實例合作學習模式在數學建模教學中的實踐

王 扉，王夢賢，夏方禮

(湖南城市學院數學與計算科學學院，湖南益陽413000)

眾所周知，科教興國的關鍵是創新型人才的培養。具有創新精神的人才必須深刻地掌握現代科學技術研究的基本方法:理論研究、科學實驗和科學計算，而這三大基本方法要求具有扎實數學技術。數學技術主要由數學分析技術、數學建模技術、數學軟件技術、數學實驗技術與科學計算技術組成[1]。

數學建模于1960-70年代進入西方國家的大學，1980年代初開始進入我國大學。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學技術化的主要途徑。為了適應科學技術發展和創新型人才培養的需要，國內外越來越多的大學正在將數學建模與教學改革相結合，努力探索更有效的數學建模的教學法和新思路。

在數學建模教學中，學生起點不一、專業混雜、教學內容繁雜、課時少等狀況制約了教學效果。傳統教學中理論課、實驗課、課程設計三者脫節，理論課“滿堂灌”，實驗課“教條化”，而課程設計“放羊”，學生處于被動地位，缺乏興趣，導致教學效果事倍功半。針對這些問題，結合筆者的一些教學實踐經驗，本文提出了一種“實例研究”與“合作學習”相結合的教學模式——實例合作學習模式。該模式利用問題驅動和教學中各因素之間的互動，提高了學生自主學習、團隊學習和研究性學習的能力。

一 實例合作學習模式概述

實例研究法是指在某一學科領域的實踐中，抽取一些具有共性而無唯一答案的問題，綜合利用該學科的理論和應用知識，分析解決問題的方法和步驟，指出可能影響到相應問題解決的種種因素，從而找出帶規律性的方法和結論[2]。合作學習是1970年代初興起于美國，并在1970年代中期至1980年代中期取得實質性進展的一種富有創意和實效的教學理論與策略體系，是指學生在學習群體中“為了完成共同的任務，有明確的責任分工的互助性學習”[3]。實例合作學習是以合作學習小組為基本組織形式，在教師的組織引導下，以解決一些開放性的問題為目的，通過學生自己的主動探索和學生與學生之間、組與組之間、教師與學生之間的互動過程，完成實例研究報告的一個教學過程。

在實例合作學習模式的實施中，教師首先根據教學要求設計和選取實例，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，然后營造一個生動活潑的環境去引發學生的學習欲望，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養學生主動探索、努力進取的學風，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作的精神。

二 實例合作學習模式在數學建模課程教學中的應用

數學建模課程總的教學目標與任務是使學生了解利用數學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高學生分析問題和解決問題的能力，提高學生學習數學的興趣和應用數學的意識與能力，使學生在以后的工作中能經常性地想到用數學去解決問題，提高學生盡量利用計算機軟件及當代高新科技成果的意識，能將數學、計算機有機地結合起來以解決實際問題[4]。

為了在有限的學時內讓學生通過實例的研究，掌握數學建模的方法和提高綜合分析能力與創新能力，教師可采取先導入具體實例、然后融入背景知識點的方式講解，激發出學生的學習興趣，然后把實例中涉及的知識點、難點及重點進行歸納、分析，引導學生課后分組自主學習相關知識。通過課堂匯報研究成果、課程設計和競賽等形式組織引導小組合作學習，把整個數學建模過程變成一個互相交流學習的過程，一個不斷探索和提高的過程。

(一)選取典型實例，構造合作學習愿景

教學實例構建是實例合作學習教學模式的核心。數學建模教學中的案例一般由工程技術和管理科學及社會熱點問題簡化而成。選題既要考慮數學知識、計算機技術等小組合作學習的需要，又要照顧部分學生深入研究的需要，這樣才能充分調動學生的積極性和團隊的協作精神。以下是數學建模實例設計與選取的原則:

1．突出教學重點，拓展學生知識面

結合教學單元，展示一個個實例的數學模型構建與求解應用過程，可極大地激發學生的求知欲和好奇心。例如，講授無約束優化模型時，選取“生豬的最佳出售時機”作為案例。該案例與實際生活結合緊密，能有效地激發學生的求知欲。通過引導學生課堂上分組合作學習，展開對該實例的思考、討論、歸納和總結，學生不僅能掌握數學規劃模型的建立與求解的步驟和方法，還能更好地理解結果對參數的相對敏感程度分析和模型的強健性等新知識，教學效果顯著。

2．突出時效與趣味

愛因斯坦說過:“興趣是最好的老師。”這就是說一個人一旦對某事物有了濃厚的興趣，就會主動去求知、去探索、去實踐，并在求知、探索、實踐中產生愉快的情緒和體驗。例如，2011年3月11日，日本福島發生里氏9．0級地震，地震引發了海嘯，造成福島核電站核泄漏事故。當時國內一部分居民因不明情況出現恐慌情緒，由此產生了搶購碘鹽等風波。筆者構造了一組數據模擬福島核電站核泄漏事故和采集兩組大氣環流和大洋環流數據，引導學生建立微分方程模型，分析評估核泄漏事故對中國內地的影響。學生對此問題產生了濃厚的興趣，在課堂上展開了熱烈的討論，最后通過數學建模與數學實驗，得出核泄漏事故對中國沿海地區有微弱的影響、對中國內陸地區影響甚微的結論，及時地消除了學生的恐慌心理，使學生樹立了尊重科學的觀念。

3．突出學生的主體地位，因材施教

教師可針對不同的教學對象組織不同的范例，學生可針對自己的情況和興趣選擇不同難易程度、不同應用領域的實際問題，促進學生學習個性化和個別化。在實例研究過程中，小組自主組織學習、討論、辯論、實驗和撰寫研究報告，教師不參與其中任何具體工作，只起質疑、答疑、輔導的作用。

4．遵循循序漸進的原則

選題要注意選取復雜度不高的實例，由簡到難，步步深入，不要讓大多數同學感到難以下手。學期初，可布置學生研讀課本上的實例，報告學習心得，培養學生自主學習的能力;學期中，可指定學生分析解決一些簡單實際問題，例如，在“微分方程模型”單元教學中可利用“酒駕的判定”、“蹦極過程的計算機仿真”等實例合作研究，培養學生綜合分析能力和發散性思維;學期末，可仿照大學生數學建模競賽，從當年各高校賽題中選出若干反映社會熱點的實際問題，由合作學習小組任選一題作為課程設計，在指定的時間內完成，以拓展學生知識面，培養學生創新意識和團隊精神。

(二)組建數學建模團隊，搭建合作學習平臺

合作學習是實例合作學習教學模式的靈魂。可抽取班級中對數學建模興趣濃厚且基礎較好的學生，特別是參加過數學建模競賽的學生為隊長，然后按數學建模分工合作要求對學生進行組隊，每隊3人，由隊長協調團隊內學生分工合作。團隊成員包括:建模人員(數學思維要靈活、具有扎實的數學功底)，編程人員(編程能力要強、精通計算機技術)，寫作人員(文字功底要好、表達要簡明扼要)。

引導團隊成員合理分工合作。要求隊員先獨立分析問題與探索解決問題的思路，再交流討論各自提出的不同解決問題的方案;在充分討論達成共識的基礎上，再由隊長具體分工，明確各自的研究任務。建模人員與編程人員要密切配合，寫作人員要善于收集資料，分析有用信息，提供給建模人員與編程人員參考，并且隨時跟進建模與求解的進度，檢查工作進展與結果的正確性。

(三)有效管理，提升合作學習效果

有效管理是由彼得·德魯克提出的一種創新的、務實的、普適的管理理論，主要包括以下觀點:①卓有成效是可以學會的;②掌握自己的時間;③注重貢獻，并懂得將自己的工作與長遠目標結合起來;④發揮自己、下屬和上級的長處;⑤集中精力，要事優先;⑥決策要有明確的要素和一定的步驟;⑦作出有效的決策[5]。

有效的管理總能帶來“整體大于部分”的效果。下面從管理者的4個基本工作職能——計劃、組織、領導、控制——討論教師對合作學習的有效管理。

1．制定“有效計劃”

