圖像恢復(fù)問(wèn)題中強(qiáng)度保持技術(shù)

郭曉新，許志聞，車(chē)翔玖

(1.吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130012;2.吉林大學(xué) 符號(hào)計(jì)算與知識(shí)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春130012)

熒光造影術(shù)主要用于視網(wǎng)膜機(jī)能的生理化驗(yàn)。雖然各種非侵害技術(shù)已被用于跟蹤視網(wǎng)膜疾病的發(fā)展變化，但只有熒光造影術(shù)在糖尿病等與循環(huán)系統(tǒng)調(diào)節(jié)機(jī)制有關(guān)的疾病研究中顯示出了巨大的應(yīng)用前景。在熒光染料注入靜脈后經(jīng)過(guò)一個(gè)短暫間隔，使用掃描激光檢眼鏡記錄熒光造影圖像。造影圖像能記錄熒光染料的流動(dòng)過(guò)程和熒光強(qiáng)度的變化過(guò)程。一般情況下，熒光強(qiáng)度隨時(shí)間的推移不變地變化，從動(dòng)脈中可見(jiàn)的濃度非常低的熒光染料，到完全充滿動(dòng)脈，再到完全充滿靜脈，直到熒光染料在血管中完全耗盡。在眼底血管的動(dòng)脈和靜脈中會(huì)分別出現(xiàn)兩個(gè)熒光強(qiáng)度峰值。兩個(gè)峰值之間的間隔相對(duì)較短;而大部分時(shí)間是處在染料尚未到達(dá)或已經(jīng)耗盡的階段。在這種情況下，染料沒(méi)有到達(dá)或已經(jīng)耗盡的位置上血管會(huì)顯得很暗，并且難以辨認(rèn)。

考慮到熒光造影圖像的特定需求，我們主要針對(duì)噪聲抑止提出了能夠?qū)崿F(xiàn)強(qiáng)度保持的自適應(yīng)濾波器，以及改進(jìn)的圖像恢復(fù)方案。為了在恢復(fù)圖像中保持熒光強(qiáng)度，以便進(jìn)行醫(yī)療分析和診斷，我們提出的改進(jìn)方案在傳統(tǒng)的圖像恢復(fù)最小化問(wèn)題上增加了一個(gè)新約束，稱(chēng)為強(qiáng)度約束。我們通過(guò)定義一個(gè)稱(chēng)為強(qiáng)度模板的常矢量指導(dǎo)最小化過(guò)程達(dá)到所期望的目標(biāo)。這一目標(biāo)就是強(qiáng)度保持。為此，我們對(duì)雙向?yàn)V波器進(jìn)行了擴(kuò)展，以便使其在濾波過(guò)程中可實(shí)現(xiàn)強(qiáng)度保持的要求。擴(kuò)展的雙向?yàn)V波器除了抑制噪聲之外，還能提供用于恢復(fù)過(guò)程的強(qiáng)度模板。實(shí)驗(yàn)給出了具有不同正則化參數(shù)的強(qiáng)度約束之間的比較。結(jié)果表明，該恢復(fù)方案在強(qiáng)度保持方面具有較好的實(shí)用性和魯棒性。

1 強(qiáng)度保持的圖像恢復(fù)方案

1.1 強(qiáng)度保持模型

表示像素成像問(wèn)題的圖像恢復(fù)代數(shù)模型如下:

其中f為原始的未失真圖像，g為失真圖像，失真算子A是已知的或者是易于識(shí)別的，該算子包含了形變、二次采樣和模糊效果。n為噪聲。

因?yàn)槭?1)中所表示的逆問(wèn)題是病態(tài)的，求解方法必須進(jìn)行正則化，以獲得具有實(shí)際意義的解。為此，恢復(fù)的圖像應(yīng)該滿足下列條件:自適應(yīng)性和確定性約束，以實(shí)現(xiàn)抑止噪聲和減小振鈴的效果［1，2］。自適應(yīng)性約束為:

