一種多通道采樣系統(tǒng)增益誤差估計(jì)方法

摘 要： 多通道采樣系統(tǒng)可以有效解決單片模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC轉(zhuǎn)換速率與量化精度的矛盾，從而能夠在提高采樣率的同時(shí)保證采樣高精度。但是多通道間的失配誤差將嚴(yán)重降低系統(tǒng)性能，早期的研究主要集中于時(shí)間誤差（靜態(tài)抖動(dòng)）的估計(jì)，增益失配是由于制造過(guò)程中各數(shù)模轉(zhuǎn)換器的工藝流程不同引起的。與時(shí)基誤差類(lèi)似，增益失配同樣將導(dǎo)致采樣信號(hào)的非線性失真。提出了一種利用接收數(shù)據(jù)矢量的二階統(tǒng)計(jì)特性來(lái)估計(jì)增益失配誤差的方法，該方法計(jì)算量小，易于實(shí)現(xiàn)。仿真數(shù)據(jù)的處理結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵字： 模數(shù)轉(zhuǎn)換器； 多通道采樣； 增益失配； 協(xié)方差矩陣

中圖分類(lèi)號(hào)： TN957.51?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2013）15?0065?04

Estimate method of gain error in multichannel sampling system

FAN Tao1， MA Lun2， XU De?zheng1

（1. Xi’an Huanghe Electromechanical Limited Company， Xi’an 710043， China； 2. School of Information Engineering， Chang’an University， Xi’an 710064， China）

Abstract： The multichannel sampling system can solve the contradiction between the conversion rate and quantitative precision of analog?to?digital converter （ADC）， thereby the high sampling precision can be ensured while the sampling rate is raised. However， the mismatch error among channels will seriously degrade the performance of system. The early research mainly focused on the time error （static jitter） estimation. The gain mismatch is caused by the different technological process of each DA convertor during the manufacturing process. Similar to the time base error， the gain mismatch can also lead to non?linear distortion of sampled signal. A method is proposed to estimate the gain mismatch error by using the second order statistical property of received data vector. The method needs less calculations and is easy to realize. The processing result of the simulation data proved the effectiveness of the method.

Keywords： analog?to?digital converter； multichannel sampling； gain mismatch； covariance matrix

0 引 言

隨著現(xiàn)代通信、雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)帶寬需求的增加，最好對(duì)帶寬信號(hào)直接進(jìn)行高精度和高速率的數(shù)字化后再進(jìn)行處理。設(shè)計(jì)采樣系統(tǒng)，尤其是高速度采樣系統(tǒng)的基本限制是ADC的采樣速率每增加一倍，量化精度就要近似下降一位，從而導(dǎo)致動(dòng)態(tài)范圍下降約6 dB。隨著采樣速率的提高，采樣時(shí)鐘的穩(wěn)定性也將隨之下降，這將加劇孔徑抖動(dòng)從而使信噪比降低，成本也會(huì)急劇增加[1?2]。

多通道采樣技術(shù)，即前端利用多片ADC并行逐次采樣，后端串行多路復(fù)用，可以有效解決采樣速率與信號(hào)帶寬以及采樣速率與采樣精度之間的矛盾。在一個(gè)多通道采樣系統(tǒng)中，系統(tǒng)內(nèi)各ADC采用相同的時(shí)鐘頻率但具有不同的時(shí)延。輸出經(jīng)過(guò)時(shí)間復(fù)用形成一個(gè)采樣信號(hào)，其速度是單個(gè)ADC的輸出的[M]倍。根據(jù)以上所述，可以通過(guò)使用多通道采樣系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)高采樣率、高量化精度和低成本。然而交替結(jié)構(gòu)可能導(dǎo)致失配誤差，這是由制造過(guò)程中所有數(shù)模轉(zhuǎn)換器不相同引起的。首先，不同的ADC時(shí)鐘之間的延遲時(shí)間不相等，被稱(chēng)為時(shí)間誤差（靜態(tài)抖動(dòng)）。這意味著，該信號(hào)將被周期性地但非均勻采樣。其次，不同的ADC之間存在著不同的地電平，被稱(chēng)為偏置誤差。這意味著，在每個(gè)ADC中存在恒定的偏置。第三，從模擬輸入到數(shù)字輸出，不同ADC的增益也不相同，這被稱(chēng)為增益誤差。以上三種誤差源引起的非線性失真，會(huì)顯著降低系統(tǒng)的性能。

