基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的經(jīng)典TDOA定位算法分析

摘 要： 基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源雷達(dá)系統(tǒng)具有隱蔽性好、反隱身能力及抗干擾能力強(qiáng)、系統(tǒng)簡(jiǎn)單可靠等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)受到各國(guó)的重視，得到了較快的發(fā)展。針對(duì)基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源定位系統(tǒng)中Chan氏算法和Taylor級(jí)數(shù)算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程展開分析研究，并在不同的基站配置下，與其相應(yīng)的定位精度卡拉美羅下限進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)測(cè)量誤差的均方差較小時(shí)，利用Chan氏算法和Taylor級(jí)數(shù)算法均可以逼近卡拉美羅下限。

關(guān)鍵詞： 民用移動(dòng)通信信號(hào)； TDOA定位； Chan氏算法； Taylor算法

中圖分類號(hào)： TN929.5?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2013）13?0016?05

Analysis of classic TDOA location algorithm based on civil mobile communication signals

MA Sai1， DENG Dong?hu1， CHU Yi?fan2， ZHOU Liang3， ZHU Meng1， YANG Xiang?xing1

（1. College of Information and Navigation， Air Force Engineering University， Xi’an 710077， China； 2. Unit 94865 of PLA， Hangzhou 310021， China；

3. Beijing Special Vehicle Research Institute， Beijing 100072， China）

Abstract： The passive radar based on civil communication signals has many advantages， such as good invisibility， anti?stealth ability， anti?jamming capability， simple structure and reliable performance. For this reason， it has been gained the attention of various country， and has a rapid development. The realization process of Chan algorithms and Taylor series algorithms in passive location system based on civil mobile communication signals is analyzed. Compared with the Cramer?Rao Bound in different base station configuration， it is found that when the mean square error of the measure error is small， location accuracy can approach to the Cramer?Rao Bound.

Keywords： civil mobile communication signal； TDOA location； Chan algorithm； Taylor algorithm

0 引 言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，隨著現(xiàn)代電子技術(shù)的發(fā)展，有源雷達(dá)面臨著4大威脅：電子干擾、反輻射導(dǎo)彈、超低空突防及隱身技術(shù)。因此，雷達(dá)系統(tǒng)必須具有四抗能力，才能在戰(zhàn)爭(zhēng)中生存[1]。相對(duì)的，基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源雷達(dá)由于系統(tǒng)本身不輻射電磁波的工作特性而具有隱蔽接收，不易被敵方發(fā)現(xiàn)、工作于米波頻段，對(duì)這一頻段材料隱身效果差等優(yōu)點(diǎn)[1?3]。因此，針對(duì)基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源雷達(dá)展開相關(guān)技術(shù)成為未來(lái)雷達(dá)發(fā)展的一個(gè)重要方向[1，4]。

基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源定位系統(tǒng)利用GSM基站信號(hào)或CDMA基站信號(hào)作為照射源，通過(guò)接收運(yùn)動(dòng)目標(biāo)對(duì)這些照射源的反射信號(hào)，來(lái)獲取目標(biāo)空間位置信息，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)定位。而TDOA定位則是一種重要的無(wú)源定位方法，它是通過(guò)處理接收站采集到的信號(hào)到達(dá)時(shí)間的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)輻射源的定位，適用于基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源定位系統(tǒng)。對(duì)于TDOA方法而言，由于其應(yīng)用的廣泛性，引起了眾多學(xué)者的研究[5?9]，較為經(jīng)典的如Chan提出的最小二乘算法[5]，F(xiàn)oy提出的Taylor級(jí)數(shù)法[6]。其中，Chan氏算法[5]與一些定位算法的基本原理一樣，如Friendlander所提出的去距離最小二乘法[7]，Chan和Yau提出的近似極大似然法[8]以及Stoica和Li提出的漸進(jìn)迭代最小二乘法[9]等，都是將關(guān)于距離差的非線性方程進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，再將目標(biāo)達(dá)到各基站的距離作為未知數(shù)，從而得到一個(gè)線性方程組，再對(duì)該方程組進(jìn)行求解從而得到目標(biāo)的位置，之后利用目標(biāo)到達(dá)各基站的距離作為一種約束關(guān)系，進(jìn)一步提高對(duì)目標(biāo)位置的定位精度。而Taylor級(jí)數(shù)展開算法的基本原理則是將距離差在接近真實(shí)目標(biāo)的位置處進(jìn)行一階Taylor展開，再利用已經(jīng)獲得的距離差進(jìn)行迭代求解，直到前后兩次迭代獲得的位置距離小于一個(gè)設(shè)定的門限。該算法雖然定位精度較高，在測(cè)量誤差較小時(shí)，可以接近卡拉美羅下限，但是需要一個(gè)較好的初始值來(lái)近似目標(biāo)位置，若該初始值離目標(biāo)位置較遠(yuǎn)，則直接進(jìn)行迭代有可能產(chǎn)生迭代發(fā)散或者收斂到一個(gè)錯(cuò)誤的值。

