探究用方差描述數(shù)據(jù)的離散程度

你認為哪個班級的學生考得好些？

探究一：求甲、乙兩班的平均分.

甲=80，乙=80，甲=乙.

探究二：求甲、乙兩班的極差.

甲班的最高分是100分，最低分是60分.甲班的極差是=100-60=40.

乙班的最高分是100分，最低分是60分.乙班的極差是=100-60=40.

歸納：從探究一和探究二可以看出，兩班的平均分與極差都相同，無法判別兩班成績的高低.

探究三：將甲、乙兩班的成績填入下表.

從表中可以看出，甲班的數(shù)據(jù)比較集中在平均數(shù)附近波動，乙班的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏差比較大.

怎樣用一個量來描述這兩組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小呢？

探究四：在下表中填寫各數(shù)與平均數(shù)的差（x′表示與平均數(shù)的差）.

從上面的探究六和探究七可以看出，把這些差的絕對值相加或將這些差的平方相加可以區(qū)分和比較這兩組數(shù)據(jù).

從上面的探究過程可以理解下列問題：

1. 為什么不可以用各個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢？

答：因為正負偏差會相互抵消，所以它們的和不能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的波動情況.

2. 為了防止正、負偏差的相互抵消，為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而將其平方呢？

答：這是因為含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的“能力”上，方差、標準差更強些.

3. 方差使用的前提是什么？

答：方差的作用是用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小的，值得注意的是，在實際情境中，只有在數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較接近時，才能用這種方法，否則一般是不能用方差比較數(shù)據(jù)的波動大小的.

4. 方差是越小越好嗎？

答：一般而言，一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定，因此有同學認為在實際生產(chǎn)生活中方差越小越好，這種觀點是片面的. 現(xiàn)舉例說明.

根據(jù)測試得到的有關數(shù)據(jù)，試解答下列問題：

（1） 考慮平均數(shù)與完全符合要求的個數(shù)，你認為_______的成績好些；

（2） 計算出S2 B的大小，考慮平均數(shù)與方差，說明誰的成績好些；

（3） 考慮圖中折線走勢及競賽中加工零件個數(shù)遠遠超過10個的實際情況，你認為派誰去參賽較合適？說明你的理由.

（1） 從表中可以看出兩人平均數(shù)相同，但B完全符合要求的個數(shù)多，故B的成績好.

（3） 從圖中折線走勢可知，盡管A的成績前面起伏較大，但后來逐漸穩(wěn)定，誤差小，而B則相反，所以預測A的潛力大，可選派去參賽.

【評析】從本例可以看出，在實際生活中考查一個研究對象時，并不是僅考慮波動大小，而應從多角度綜合考慮.