針對(duì)以上問(wèn)題，大量文獻(xiàn)提出了不同的解決方法，如文獻(xiàn)[3?4]。一種盲時(shí)錯(cuò)誤估計(jì)方法在文獻(xiàn)[5]中提出，在文獻(xiàn)[6]中得到了驗(yàn)證。這種方法效果很好，但在時(shí)間誤差的估計(jì)中出現(xiàn)了一個(gè)偏置誤差。文獻(xiàn)[7]提出了一種盲偏振誤差估計(jì)方法。另一種時(shí)間誤差的估計(jì)方法是利用輸出信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)特性[8?9]，此方法要求輸入信號(hào)是帶寬有限的。

根據(jù)上述的引用文獻(xiàn)，可以注意到，早期的研究主要集中于時(shí)間誤差估計(jì)。然而，增益誤差同時(shí)間誤差一樣，也會(huì)導(dǎo)致采樣信號(hào)的失真。例如，當(dāng)輸入一個(gè)正弦信號(hào)時(shí)，失配誤差以諧波失真的形式出現(xiàn)在輸出頻譜中[3]。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率為[f0]時(shí)，在頻率為[iMfs±f0，][ i=1，2，…，M-1]處會(huì)出現(xiàn)增益誤差和時(shí)間誤差，其中[f0]為采樣頻率，[M]為信道數(shù)。因此，必須消除增益誤差的影響。

由于在多通道采樣系統(tǒng)中，對(duì)于每個(gè)ADC沒(méi)有足夠的采樣率會(huì)導(dǎo)致在信號(hào)樣本中引入一些不良影響，如：輸出頻譜的混疊現(xiàn)象。本文將提出一種在多通道采樣系統(tǒng)中估計(jì)增益誤差的方法。該方法利用頻域中多通道采樣數(shù)組協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了增益失配誤差估計(jì)。這種方法利用頻域中多通道采樣數(shù)組協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了增益失配錯(cuò)誤估計(jì)，在低信噪比的情況下能獲得更好的性能。

1 信號(hào)模型

如上所述，一個(gè)多通道采樣系統(tǒng)中，前端采用[M]片ADC對(duì)寬帶信號(hào)進(jìn)行逐次交替采樣，后端利用串行多路復(fù)用使整個(gè)系統(tǒng)等效采樣速率達(dá)到單個(gè)ADC的[M]倍。理論上相鄰?fù)ǖ啦蓸訒r(shí)間間隔[τ=1Mfs，][fs]為系統(tǒng)中ADC的采樣頻率，[M]為ADC的個(gè)數(shù)。在上述系統(tǒng)中存在誤差的情況下，第[m]通道（[m=1，2，…，M]）的實(shí)際采樣輸出序列可寫(xiě)為[3]：

[sm（n）=gm?s（nTs-mτ-Δτm）+om+em] （1）

式中：[Ts=1fs]為采樣間隔；[n]表示采樣序列號(hào)；[Δτm]表示時(shí)間誤差；[gm]表示增益誤差；[om]表示偏置誤差；[em]表示加性白噪聲。由于偏置誤差在系統(tǒng)中相當(dāng)于加性噪聲，其直流分量可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)平均方法去除[10]，剩余交流分量可與噪聲項(xiàng)合并，如方程（1）所示。由于在增益誤差估計(jì)中認(rèn)為信號(hào)均勻采樣，假定通過(guò)使用文獻(xiàn)[8?9]提出的方法可使時(shí)間誤差得到很好的補(bǔ)償。因此，實(shí)際采樣輸出序列可以改寫(xiě)為：

[sm（n）=gm?s（nTs-mτ）+em] （2）

由于采用低速率ADC對(duì)寬帶信號(hào)采樣，單個(gè)通道采樣信號(hào)將發(fā)生頻譜混疊。將各通道采樣后的混疊數(shù)據(jù)變換至頻域可得：

[Sm（f）=gm?i=-IISi（f）e-j2π（f+ifs）mτ+Nm（f）] （3）

式中：[Sm（f）]為[sm（n）]的傅里葉變換；[Nm（f）]為合并后噪聲項(xiàng)的傅里葉變換。頻率[f]的取值范圍為[-fs2，][fs2。][2I]為混疊次數(shù)[（2I+1=Bfs，][B]為模擬輸入信號(hào)的帶寬），[Si（f）=S（f+ifs）]（[i=-I，…，0，…，I]），[S（f）]為模擬輸入信號(hào)[s（t）]的傅里葉變換。指數(shù)項(xiàng)[e-j2πf+ifsmτ+Δτm]為時(shí)延[τ]引起的線性相位項(xiàng)。在提出的方法中，線性相位項(xiàng)用于估計(jì)失配誤差和解決混疊問(wèn)題。

將所有通道數(shù)據(jù)寫(xiě)為矢量形式，可以得到：

[S（f）=G?P（f）?S（f）+N（f）] （4）

其中：

[S（f）=[S1（f），S2（f），…，SM（f）]T] （5）

[P（f）=[p-I（f），…，p0（f），…，pI（f）]] （6）

[S（f）=[S-I（f），…S0（f），…SI（f）]T] （7）

[pi（f）=1，e-j2πf+ifsτ，…，e-j2πf+ifsM-1τT] （8）

式中：[（·）T]表示矢量轉(zhuǎn)置操作；[G]為[M×M]對(duì)角陣，其對(duì)角可表示為：

[[G]mm=gm] （9）

可以看出，第[i]個(gè)混疊分量[Si（f）（i=-I，…，0，…，I）]對(duì)應(yīng)惟一的線性相位矢量[pi（f）]，將[pi（f）]和[P（f）]分別稱(chēng)為多通道采樣陣列導(dǎo)向矢量（TIASV）、多通道采樣陣列導(dǎo)向矩陣（TIASM），本文的目標(biāo)就是對(duì)[G]進(jìn)行精確估計(jì)。

2 增益誤差估計(jì)

本節(jié)將提出一種基于子空間投影和接收數(shù)據(jù)二階統(tǒng)計(jì)特性的增益失配估計(jì)方法。首先，假定加性噪聲方差[σ2n]與頻譜混疊無(wú)關(guān)，對(duì)于任意頻率點(diǎn)的多通道輸出矢量的協(xié)方差矩陣可以寫(xiě)為：

[R（f）=E{S（f）S（f）H}=GP（f）RS（f）P（f）HG+σ2nI] （10）

式中：[R（f）]是輸出頻譜陣列對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣，協(xié)方差矩陣（10）通常由樣本方差矩陣來(lái)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)公式可寫(xiě)為：

[R（f）=1Kk=1KSk（f）SHk（f）] （11）

其中[Sk（f）]為頻率[f]的第[k]個(gè)觀測(cè)向量。根據(jù)RMB規(guī)則[11]，當(dāng)協(xié)方差矩陣為[M×M]維，采樣數(shù)[K≥2M-1]時(shí)才可以使估計(jì)損失在3 dB以?xún)?nèi)，文獻(xiàn)[11]提供了獲得足夠樣本的方法。

下面，將介紹一種基于子空間投影技術(shù)的估計(jì)增益誤差的方法。 由式（4），[S（f）]為多通道采樣系統(tǒng)頻域?qū)蚴噶康木€性組合，[S（f）]為線性組合的系數(shù)，由此可以看出，[S（f）]位于頻域?qū)蚴噶烤仃嚨闹涤蚩臻g內(nèi)。由公式（10）可以看出，根據(jù)基本假設(shè)，在系統(tǒng)中混疊分量數(shù)[2I+1]大于數(shù)模轉(zhuǎn)換器的個(gè)數(shù)[M]，且所有混疊分量與噪聲都是不相關(guān)的，因此，[GP（f）RS（f）P（f）HG]是奇異的，且有一個(gè)小于[M]的秩。由此可得：