其中S是一個(gè)對(duì)角加權(quán)矩陣，它根據(jù)局部特性控制復(fù)原過(guò)程。另一個(gè)自適應(yīng)性約束為:

此外，我們針對(duì)熒光造影圖像增加了一個(gè)新的約束，即強(qiáng)度約束。如前所述，由于大部分熒光造影圖像灰度低，并易受到噪聲干擾，因此較暗的幀不能作為可靠的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，它們的信息從而變得相對(duì)次要。反之，較亮的幀應(yīng)成為分析的主要對(duì)象。因此，恢復(fù)之后的結(jié)果圖像應(yīng)能保持醫(yī)生感興趣的高強(qiáng)度像素，并應(yīng)減少或消除在同一空間位置上低強(qiáng)度像素對(duì)高強(qiáng)度像素的影響。因此，考慮到上述理由，下列關(guān)于熒光強(qiáng)度的正則化約束便是一種更為直觀合理的選擇。

除式(2)～(4)之外，恢復(fù)圖像還應(yīng)滿足約束C，它代表關(guān)于原始圖像f的某種確定的先驗(yàn)信息。P表示投影到由C所描述的封閉凸集上的運(yùn)算。

為計(jì)算滿足上述條件的解，根據(jù)確定性約束C計(jì)算下面的最小化問(wèn)題，其中約束C不包括式(4)中的約束:

其中正則化參數(shù)γ=(δ/E)2為固定值。參數(shù)γ和α用于調(diào)整光滑性、數(shù)據(jù)忠實(shí)度和強(qiáng)度保持三者的關(guān)系。γ能夠控制并調(diào)整強(qiáng)度約束與相似性約束之間的強(qiáng)度對(duì)比。當(dāng)γ=0時(shí)，結(jié)果圖像簡(jiǎn)化為沒(méi)有強(qiáng)度約束的Miller正則化公式的直接恢復(fù)。

1.2 改進(jìn)的雙向?yàn)V波器

為了實(shí)現(xiàn)恢復(fù)圖像的強(qiáng)度保持，我們將傳統(tǒng)的雙向?yàn)V波器擴(kuò)展到空間強(qiáng)度卷積上，得到更具一般性的雙向?yàn)V波器。這一擴(kuò)展的雙向?yàn)V波器將作為強(qiáng)度保持濾波器用于造影圖像的圖像恢復(fù)中。傳統(tǒng)的雙向?yàn)V波器在鄰域內(nèi)執(zhí)行加權(quán)平均。為了能夠使用除Gaussian濾波器之外的其它卷積核，我們進(jìn)行了如下改進(jìn):1)用關(guān)鍵像素的灰度級(jí)代替中心像素;2)為支撐域和強(qiáng)度范圍濾波提供其它可能的卷積核。在改進(jìn)的雙向?yàn)V波器中，空間和光度差權(quán)值變?yōu)?

其中xI是關(guān)鍵像素的坐標(biāo)，對(duì)關(guān)鍵像素的指定可以反映出濾波器濾波之后希望保留的信號(hào); w(x，σ)為非負(fù)函數(shù)，它在|x|≤σ區(qū)域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減，而在|x|＞σ區(qū)域內(nèi)為非遞增函數(shù)。

通過(guò)允許定義關(guān)鍵像素g(xI)，雙向?yàn)V波器具有了控制輸出的能力。當(dāng)系數(shù)為wr的濾波器為脈沖濾波器時(shí)，其結(jié)果是預(yù)定義的關(guān)鍵像素g(xI)。選擇關(guān)鍵像素的過(guò)程被認(rèn)為是一個(gè)預(yù)濾波過(guò)程。當(dāng)根據(jù)特定的需求設(shè)計(jì)所希望的g(xI)時(shí)，可以利用這一屬性達(dá)到控制輸出的目的。如果改變了關(guān)鍵像素，實(shí)際上也改變了權(quán)值分布的中心。因此，關(guān)鍵像素的使用使雙向?yàn)V波器能夠更靈活地產(chǎn)生一個(gè)受控輸出。在熒光造影圖像序列中，為了達(dá)到抑制噪聲和防止高強(qiáng)度像素退化這兩個(gè)目標(biāo)，可以使用集函數(shù)中的求最大值函數(shù)定義關(guān)鍵像素:

其中max{·}為求最大值運(yùn)算。通過(guò)定義可以看到，濾波后會(huì)有更多的高強(qiáng)度值被保留。經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)牟逯担瑥墓浪闶噶靠色@得強(qiáng)度模板，這一模板將被用于式(5)中。

改進(jìn)的雙向?yàn)V波器為自適應(yīng)調(diào)整提供了一些可能性。下列因素加強(qiáng)了這一濾波器的靈活性和通用性:①參數(shù)σd和σr控制權(quán)值的分布和運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償?shù)哪芰?②關(guān)鍵像素確定了權(quán)值分布的中心，并定義了所期望的輸出值;③三維支撐域Ω用于限制處理窗口的大小。雙向?yàn)V波器的靈活性和通用性與我們對(duì)濾波器的擴(kuò)展和改進(jìn)密切相關(guān)。由上面的特征可以看出，改進(jìn)的雙向?yàn)V波器既可以成為距離加權(quán)濾波器，也可以成為光度差加權(quán)濾波器(由參數(shù)σd和σr控制);既可以成為線性濾波器，也可以成為非線性濾波器(由關(guān)鍵像素的選擇確定);既可以成為空間濾波器，也可以成為時(shí)間濾波器(由三維支撐域Ω在每一維上的窗口大小確定)。

2 算法實(shí)現(xiàn)

下面將使用Q階收斂算法的迭代求解方法計(jì)算等式(5)中的最小化問(wèn)題。

Singh等［3］首先提出了具有二次收斂率的迭代復(fù)原技術(shù)，Castleman［4］對(duì)該方法進(jìn)行了進(jìn)一步的擴(kuò)展，使它成為一個(gè)具有Q階收斂率(Q=2，3)的正則化迭代圖像復(fù)原算法。考慮式(5)中的函數(shù)Φ)最小化問(wèn)題。該問(wèn)題的解可表示為

經(jīng)整理，可將其寫(xiě)為

其中β≠0，算子B0被定義為

如果矩陣I－B0的逆不存在，或者求逆過(guò)程的計(jì)算極為耗時(shí)，可以通過(guò)包含Q0項(xiàng)(Q0≥2)的Taylor展開(kāi)式逼近式(10)中的

再利用下式進(jìn)行逼近:

通過(guò)聯(lián)合式(10)和式(12)消去β(ATSg+ γU)項(xiàng)，得到

通過(guò)定義B1=得到

式(5)與式(10)具有相同的形式。因此無(wú)限地重復(fù)上述過(guò)程便得到Q階收斂算法。

3 實(shí)驗(yàn)和結(jié)果

使用真實(shí)圖像對(duì)使用Q階收斂算法的圖像恢復(fù)方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以測(cè)試圖像恢復(fù)與強(qiáng)度保持的效果作比較，式(5)的最小化方法在不同正則化參數(shù)γ的條件下恢復(fù)了圖像。二維Laplacian濾波器［5］作為高通濾波器L，光滑約束的正則化參數(shù)α設(shè)為0.01。參數(shù)β=1.9，Q=4，S、V、U取單位矩陣。

使用的采樣數(shù)據(jù)以視頻血管造影圖像為數(shù)據(jù)源。從掃描激光檢眼鏡(SLO)獲取的視頻血管造影圖像被同步地?cái)?shù)字化，并用NTSC視頻標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行的視頻捕捉卡以30幀/s的速度被無(wú)壓縮地存儲(chǔ)。圖1(a)和(d)分別顯示了兩個(gè)造影序列中的原始圖像片段(128×128像素分辨率)。恢復(fù)結(jié)果如圖1所示。圖1(b)和(c)分別顯示了γ =0和γ=1時(shí)，第一組造影序列恢復(fù)的結(jié)果;圖1 (e)和(f)分別是γ=0和γ=1時(shí)，第二組造影序列恢復(fù)的結(jié)果。

