會議籌備問題的建模研究

摘要：根據(jù)灰色GM（1，1）及最小二乘擬合這兩種方法，對第五屆發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)及未發(fā)回執(zhí)但與會的代表數(shù)進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)而利用包絡(luò)灰預(yù)測方法求得實際與會人數(shù)的預(yù)測區(qū)間為（596～725）。

關(guān)鍵詞：灰色GM（1，1）；最小二乘法；包絡(luò)灰預(yù)測

中圖分類號：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）16-0186-02

一、引入

灰色理論概述灰色系統(tǒng)理論是通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，我們稱為灰色序列生成。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰蛩屠盟Ｒ磺谢疑蛄卸寄芡ㄟ^某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。

二、問題背景

某市的一家會議服務(wù)公司負(fù)責(zé)承辦某專業(yè)領(lǐng)域的一屆全國性會議，會議籌備組要為與會代表預(yù)訂賓館客房，租借會議室，并租用客車接送代表。由于預(yù)計會議規(guī)模龐大，而適于接待這次會議的幾家賓館的客房和會議室數(shù)量均有限，所以只能讓與會代表分散到若干家賓館住宿。為了便于管理，除了盡量滿足代表在價位等方面的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少，并且在距離上比較靠近。從以往幾屆會議情況來看，有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會，同時也有一些與會的代表事先不提交回執(zhí)，相關(guān)數(shù)據(jù)見下表。

以上是會議籌備的問題的主要的內(nèi)容，研究起來方法、內(nèi)容都非常多，但無論采取什么方法，有一個問題必須首先解決，這就是與會人數(shù)的預(yù)測。本文只對與會人數(shù)做出灰色預(yù)測。

三、模型建立與求解

根據(jù)往屆參加會議的情況，采用灰色預(yù)測GM（1，1）模型，預(yù)測本屆的實際與會人數(shù)。

采用灰色預(yù)測GM（1，1）模型，首先是數(shù)據(jù)的檢驗：x（0）的級比λ（k）=■（k=2、3、4……）

可容覆蓋范圍為y=e■，e■ （n=4）

經(jīng)檢驗可得：發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量不符合建立基本的GM（1，1）條件，故采用GM（1，1）包絡(luò)灰平面解決[1]。發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表人數(shù)，具體步驟如下。

1.建立GM（1，1）模型并求解。按GM模型建模機理，建GM（1，1）包絡(luò)灰平面和主模型[2]。

曲線上，下緣點生成數(shù)建立模型為x（0）上（k）=（89，105，121，137）；x（0）下（k）=（66，115，164，213）經(jīng)檢驗此兩組數(shù)據(jù)可根據(jù)GM（1，1）模型求解。經(jīng)過一次累加得x（1）（k）=（89，194，315，452），求得均值為z（1）（k）=（141.5，254.5，383.5）。

根據(jù)灰微分方程x（0）（k）+az（1）（k）=b？圯-az（1）（k）+b=x（0）（k）

令數(shù)據(jù)向量Y=（105；121；137），系數(shù)矩陣B=[-141.5，1；-254.5，1；-383.5，1]，參數(shù)向量U=[a；b]；由此可得Y=BU。

由最小二乘法得到的■=（BTB）BTY，再由MATLAB軟件可得出：

■=（■ ■）=（-0.1320 86.6919）

根據(jù)白微分方程■+ax（1）（t）=U得：

■（1）（k+1）=（x（0）（1）-■）e-ak+■ （k=0 1 2 3 4）

由此得出：

■（1）（1）=89；■（1）（2）=149.2325；■（1）（3）=314.3142；■（1）（4）=451.3404；■（1）（5）=607.7021

經(jīng)過一次累減■（0）（k）=■（1）（k）-■（1）（k-1） （k=2、3、4）

■（1）（1）=89；■（1）（2）=105.2305；■（1）（3）=120.0871；■（1）（4）=137.0262；■（1）（5）=156.3617

同理，解得曲線下緣點生成數(shù)建立的模型的解為：

■（0）（1）=66；■（0）（2）=117.264；■（0）（3）=157.7531；■（0）（4）=212.221；■（0）（5）=285.4969

既已求得預(yù)測區(qū)間為（156，285）；

由包絡(luò)中軸組成的數(shù)列x■■=■（x■■+x■■）得：x■■=（77.5，110，142.5，175）

根據(jù)上述求解預(yù)測值的步驟可得：x■■（5）=219.4055

2.檢驗預(yù)測值。由殘差ε（k）=■檢驗可得：當(dāng)k=1、2、3、4時，ε（k）均<0.1，既達(dá)到較高的要求，通過檢驗；另外，包絡(luò)中軸預(yù)測結(jié)果156.3617<219.4055<285.4969，與均值220.9293極其接近，與灰平面中線關(guān)聯(lián)度最大。未發(fā)回執(zhí)而與會的代表人數(shù)符合灰色預(yù)測的條件，故直接采用GM（1，1）模型求解得■（0）（5）=126，經(jīng)檢驗精確度相對較高。

3.結(jié)果分析。本題應(yīng)按照預(yù)測區(qū)間（156～285）進(jìn)行求解。

四、結(jié)論

根據(jù)發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量-發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量+未發(fā)回執(zhí)而與會的代表人數(shù)=實際與會需要預(yù)定房間的人數(shù)，既可得出第五屆會議的實際與會代表人數(shù)范圍（596～725）。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧秦龍.農(nóng)業(yè)系統(tǒng)會測理論方法[M].濟(jì)南：山東科技出版社，1988.

[2]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2005.

作者簡介：宋益榮（1971-）山東東平人，講師，主要從事非線性泛函分析及應(yīng)用研究。