本文主要針對(duì)基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源定位系統(tǒng)中Chan氏算法和Taylor級(jí)數(shù)算法展開研究，通過(guò)對(duì)兩種算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程進(jìn)行分析，并在不同的基站配置下，利用蒙特卡羅仿真與各基站配置情況下的定位精度卡拉美羅下限進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)測(cè)量誤差的均方差較小時(shí)，利用Chan氏算法和Taylor級(jí)數(shù)算法均可以逼近于卡拉美羅下限。

1 基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源定位模型

如圖1所示為某一時(shí)刻基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的雷達(dá)目標(biāo)定位模型。系統(tǒng)通過(guò)不同移動(dòng)基站和一個(gè)系統(tǒng)接收站相互配合來(lái)完成對(duì)空中目標(biāo)的定位。當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入探測(cè)區(qū)域時(shí)，照射到目標(biāo)上的基站輻射信號(hào)會(huì)被反射，這些反射波信號(hào)的部分能量會(huì)被接收站所接收。通過(guò)利用直達(dá)波信號(hào)與目標(biāo)反射信號(hào)進(jìn)行廣義相關(guān)，即可獲得目標(biāo)回波信號(hào)的時(shí)延。

圖1 基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源定位模型

在獲得各基站目標(biāo)回波信號(hào)時(shí)延后，可利用TDOA算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位。以接收站位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)定義基站[i]坐標(biāo)位置為[Xi=xi ，yi，][i=1，2，…，N]（N為基站的個(gè)數(shù)），目標(biāo)位于[x=x，y]處。在不考慮噪聲的情況下，假設(shè)基站[i]發(fā)射信號(hào)與基站[j]發(fā)射信號(hào)的到達(dá)時(shí)差為[τ?i，j]，由于電磁波在空氣中的傳播速度恒定，因此可以得出：

[r?i，j=cτ?i，j=Ri-Rj?x-Xi-x-Xj] （1）

式中：[Ri=x-Xi]和[Rj=x-Xj]分別表示從目標(biāo)到基站[i]和基站[j]的距離，符號(hào)“[?]”表示沒有噪聲時(shí)的實(shí)際值。利用式（1）可以構(gòu)造一條雙曲線，并且在不考慮噪聲的情況下，目標(biāo)必然位于該雙曲線上。

由于每一基站對(duì)應(yīng)的目標(biāo)回波時(shí)延已知，在不考慮噪聲的情況下，可得到有多個(gè)基站對(duì)所形成的距離差[r?i，j]，從而構(gòu)成雙曲線方程組，對(duì)該方程組求解（即查找雙曲線的焦點(diǎn)），便可得到目標(biāo)的位置。由該方程組的性質(zhì)可知，利用不同基站作為參考基站計(jì)算時(shí)延差，所構(gòu)造的雙曲線方程組，等效于利用某一特定基站作為參考基站所構(gòu)造的方程組。因此，本文假定以基站1作為參考基站，則基站[i]對(duì)應(yīng)的距離差為：

[r?i，1=cτ?i，1=Ri-R1?x-Xi-x-X1] （2）

對(duì)式（2）進(jìn)行移向并求平方可以得到：

[r?i，1+2R1r?i，1+x-x12+y-y12=x-xi2+y-yi2] （3）

整理后，可得：

[r?i，12+2R1r?i，1=x2i+y2i-2xi-x1x-2yi-y1y-x21-y21] （4）

對(duì)式（4）所構(gòu)成的方程組進(jìn)行求解，即可完成對(duì)目標(biāo)的定位。

2 經(jīng)典的TDOA定位算法

2.1 Chan氏算法

在Chan氏算法中，將式（2）中目標(biāo)達(dá)到各基站的距離[Ri]視為一個(gè)未知數(shù)，并進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，從而得到如式（4）的一個(gè)線性方程組，通過(guò)對(duì)該方程組求解從而得到目標(biāo)位置的粗略估計(jì)結(jié)果。然后，利用[Ri=x-Xi]作為約束關(guān)系，再對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行一次求解，以此來(lái)進(jìn)一步提高對(duì)目標(biāo)位置的定位精度。

