面向實際工程應用的線性代數(shù)教學研究

王炯琦，馮良貴，周海銀

(國防科學技術大學理學院，湖南長沙410073)

線性代數(shù)(Linear Algebra)是討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科[1]，是高等院校理工、經(jīng)濟類專業(yè)重要的數(shù)學基礎課，具有廣泛的應用性，對提高教師和學生的數(shù)學素養(yǎng)、訓練與提高學生的抽象思維能力與邏輯推理能力都具有重要作用[2]。然而，該課程本身具有概念抽象、結構復雜、計算強度大等特點，不僅消磨了學生的學習積極性，也使得教師和學生難以將所教或所學的理論方法應用到解決實際問題中，從而失去了線性代數(shù)應有的基礎應用性作用。

為培養(yǎng)學生學習線性代數(shù)的學習興趣，使線性代數(shù)真正與實際應用和實際問題相結合，發(fā)揮其基礎應用性課程的作用，近年來，眾多從事線性代數(shù)的教學、教育的工作者，積極探索實際問題驅動的線性代數(shù)課程教學理念，研究該課程的直觀性教學思想和方法，并形成基于問題解決的線性代數(shù)課程的教學設計模式，包括問題背景下的教學內容組織、課程教學設計及現(xiàn)代化教學運用等[3-5]，取得了一定的效果。

近5年來，緊密結合國防現(xiàn)代化建設的需求，我校線性代數(shù)教學團隊，以物理背景為依托，以線性代數(shù)方法創(chuàng)新為突破，以國防建設工程、型號應用為目的，實踐了一條以理論教學促進工程發(fā)展、科研實踐豐富理論教學應用的教學、科研相互促進的良性發(fā)展模式。一方面，鼓勵從事線性代數(shù)教學的教師參加科研活動，加強其科研背景，引導其形成自己的科研方向;通過參加科研工作，使得教師的知識結構更加全面合理，知識不斷更新，教師的思路和視野不斷開闊。另一方面，科研研究的成果、積累的素材積極的融入到線性代數(shù)課程教學中，豐富了教學實驗案例，更新了教學理念、教學方式與手段，培養(yǎng)了學生較強的線性代數(shù)實際應用能力，適應了新時期人才培養(yǎng)的目標。

下面，以實際例子來說明線性代數(shù)教學中矩陣跡的實際工程應用。

一 問題的提出

設有N個傳感器對狀態(tài)向量X∈Rn×1進行線性測量，如圖1，觀測方程為:

其中 Zi∈ Rmi×1為觀測向量，Hi∈ Rmi×n為列滿秩觀測矩陣，觀測誤差εi∈Rmi×1滿足如下假設:

現(xiàn)考慮如何通過觀測數(shù)據(jù)融合，獲得關于目標狀態(tài)向量的最優(yōu)估計，并分析估計的性質。

圖1 多傳感器線性加權融合模型

二 線性融合模型及融合估計精度

對于式(1)的觀測模型，式(2)的實際工程意義是:傳感器觀測誤差為零均值，不同傳感器的觀測是不相關的，同一傳感器的各測量通道的測量是不相關且等精度的，如果各通道精度不等，則易通過歸一化處理為等精度[6]。

(一)線性融合估計

下面的定理給出了式(1)中狀態(tài)向量的估計。定理1 模型(1)下狀態(tài)向量X的最優(yōu)估計為

估計的均方誤差MSE為

其中tr為方陣的跡。

其中Eε=0，EεεT=I。

由最小二乘估計準則[7]，知X的最優(yōu)估計為:

從而

利用矩陣跡的可交換性[8]及E tr A=tr E A，因此

(二)融合估計性質及精度分析

從定理1可知，對于多傳感器線性觀測模型，狀態(tài)向量的最優(yōu)估計^X實際上為各傳感器觀測數(shù)據(jù)Zi的加權和，其融合加權權值為

其實際工程意義為:當狀態(tài)向量為一維的，各傳感器直接對狀態(tài)進行觀測時，狀態(tài)量的最優(yōu)估計為各傳感器觀測值的加權平均，其權為:

式(9)的分母是權值的歸一化，即各傳感器權值的和為1，分子為第i個傳感器的觀測精度;此外，假設N個傳感器的觀測信息精度相等，即σ1=σ2=，Λ，=σN=σ0，則N個傳感器融合后的均方誤差MSE[hat X]=♂/N，表明N個相同精度傳感器的輸出信息融合后精度提高到單個傳感器的倍;假如傳感器的測量精度有高低之分，最低精度與最高精度分別為和，則融合精度為