[GP（f）RS（f）P（f）HG=R（f）-σ2nI=0] （12）

上式當(dāng)且僅當(dāng)[σ2n]至少與[R（f）]的一個(gè)特征值相等時(shí)成立。[GP（f）RS（f）P（f）HG]的秩為[2I，]可由[R（f）]的特征值確定。在[R（f）]的所有特征值中，有 [M-2I-1]個(gè)大小為[σ2n]的小特征值。這是由于[GP（f）RS（f）P（f）HG]的小特征值為零，而[R（f）]的特征值與[R（f）-σ2nI=][GP（f）RS（f）P（f）HG]的特征值僅相差[σ2n]。

根據(jù)以上的描述，假設(shè)有協(xié)方差矩陣的特征值分解：

[R（f）=m=1MλmUmUHm=UΣUH=USΣSUHS+σ2nI] （13）

其中：

[U=[U1，U2，…，UM]，US=[U1，U2，…，U2I+1]] （14）

[Σ=diag（λ1，λ2，…，λM）且ΣS=diag（λS1，λS2，…，λS2I+1）] （15）

而且：

[λ1=λS1+σ2n>λ2=λS2+σ2n>…>λ2I+1=λS2I+1+σ2n>λ2I+2=…=λM=σ2n] （16）

式中：[λm]為[R（f）]的特征值；[Um]為其正交特征向量。[λSi][i=1，2，…，2I+1] 為[GP（f）RS（f）P（f）HG]的特征值。[R（f）]的[M]個(gè)特征向量必須滿(mǎn)足[R（f）Um=λmUm。]由[R（f）=][GP（f）RS（f）P（f）HG+σ2nI]可知[GP（f）RS（f）P（f）HGUm=][（λm-σ2n）Um。]顯而易見(jiàn)，每一個(gè)[λm]都等于[σ2n]，[M-2I-1]必須滿(mǎn)足[GP（f）RS（f）P（f）HGUm=0]或[P（f）HGUm=0。][σ2n]對(duì)應(yīng)的特征向量與[P（f）HG]列向量張成的空間是正交的，也就是真實(shí)頻域?qū)蚴噶俊?/p>

因此可以將由[M-2I+1]個(gè)噪聲向量張成的[M-2I-1]維子空間看作是噪聲子空間，將由多通道采樣陣列導(dǎo)向矩陣張成的[2I+1]維子空間看作是信號(hào)子空間，且噪聲子空間與信號(hào)子空間不相交。此方法的目標(biāo)就是利用這兩個(gè)子空間的正交性來(lái)估計(jì)增益誤差[G。]

使用子空間投影法來(lái)估計(jì)增益誤差有三個(gè)步驟：

步驟一：對(duì)每個(gè)通道的采樣信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT）操作，將輸出[S（f）]看作是觀察向量，根據(jù)公式（10）可以得出它的協(xié)方差矩陣。公式（10）中的統(tǒng)計(jì)協(xié)方差矩陣一般由樣本方差矩陣來(lái)進(jìn)行估計(jì)。

步驟二：通過(guò)對(duì)協(xié)方差矩陣的特征值分解來(lái)估計(jì)子空間。通過(guò)對(duì)[R（f）]進(jìn)行特征值分解，得到了與[2I+1]個(gè)大特征值相關(guān)的[2I+1]個(gè)主特征向量[US]和與[M-2I-1]個(gè)小特征值相關(guān)的[M-2I-1]個(gè)特征向量[UN。][US，][UN]分別張成了信號(hào)子空間和噪聲子空間。

步驟三：估計(jì)增益誤差[G。]由于[US]與[GP（f）]張成的空間一致，多通道采樣陣列導(dǎo)向矩陣在信號(hào)子空間的投影等于該矩陣本身，由此得出：

[USUHSGpi（f）=Gpi（f）， i=-I，…0，…，I] （17）

在介紹估計(jì)增益誤差的算法之前，請(qǐng)注意：

[Gpi（f）=Div] （18）

其中[Di]為對(duì)角矩陣，由下式給出：

[Di=diag{pi（f）}] （19）

定義向量[v：]

