢跨比的降低，拱肋與橋面系距離減小，吊桿、立柱等傳力構件的線剛度隨之提高，對拱肋的約束作用加強，體現為面內外基頻平緩加大（見圖5）；但降低矢跨比在提高拱肋橫向側傾約束的同時，結構面內整體性也在加大，因此基頻之比變化不大，基本在0.7左右浮動。

圖5 頻率／基頻之比－矢跨比關系曲線Fig.5 Natural frequencies－rise－to－span relationship curves

3.2 矢跨比對穩定性的影響

算例矢跨比自1／2降至1／10，由彈性穩定性分析得到表2中各荷載工況對應的結構彈性穩定系數λ－矢跨比f／L關系曲線如圖6所示，再次體現了恒載對穩定性變化趨勢的控制作用，同時考慮到工況3作用下拱肋橫向剛度最弱［10］，本文后續分析均以工況3加載。

圖6 彈性穩定系數－矢跨比關系曲線Fig.6 Relationship curves of elastic stability coefficient and rise-to-span ratio

以工況3為基準荷載，對算例進行雙重非線性穩定分析，得到穩定系數－矢跨比歸一化曲線如圖7所示。可見，彈性穩定系數與彈塑性穩定系數變化趨勢相近；與自振頻率的單調增加不同，穩定系數隨矢跨比的降低呈現先增大再減小的變化趨勢，矢跨比f／L在1／4附近取值時，結構穩定系數較大。

綜上，矢跨比對結構自振特性和穩定性的影響有所不同，僅靠自振特性的分析結果評價矢跨比的取值不全面。另外，拱圈材料用量隨矢跨比的降低而降低，矢跨比不超過1／4時，由于矢跨比不同造成的拱圈材料用量的差異小于10%［10］。因此，本文算例的矢跨比宜在1／4附近取值。

圖7 穩定系數－矢跨比歸一化曲線Fig.7 Stability coefficient vs.rise-to-span unitary

4 拱面內傾角的影響

以拱面與橋面的交線為軸，將算例的平行拱面向內轉動一定角度得到提籃拱，并進行自振特性及工況3作用下的穩定性分析。

4.1 拱面內傾角對自振特性的影響

隨拱面內傾角θ的增大，算例前10階振型中面內振型的數量提高，面外振型的出現越來越晚、其階次逐漸變大；θ的變化主要對結構面外一階振動及反對稱型耦合振動頻率影響較大，對面內振動及對稱型耦合振動頻率影響很小。

以拱面平行（θ＝0°）時的基頻為基準，面外基頻隨θ的增大顯著提高，θ＝18°時提高幅度為57.3%；面內基頻則略有降低，θ＝18°時約降低2%。可見，在本文討論的參數取值范圍內，隨內傾角的增加結構面外剛度明顯改善，面內剛度變化甚微。

4.2 拱面內傾角對穩定性的影響

不同拱面內傾角對應的穩定系數計算結果見表3，可見由于幾何及材料非線性因素的影響，彈塑性穩定系數明顯低于彈性穩定系數。

隨θ的增加，算例彈性及彈塑性穩定系數均有所增加，前者提高幅度可達5.0%（θ＝4°時），后者最大可提高約1.6%（θ＝6°時）；當內傾角超過10～12°后，穩定系數反而有所降低，說明拱肋內傾后，拱頂附近橫撐剛度提高、結構寬跨比增大、重心降低均對提高橫向面外剛度有利；但內傾會使拱肋在受壓的同時產生附加扭矩，又對承載不利。

內傾角的變化對彈塑性穩定系數的影響不如對彈性穩定系數的影響明顯，主要是因為考慮材料非線性后，拱肋中存在的內力重分布使得結構極限承載能力變化不大，但隨內傾角的增加拱頂最大橫向位移顯著降低，體現了拱肋內傾使結構橫向剛度提高。

表3 內傾拱穩定系數Table 3 Stability coefficients of arch bridges with inclined ribs

5 結 論

（1）降低矢跨比對改善結構自振特性有利，矢跨比越接近1／4，結構穩定系數越高。實際設計時宜綜合自振特性、穩定性的分析結果，并考慮拱圈材料用量決定矢跨比的取值。

（2）拱面內傾可有效改善結構面外剛度，表現為隨拱面內傾角的加大面外基頻提高，設計荷載作用下拱肋橫向位移降低，但內傾過大會產生較大的附加扭矩，結構極限承載能力反而會有所降低。本文算例內傾角越趨近于4°穩定系數越高，內傾角超過10°穩定系數反而較拱肋平行時有所降低。