這說明通過多傳感器測量，采用最優(yōu)加權信息融合方法，能夠提高一維系統(tǒng)狀態(tài)估計的精度。

下面考慮模型(1)下的多傳感器線性融合估計性質。顯然，式(1)中，僅用第i個傳感器進行線性觀測，其最優(yōu)估計為

且

而由定理1知，N個傳感器線性觀測下得到的最優(yōu)估計的均方誤差為

定理2 多傳感器線性最優(yōu)融合的精度優(yōu)于任意單一傳感器測量給出的最優(yōu)估計精度，即

三 定理2的證明

由于 Hi∈ Rmi×n為列滿秩矩陣，σ2i＞0，從而為正定矩陣，記為 Bi，i=1，2，…，N 。定理2可轉化為如下命題。

命題:已知 Bi＞ 0，i=1，2，…，N ，求證 tr(B1+B2+…BN)-1＜tr(Bi)-1。

方法1:直接證明法

證:因為

而

從而

故

由于正定矩陣的逆、正定矩陣的和以及正定矩陣的合同變換都是正定的[8]，所以是正定矩陣，其特征值均大于0，即

上式推廣，即得

#

方法2:利用矩陣相似、矩陣合同性質

證:因為B1正定，則B-11也正定，從而存在矩陣 P1，使得 PT1B-11P1= I。另一方面，易知PT1B-12P1也為正定矩陣，從而存在正交矩陣P2，使得PT2PT1B-12P1P2=Λ，其中Λ為對角矩陣，且對角元素 λ1，λ2，…，λn＞ 0 。令 P=P1P2，Q=P-1，即

(B1+B2)-1=QT(I+Λ)-1Q

令 QT= [q1，q2，…，qn]，qi∈ Rn×1，i=1，2，…．n ，從而

從而

上式推廣，即得

#

定理1和定理2的實際工程意義在于:

注釋1:多傳感器線性觀測系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)估計精度由單一傳感器的測量精度σ2i和觀測矩陣Hi等系統(tǒng)參數(shù)共同決定。

注釋2:在由多個傳感器組成的線性融合系統(tǒng)中，觀測矩陣和測量精度分別為 Hi和 σ2i，則相同的多傳感器融合系統(tǒng)，狀態(tài)估計的精度也相同。

注釋3:多傳感器線性融合系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)估計精度比基于單一傳感器的測量信息的狀態(tài)估計精度要高。

注釋4:利用的測量信息越多，則最優(yōu)估計的精度就越高，即多傳感器信息融合在一定程度上能提高融合系統(tǒng)的狀態(tài)估計精度。

以上結論對于實際工程中高性能多傳感器融合系統(tǒng)的設計提供了重要的理論基礎。

四 結論

線性代數(shù)是一門應用性、實踐性極強的數(shù)學基礎課程。實際工程中的許多物理現(xiàn)象均能夠提煉出相應的數(shù)學理論和方法，而所提煉的數(shù)學理論反過來又能解釋或指導工程應用。然而目前大多數(shù)線性代數(shù)的課程教學嚴重脫離實際應用，使得學生無法理解或難以將所學的理論方法應用到解決實際問題中，降低了學習的興趣和學習的效率。

多年來，我校線性代數(shù)教學團隊一直秉承“以實際問題驅動的線性代數(shù)教學”理念和方法，以物理背景為依托，以線性代數(shù)方法創(chuàng)新為突破，以國防建設工程、型號應用為目的，實踐了一條以理論教學促進工程發(fā)展、科研實踐豐富理論教學應用的教學、科研相互促進的良性發(fā)展模式。本文以線性代數(shù)教學中矩陣“跡”的實際工程為例，闡述了我校線性代數(shù)教學團隊積極將科研研究的成果、積累的素材有效地融入到線性代數(shù)課程教學中，豐富了教學實驗案例，很大程度上提高了學生學習線性代數(shù)的興趣，使得學生們“在研究中學習、在學習中研究”，培養(yǎng)學生的研究能力和創(chuàng)新能力。

[1]李尚志．線性代數(shù)[M]．北京:高等教育出版社，2006．

[2]李亞紅，魏建洲．關于線性代數(shù)直觀性教學的一些思考[J]．數(shù)學教育研究，2012，31(1):49-52．

[3]陳建華，李立斌，凌智，等．基于問題解決的線性代數(shù)課程教學設計研究[J]．高等理科教育，2011(4):117-120．

[4]LAY D．C．線性代數(shù)及其應用[M]．北京:電子工業(yè)出版社，2004．

[5]王瑞，夏愛生，劉艷娜，等．線性代數(shù)(非數(shù)學專業(yè))整體教學的實踐與認識[J]．大學數(shù)學，2011，27(6):11-14．

[6]王炯琦．信息融合估計理論及其在衛(wèi)星狀態(tài)估計中的應用[D]．長沙:國防科技大學理學院，2007．

[7]茆詩松，王靜龍，濮曉龍．高等數(shù)理統(tǒng)計:第2版[M]．北京:高等教育出版社，2006．

[8]張賢達．矩陣分析與應用[M]．北京:清華大學出版社，2004．