由雙曲線方程組的性質(zhì)可知，當(dāng)雙曲線的個(gè)數(shù)達(dá)到兩個(gè)以上時(shí)，才會(huì)存在交點(diǎn)，通過(guò)尋找交點(diǎn)完成對(duì)目標(biāo)的定位，這就要求基站數(shù)目必須在三個(gè)以上才能實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位。由于計(jì)算方式不同，可將三個(gè)基站和三個(gè)以上基站情況進(jìn)行分開討論：

（1）三個(gè)基站情況下

當(dāng)有效的測(cè)量基站數(shù)量為三個(gè)時(shí)，通過(guò)對(duì)回波信號(hào)與直達(dá)波信號(hào)進(jìn)行廣義相關(guān)，可以得到三個(gè)有效的到達(dá)測(cè)量值，代入式（4）進(jìn)行求解。但在求解之前，要求假設(shè)[R1]已知，則通過(guò)求解可得到目標(biāo)位置：

[xy=12x2-x1 y2-y1x3-x1 y3-y1-1?x22+y22-x21-y21-r22，1-2r3，1R1x23+y23-x21-y21-r23，1-2r3，1R1] （5）

可見，利用式（5）得到的[x]和[y]的值，均可利用距離[R1]表示，然后將這一結(jié)果代入[R1=x-X1]中，得到一個(gè)關(guān)于[R1]的一元方程，求解得到[R1]的值，由此可獲得目標(biāo)的位置坐標(biāo)[x，y]。

（2）三個(gè)以上基站情況下

在有效測(cè)量基站數(shù)目在三個(gè)以上時(shí)，可以獲得TDOA的測(cè)量值數(shù)目將大于或等于式（4）中未知值的數(shù)目，此時(shí)可充分用獲得的TDOA測(cè)量值冗余特性得到更加準(zhǔn)確的目標(biāo)位置坐標(biāo)。具體方法是：在目標(biāo)與無(wú)源雷達(dá)系統(tǒng)距離較遠(yuǎn)的情況下，可假設(shè)目標(biāo)到各基站的距離相等，且均為[R1]，利用最小二乘算法對(duì)式（4）求解，利用所得結(jié)果和附加的[Ri=x-Xi]作為約束條件進(jìn)行第二次求解，最終得到目標(biāo)更為精確的估計(jì)位置。

在考慮噪聲的情況下，由于在接收站計(jì)算所得到的距離差為：

[ri，1=r?i，1+ni，1] （6）

式中：[ni，1]表示基站[i]對(duì)應(yīng)的測(cè)量誤差。因此：

[ri，1-ni，1=r?i，1=Ri-R1=x-xi2+y-yi2-x-x12+y-y12] （7）

對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)，并求平方：

[ri，1-ni，12+2ri，1-ni，1R1+x-x12+y-y12= x-xi2+y-yi2] （8）

整理得到：

[Ri?ni，1+12n2i，1=12r2i，1-x2i-y2i+x21+y21+（xi-x1）x+（yi-x1）x+ri，1R1] （9）

用向量表示為：

[ψ=h-Gaz*a] （10）

其中，

[h=12r221-x22-y22+x21+y21?r2N1-x2N-y2N+x21+y21，][Ga=-x2-x1 y2-y1 r2，1?xN-x1 yN-y1 rN，1， za=xyR1]

定義向量[n=n2，1，…，nN，1T]，那么：

[ψ=Bn+0.5n⊙n] （11）

其中，符號(hào)“[⊙]”表示Schur乘積（各元素分別相乘），且：

[B=diagR?2 … R?N] （12）

符號(hào)“[diag?]”表示以括號(hào)中向量為對(duì)角線元素的對(duì)角矩陣。對(duì)于遠(yuǎn)程目標(biāo)而言，通常情況下，測(cè)量誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于目標(biāo)和各基站之間的距離，即[n?R?i]，所以可以將式（11）中的第二項(xiàng)忽略掉，即：

[ψ=Bn] （13）

那么可以得知誤差矢量[ψ]的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

[Eψ=0] （14）

[Ψ=EψψT=BQB] （15）

式中[Q=EnnT]表示測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣。在式（10）中，[za]中元素[R1]與目標(biāo)的位置有關(guān)，因此該式仍是一個(gè)非線性方程組，為此可首先假定距離[R1]與目標(biāo)的位置無(wú)關(guān)，再通過(guò)最小二乘算法進(jìn)行第一次求解，則[za]的估計(jì)值為：

[za=argminzah-GazaTΨh-Gaza=GTaΨ-1Ga-1GTaΨ-1h] （16）

由于矩陣[B]中含有目標(biāo)與各基站之間的距離，誤差矢量[ψ]的協(xié)方差矩陣[Ψ]仍是一個(gè)未知量，因而需要做進(jìn)一步的近似。

當(dāng)目標(biāo)距離較遠(yuