基于雙樹復小波和廣義高斯密度的紋理圖像檢索

張久文，米進財，張同峰

(蘭州大學信息科學與工程學院，蘭州730000)

隨著互聯網的高速發展和計算機的普遍應用，數字圖像的應用越來越廣泛，快速、準確地檢索到所需的圖像成為人們越來越關心的問題。基于內容的圖像檢索就是在這種需求下應運而生的，其主要內容是特征提取和相似性度量。

Minh等［1］提出廣義高斯密度建模和Kullback－Leibler距離的圖像檢索的方法。這種方法被用來與多種變換相結合進行圖像檢索［2－3］。本文將此方法引入雙樹復小波變換中進行紋理檢索，實驗表明該方法能有效表征紋理圖像的特征，檢索的準確率較高。

1 雙樹復小波變換

離散小波變換(DWT)會產生較大混疊，帶來畸變，嚴重影響小波系數表征原信號特征的能力。混疊主要帶來的缺陷表現在兩個方面:平移敏感性和缺乏方向選擇性。為了克服這些缺點，Kingsbury［4－5］提出了 DT－CWT。DT－CWT是采用二叉樹結構的兩路DWT，一樹生成變換的實部，另一樹生成變換的虛部(見圖1)。相較于DWT，DT－CWT改善了平移敏感性;二維DT－CWT產生6個分別指向±15°，±45°，±75°的高頻子帶圖像，增加了方向選擇性同時引入了2倍的冗余。圖2是DT－CWT在1層分解下zoneplate圖片的各方向子帶圖。其中第一行為zoneplate原圖，第二行為實部各子帶圖，第三行為虛部各子帶圖。從左至右，依次為:15°、75°、45°、－15°、－75°、－45°。

圖1 雙樹復小波變換結構框圖Fig.1 Architecture of dual-tree complex wavelet transform

圖2 DT-CWT尺度以下各方向子帶圖Fig.2 Directional subband images of DT-CW T

2 紋理特征表示及相似性度量

2.1 DT-CWT各子帶系數的廣義高斯建模

在圖像處理領域的實際應用中，數據分布的未知概率密度函數的準確建模對于設計一個有效的處理系統具有重要的作用［6］。廣義高斯密度函數(GGD)可以有效地刻畫一大類圖像的統計建模。目前，廣義高斯密度建模己被廣泛地應用于基于變換域的圖像處理中，如DCT域的圖像編碼［7］，小波域的圖像去噪、壓縮和紋理圖像檢索等［8］。研究表明，依廣義高斯密度建模是對自然圖像變換子帶系數最逼近和最成功的建模方式［1］。圖3是實驗中D1.gif子圖的子帶系數的直方圖，可以看出，它能夠很好的匹配高斯分布。

子帶系數的廣義高斯密度函數的尺度參數和形狀參數的估計精度導致其在實際應用中的局限性問題。典型的估計方法有三種:矩估計法、嫡匹配法和最大似然(ML)估計法。最大似然估計法是三者中最有效。

圖3 D1.gif子圖經DT-CWT變換后實部、尺度1下15°方向子帶系數直方圖Fig.3 Histogram of DT-CWT subband coefficient. Exam ple for the 15°subband coefficient of D1. gif subimage w ith one level decom position

由于所估計的參數具有顯式表達式，所以其概率有唯一解。文獻［1］采用最大似然估計，進行Newton Raphson迭代的方法求解超越方程，較好地估計出了模型參數。廣義高斯密度函數定義如下

式中:

利用最大似然估計方法，得到

用矩估計的方法得初始值β0，并采用Newton Raphson迭代方法求解超越方程，得到β。計算出每個子帶的α和β，將其作為紋理圖像的特征。該方法大大減少了特征數目，節省了存儲空間和計算時間。特征向量結構如下:

2.2 相似性度量

在得到子帶圖像的廣義高斯密度函數的參數后，可以采用Kullback－Leibler(K－L)距離作為紋理圖像之間相似性測度的工具［9］。兩幅圖像間的K－L距離越小則相似度越大;反之，相似度越小。對于待查詢圖像和具有M幅圖像的數據庫中的第i幅備選圖像，兩者之間的K－L距離定義為

3 實驗結果及分析

數據庫選用brodatz紋理庫中的40張圖片，這些圖像是512×512的自然圖像，分別為:D1，D6，D15，D16，D18，D20，D21，D26，D34，D37，D38，D44，D47，D49，D50，D53，D51，D55，D56，D64，D65，D68，D69，D70，D72，D76，D77，D78，D79，D82，D83，D85 D93，D94，D95，D96，D103，D104，D105和D106。將每張圖片分解為互不重疊的16張128×128的子圖像，進行灰度化并規范化為零均值和單位方差從而生成640張圖像庫。