計劃就是確定要達到的目標，并事先確定實現目標所需的正確行動。數學建模課程教學面對的問題具有多樣性，計劃能有效消除教學中的不確定性。計劃還可以消除教學中教學資源的浪費，數學建模教學涉及的學科過多，全部學習顯然不現實[6]。計劃使教師更合理地安排教學步驟和有效地掌握工作時間。實例合作學習是以學生為主體，圍繞一些簡化了的實際問題展開，時間跨度大，不確定因素多，計劃應更注重教學的可行性和課外學習活動的組織安排。

2．“有效組織”團隊學習

組織是對實現目標所需資源的分配與協調。團隊學習是指一個單位的集體性學習，便于單位成員之間的互相學習、互相交流、互相啟發、共同進步。團隊學習依靠的是隊員間的深度匯談。深度匯談是通過在所有對話者參與的同時，分享所有對話者的意義，從而在群體和個體中獲得新的理解和共識的交流活動過程[7]。

團隊學習具有兩個特征:一是團隊目標一致，二是知識共享。為了保障有效的團隊學習，教師的教學設計應包括團隊的結構、組織政策、發展策略等內容，明確隊員的工作責任與工作分工，以利于團隊盡早達成一致目標;教師還應在團隊合作學習過程中界定真實情況，協助隊員對真實情況進行正確、深刻的把握，提高他們對團隊的了解能力，促進每個隊員的學習;教師還應優化資源配置和創造條件使團隊人事和諧。

3．“有效領導”團隊學習

領導就是激勵人們成為績效杰出者，就是指導、激勵和與個人或群體的溝通。指導老師應該創造和諧、充滿激情的工作氛圍。有些教師生硬地照搬教科書，學生學習效果并不理想。教師應該在師生之間營造一種互動的教學氛圍，充分調動學生的積極性，還應培育隊員的集體榮譽感，充分挖掘隊員的潛力，從而提升團隊學習效果。

4．“有效控制”團隊學習

全面的計劃、堅實的組織、出色的領導并不能確保成功。成功的管理者，都會對工作實現密切關注。具體的控制活動包括:制訂績效標準使進展指向長期目標，通過收集績效數據監督個人和組織的工作，提供進展的信息和反饋，通過將績效數據與標準比較發現問題，采取行動糾正問題。作為團隊學習的管理者，教師不僅要對課程有全面深入的理解，還要求教師對團隊進行科學引導。否則學生依然會停留在個體學習狀態，使團隊合作流于形式。

指導教師應及時跟進團隊活動。各隊長和隊員、指導教師和隊員之間建立通暢的溝通渠道，除了利用課堂教學，課外還可通過現代化通訊手段使團隊和指導教師能夠及時處理學習中的問題。

實例小組活動要及時歸納、總結、評價。首先，教師應要求各團隊在課前提交實例研究報告，督促學生按時按質地完成實例研究;然后由各隊代表在課堂上報告、答疑，培養學生的發散思維和語言表達能力。教師應適當提出一些問題以考查學生對知識點的運用，對團隊所作的研究工作及各方面能力進行點評，對提高相關能力給出指導性意見，對各團隊研究成果進行等級評定。最后教師將各隊報告中的主要數學知識與方法匯總，培養學生科學研究態度與創新意識。

數學建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活、對教師和學生要求高等特點，數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。實例合作學習教學模式是以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。筆者多年來的教學實踐表明，將實例合作學習模式應用于數學建模教學，不僅增強了課程的吸引力，調動了學生學習的自覺性，而且拓寬了學生的知識面，提高了學生綜合素質、創新意識和團隊協作能力。

[1]肖翠娥．數學技術、信息技術與職業技術融合成效及其展望[J]．教育進展，2012(2):1-5．

[2]張立勇，吳建華．工具書應用研究中的實例研究法[J]．高校圖書館工作，1992(4):16-20．

[3]高芹．高師學生合作學習模式探索[J]．現代語文:教學研究版，2007(3):70-80．

[4]姜啟源，謝金星，葉俊．數學模型[M]．4版．北京:高等教育出版社，2011:17-18．

[5]孫啟偉．德魯克:有效管理理論[J]．教育，2009(30):38-39．

[6]王夢賢，王扉，夏方禮．大學數學建模有效教學的組織行為[J]．價值工程，2013(1):230-232．

[7]戴維·伯姆．論對話[M]．北京:教育科學出版社，2004:6-8．