（3）由于非線性因素的影響，大跨徑鋼管混凝土拱橋彈塑性穩定系數顯著低于其彈性穩定系數，但二者的變化趨勢相近，彈性穩定系數能在一定程度上反映結構參數對穩定性的影響。因此，可在初步設計階段綜合自振特性與彈性穩定分析的結果確定結構參數的取值，以達到既能考慮荷載作用對穩定性的影響又能快速合理確定參數取值的目的。

［1］陳寶春，劉福忠，韋建剛.327座鋼管混凝土拱橋的統計分析［J］.中外公路，2011，31（3）：96－103.Chen Bao－chun，Liu Fu－zhong，Wei Jian－gang.Statistical analysis on 327CFST arch bridges［J］.Journal of China and Foreign Highway，2011，31（3）：96－103.

［2］王頠，馬青松.結構參數對下承式鋼管混凝土拱橋動力特性的影響［J］.橋梁建設，2011（2）：34－38.Wang Wei，Ma Qing－song.Influences of structural parameters on dynamic characteristics of throughtype CFST arch bridges［J］.Bridge Construction，2011（2）：34－38.

［3］孫昊，錢永久，蔡迎春.結構參數變化對鋼管混凝土拱橋動力特性的影響分析［J］.重慶交通大學學報：自然科學版，2009，28（6）：982－985，1074.Sun Hao，Qian Yong－jiu，Cai Ying－chun.Influences of structural parameters on dynamic characteristics of CFST arch bridges［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University （Natural Sciences），2009，28（6）：982－985，1074.

［4］劉沐宇，龔凱，孫向東，等.單肋斜撐鋼管混凝土拱橋動力特性分析［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2009，33（6）：1104－1107.Liu Mu－yu，Gong Kai，Sun Xiang－dong，et al.Dynamic characteristics analysis of a single rib CFST arch bridge［J］.Journal of Wuhan University of Science and Engineering（Transportation Sciences and Engineering），2009，33（6）：1104－1107.

［5］何偉，趙順波，楊建中，等.大跨寬幅雙提籃系桿拱橋動力特性和抗震性能［J］.振動、測試與診斷，2010，30（6）：630－633.He Wei，Zhao Shun－bo，Yang Jian－zhong，et al.Dynamic and aseismic behavior of large－span tied arch bridge［J］.Journal of Vibration Measurement and Diagnosis，2010，30（6）：630－633.

［6］譚國宏，李龍安.某下承式鋼管混凝土拱橋二類穩定分析研究［J］.橋梁建設，2011（3）：36－39.Tan Guo－hong，Li Long－an.Ultimate point instability analysis on a through－type CFST arch bridge［J］.Bridge Construction，2011（3）：36－39.

［7］鄭永衛，包泮旺，沈旭東，等.舟山松岱大橋雙重非線性穩定性分析［J］.公路，2011（8）：52－55.Zheng Yong－wei，Bao Pan－wang，Shen Xu－dong，et al.Nonlinear stability analysis on Zhou Shan Songdai Bridge［J］.Highway，2011（8）：52－55.

［8］陳寶春，鄭皆連.鋼管混凝土拱橋實例集（一）［M］.北京：人民交通出版社，2002：145－181.

［9］鐘善桐.鋼管混凝土結構［M］.3版.北京：清華大學出版社，2003：34－52.

［10］云迪.大跨中承式鋼管混凝土拱橋靜力及抗震性能［D］.哈爾濱：哈爾濱工業大學土木工程學院，2007.Yun Di.Static and aseismic behavior of large span half－through CFST arch bridges［D］.Harbin：School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，2007.

［11］陳寶春.鋼管混凝土拱橋設計與施工［M］.北京：人民交通出版社，1999：132－167，182－192.

［12］楊永清.鋼管混凝土拱橋橫向穩定性研究［D］.成都：西南交通大學土木工程學院，1998.Yang Yong－qing.Lateral stability of CFST arch bridges［D］.Chengdu：School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，1998.

［13］Clough Ray W，Penzien Joseph.Dynamics of Structures［M］.3rd ed.California：University of California Press，1995：201－210.

［14］張素梅，云迪.大跨中承式鋼管混凝土拱橋的橫撐布置［J］.吉林大學學報：工學版，2009，39（1）：108－112.Zhang Su－mei，Yun Di.Lateral brace arrangement for large－span half－through concrete filled steel tube arch bridge［J］.Journal of Jilin University（Engineering and Technology Edition），2009，39（1）：108－112.