實驗選用基于能量的方法與本文提出的方法進行比較。各子帶系數的模的均值和方差作為能量特征，其公式如下

式中:uk(x)、σk(x)是第k個方向子帶中各小波系數的均值和方差;xk(i，j)是第k個方向子帶中的一個小波系數，L是系數的個數。特征向量結構如下

歐氏距離作為相似性度量的工具。假設SI1和SI2是圖像I1和I2的特征向量，N是特征向量中的特征值個數，則這兩幅圖像的距離公式如下

式中:D(SI1(k)，SI2(k))為特征向量間的歐氏距離。

表1是各種變換在3層分解下，檢索前16張匹配圖像的平均檢索率。表1中:L1為均值，L2為方差，L1+L2為將兩者結合的方法，它們的特征向量結構分別如式(9)～式(11)所示，歐氏距離作為相似性度量工具;GGD＆KLD為廣義高斯密度(GGD)結合Kullback－Leibler距離(KLD)的方法、GGD＆ED為廣義高斯密度(GGD)結合歐氏距離的方法，GGD的特征結構如式(5)所示。由表1可以看出，相同變換下，能量特征和歐氏距離方法的平均檢索率都低于基于GGD＆KLD的方法;基于DT－CWT和GGD＆KLD的方法在3層分解時有最高的平均檢索率，即DT－CWT在3層分解下的系數與高斯模型更匹配。

表2是DT－CWT在不同分解尺度下，檢索前16幅匹配圖像的平均檢索率。

表1 各種變換在3層分解下，檢索前16幅匹配圖像的平均檢索率(%)Table 1 Average retrieval rate in the top 16 matches using different transform sw ith decomposition level3(%)

表2 雙樹復小波在不同分解尺度下，檢索前16幅匹配圖像的平均檢索率(%)Table 2 Average retrieval rate in the top 16 matches using DT-CWT transform w ith different decomposition level

由表2可以看出，3層分解是最佳分解層數; 4層分解時，不論基于能量的特征還是本文的統計特征，檢索率都急劇下降;在各層分解層數下，基于GGD＆KLD距離的方法都優于基于能量特征的方法。

圖4是檢索前N幅匹配圖像時的平均檢索率。由圖4可以看出，隨著檢索圖像的數目從16到100的增大過程中，基于GGD＆KLD的方法一直遠遠優于基于能量特征和歐氏距離的方法。圖5是用D1.gif子圖為目標圖檢索到的前16幅最匹配圖像。其中，第一幅為原圖，從左到右，從上到下依次為優先檢索到的圖。

圖4 檢索前N幅匹配圖像時的平均檢索率Fig.4 Average retrieval rate according to the top N matches considered

圖5 D1.gif子圖為目標圖檢索到的前16幅最匹配圖像Fig.5 The top 16matcheswhich D1.gif used as the querry image

4 結束語

運用雙樹復小波變換對圖像進行分解，對各子帶中小波系數的邊緣分布函數進行高斯建模，生成紋理特征。采用不同圖像相應子帶的紋理特征間的Kullback－Leibler距離度量各圖像間的相似性。實驗表明，該方法具有更高的檢索率和較低的計算復雜度。

［1］Minh N Do，Martin Vetterli.Wavelet－based texture retrieval using generalized gaussian density and kullbackleibler distance［C］//IEEE Transactions on Image Processing，2002，111:146－158.

［2］Choy Siu－kai，Tong Chong－kze.Supervised texture classification using characteristic generalized Gaussian density［J］.Journal of Mathematical Imaging and Vision，2007，29(1):35－47.

［3］Chen Xin－wu，Ma Jian－zhong.Texture Image Retrieval Based on Contourlet－2.3 and Generalized Gaussian Density Model［C］//2010 International Conference on Computer Application and System Modeling ICCASM，2010.

［4］Kingsbury N G.Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals［J］.Appl Comp HarmonicAnal，2000，10(3):234－253.

［5］Kingsbury N G.The dual－tree complex wavelet transform:A new efficient tool for image restoration and enhancement［C］ //Proc.European Signal Processing Conf Hodes，1998:319－322.

［6］曲懷敬.Contourlet變換在紋理圖像檢索和醫學圖像分割中的應用研究［D］.濟南:山東大學，2009.

Qu Huai－jin.Research on applications of contourlet transform in texture image retrieval andmedical image segmentation［D］.Jinan:Shandong University，2009.

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［8］Moulin P，Liu J.Analysis of multiresolution image denoisings scheme using generalized Gaussian and complexity priors［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1999，45(3):909－919.

［9］Cover TM，Thomas JA.Elements of information Theory［M］.New York:Wiley，1991:68.