盤點“數據的離散程度”中的數學思想

數學思想是數學的靈魂、精髓. 學習數學不僅僅要掌握數學知識，同時還要掌握數學知識中所隱含的思想方法. 本文試對蘇科版九年級上冊第2章“數據的離散程度”中蘊含的數學思想加以分析，以期對提高同學們的數學素養有所幫助.

一、 分類討論思想

分類討論思想是對事物分情況加以討論的數學思想. 一組數據中最大值與最小值的差，稱為這組數據的極差. 反過來，如果知道一組數據的極差，那么就需要對這組數據的大小情況進行討論.

例1 一組數據2、-1、4、3、x、5的極差為8，則x的值為_______.

【解析】由于這組數據中，沒有明確給出哪個數據是最大值、哪個數據是最小值，因此，需要對未知數x分情況加以討論. 當x為最大值時，則x-（-1）=8，解得x=7；當x為最小值時，則5-x=-3，解得x=-3. 即本題正確應該填：-3或7.

【啟迪】在一組數據中，所求的數據大小不確定性時，我們通常需要對這個數據分情況討論解答.

二、 用樣本估計總體的數學思想

用樣本估計總體是統計中的一個基本思想，根據統計的結果作出合理的判斷和預測. 本章能夠較好地滲透應用樣本的平均數、方差估計總體的平均數、方差. 如：課本中多次列舉的質檢部門對甲、乙兩廠生產的乒乓球直徑問題，都是從總體中分別抽取10只進行測量、檢測，從而確定兩廠生產的乒乓球的直徑與標準的誤差更小.

例2 （2013·茂名）小李和小林練習射箭，射完10箭后兩人的成績如圖所示，通常新手的成績不太穩定. 根據圖中的信息，估計這兩人中的新手是________.

【解析】根據平時射箭練習過程的統計，應用樣本的數據結論估計總體的數據結論是新手射擊的成績不太穩定. 從小李和小林練習射箭射完10箭后兩人成績的統計圖來看，小李的成績沒有小林穩定，這樣我們可以應用樣本的整體趨勢來估計總體的整體趨勢，從而估計這兩人中的新手是小李. 即本題正確應該填：小李.

例3 七年級一班和二班各推選10名同學進行投籃比賽，按照比賽規則，每人各投了10個球，兩個班選手的進球數統計如下表，請根據表中數據回答問題.

（1） 分別求一班和二班選手進球數的平均數、眾數、中位數；

（2） 如果要從這兩個班中選出一個班代表級部參加學校的投籃比賽，爭取奪得總進球數團體第一名，你認為應該選擇哪個班？如果要爭取個人進球數進入學校前三名，你認為應該選擇哪個班？

【解析】（1） 根據平均數、眾數、中位數的意義進行計算，即可得出結果，即一班選手進球數的平均數、眾數、中位數分別為：7，7，7. 二班選手進球數的平均數、眾數、中位數分別為：7，7，7；（2） 爭取奪得總進球數團體第一名，可考慮運用方差大小進行選擇，要爭取個人進球數進入學校前三名應該看各班前三名的平均數. 可以分別求得一班的方差為2.6、二班的方差為1.4. 所以，二班選手水平發揮更穩定，爭取奪得總進球數團體第一名，應該選擇二班；一班前三名選手的成績突出，分別進10個、9個、8個球，如果要爭取個人進球數進入學校前三名，應該選擇一班.

【啟迪】從上述兩例可知：當所考查對象的較多時，我們往往從總體中抽取部分樣本進行考查，從中獲取樣本的離散程度，進而估計總體的離散程度，再對總體作出推斷、評論和預測. 用樣本來估計總體的思想是可靠的、科學的，在節約人力、物力、財力的同時，也提高了工作效率. 但要注意，抽樣調查選取的樣本是否合適：一要保證抽取的樣本有代表性；二是抽取的樣本容量要盡量大些，這樣的估計才比較準確，偏差也比較小.