[v=[g1，g2，…，gM]T] （20）

因此式（17）可寫(xiě)為：

[DHiUSUHSDiv=v] （21）

注意到[v]應(yīng)該是矩陣[Wi=DHiUSUHSDi]的特征向量且特征值為1。由于有[2I+1]個(gè)多通道采樣陣列導(dǎo)向矢量，因此可以得到[2I+1]個(gè)如式（21）的方程。為了提高估計(jì)精度，定義：

[W=i=-IIWi=i=-IIDHiUSUHSDi] （22）

因此，[（v，δ）]是矩陣[W]的一個(gè)特征向量對(duì)，其中[δ]是最大的特征值。由[G=diag{v}]即可獲得增益誤差的估計(jì)值。

為了研究本文方法的有效性，下面將用仿真數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行性能分析。

3 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證

在本節(jié)中，將以提出的例子來(lái)驗(yàn)證該算法的性能。脈沖線性調(diào)頻信號(hào)作為一個(gè)典型的寬帶信號(hào)，已被廣泛使用在雷達(dá)和通信系統(tǒng)。接下來(lái)將以一個(gè)復(fù)雜的線性調(diào)頻信號(hào)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象來(lái)驗(yàn)證本文所提出算法的有效性。在仿真中，模擬信號(hào)的帶寬是180 MHz的。眾所周知，至少需要180 MHz才能確保采樣信號(hào)不受混疊分量的干擾。利用多通道采樣ADC系統(tǒng)可以以高精度對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣。系統(tǒng)中共有5個(gè)模數(shù)轉(zhuǎn)換器，每個(gè)ADC的采樣率為60 MHz。低采樣率將使系統(tǒng)的每個(gè)采樣通道中引入混疊分量，根據(jù)第一節(jié)內(nèi)容和公式（3）可知本系統(tǒng)中采樣后的頻譜將混疊3次，這意味著存在著三個(gè)頻率相同的頻譜分量。為了便于觀察頻譜混疊效果，對(duì)任意通道采樣后的信號(hào)進(jìn)行匹配濾波處理。處理結(jié)果如圖1所示，三個(gè)混疊分量分別對(duì)應(yīng)三個(gè)波峰。

為了去除混疊分量，系統(tǒng)輸出被復(fù)用在一起形成一個(gè)采樣信號(hào)，其速度是單個(gè)ADC輸出的5倍。為了最大限度地提高輸出信噪比，首先要減少通道不匹配。如本文所述，在多通道采樣系統(tǒng)中應(yīng)該考慮三種失配誤差。在本文中假設(shè)時(shí)間不匹配，這樣可以很好地去除偏移誤差。將一組隨機(jī)增益誤差引入仿真數(shù)據(jù)中，圖2所示為脈沖調(diào)制多路信號(hào)，容易看出混疊分量遠(yuǎn)高于噪聲電平，同時(shí)整體噪聲電平被抬高。圖3所示為增益失配補(bǔ)償后的脈沖調(diào)制多路信號(hào)，需要指出的是混疊分量已經(jīng)被有效地去除了。

圖1 混疊頻譜的匹配濾波輸出

圖2 引入增益失配后的匹配濾波輸出

圖3 增益失配補(bǔ)償后的匹配濾波輸出

為了評(píng)估所提出方法的性能，定義時(shí)基估計(jì)均方根誤差（ARMSE）的增益估計(jì)為[1Mm=1MRMSE{gm}，]其中[gm]為[gm]的估計(jì)值。如圖4所示為本文方法與基于自適應(yīng)控制的校準(zhǔn)方法的估計(jì)精度對(duì)比，可以看出在低信噪比條件下，本文方法具有較好的穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

多通道采樣技術(shù)能夠有效提高系統(tǒng)的采樣速率。然而，由于制造過(guò)程中的差異，在多通道采樣系統(tǒng)中通常會(huì)在不同信道中引入失配問(wèn)題，例如增益誤差的失配可以大大降低系統(tǒng)的性能。在本文中，提出了一種基于數(shù)據(jù)的多通道采樣系統(tǒng)增益失配誤差方法，仿真結(jié)果表明了該方法的有效性。

圖4 增益誤差估計(jì)ARMSE

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