圖1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.1 The experimental results

由圖1(b)和(e)可以看出，當(dāng)用于恢復(fù)所需的幀數(shù)增加時(shí)，使用Miller正則化方法(即γ=0)進(jìn)行恢復(fù)的結(jié)果中，圖像強(qiáng)度發(fā)生相當(dāng)大程度的退化。引起這一現(xiàn)象的原因主要是由于沿時(shí)間軸的圖像強(qiáng)度不是恒定的，即非時(shí)間均勻的。在大部分時(shí)間內(nèi)，熒光強(qiáng)度很暗。在恢復(fù)過(guò)程中，隨著幀數(shù)的增加，強(qiáng)度不可避免地被更多“暗”幀影響，如果使用過(guò)多的幀，甚至?xí)霈F(xiàn)明顯的退化。相反，視覺(jué)觀察表明，帶有強(qiáng)度約束的恢復(fù)在高強(qiáng)度保持方面明顯優(yōu)于直接的恢復(fù)方法。此外，我們?cè)谠肼曇种狗矫媾c直接的恢復(fù)方法進(jìn)行了比較，并產(chǎn)生了滿意的結(jié)果。

在不同的恢復(fù)圖像中，定量地測(cè)量了PSNR和MGLR，其結(jié)果如表 1所示。當(dāng) α增加時(shí)，MGLR增加，而PSNR減小。這意味著保持強(qiáng)度免受退化影響的能力在增加，而抑制噪聲的能力卻在減弱。增強(qiáng)圖像越接近所期望的強(qiáng)度模板，控制相似性約束和光滑性約束的能力越弱。因?yàn)閷⒄齽t化參數(shù)α設(shè)為固定值(α=0.01)，所以，α的控制能力不予討論。當(dāng)γ接近于零時(shí)，情形正好相反。從表1可以看出，該方法在圖像恢復(fù)方面具有與直接恢復(fù)方法一樣滿意的效果，而在強(qiáng)度保持方面顯示出良好的適用性和魯棒性。

表1 恢復(fù)圖像在不同正則化參數(shù)γ下的PSNR和MGLR的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 1 The experimental results of PSNR and MGLR for the restored image with different regularization parameterγ

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)圖像恢復(fù)問(wèn)題中強(qiáng)度保持技術(shù)進(jìn)行了研究。該方案是圖像恢復(fù)思想在熒光造影圖像這一醫(yī)療成像領(lǐng)域中的應(yīng)用，它擴(kuò)展了圖像恢復(fù)的應(yīng)用范圍;另一方面，我們所提出的強(qiáng)度約束是一個(gè)新穎的可用于強(qiáng)度保持的正則化約束，它豐富了正則化約束的內(nèi)容。另外，強(qiáng)度保持的思想可進(jìn)一步應(yīng)用到光照明顯變化的圖像恢復(fù)中。而我們提出的模型為這一思想的實(shí)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)表明，我們提出的方案在高強(qiáng)度保持和圖像恢復(fù)兩方面都獲得了較好的結(jié)果。

［1］Biemond J，Lagendijk R L.Regularized iterative image restoration in a weighted hilbert space［C］// ICASSP'86.1986:1485－1488.

［2］Lagendijk R L，Biemond J，Boekee D E.Regularized iterative image restoration with ringing reduction［J］. IEEE Transactions on Acoustics，Speech and Signal Processing，1987，36(12):1874－1888.

［3］Singh S，Tandon SN，Gupta H M.An iterative restoration technique［J］.Signal Processing，1986，11(1):1－11.

［4］Castleman K R.Digital Image Processing［M］.Upper Saddle River，New Jersey:Prentice Hall International，Inc，1998:64－65.

［5］Miller K.Least－squares method for ill－posed problems with a prescribed bound［C］//SIAM J Math Anal. 1970:52－74.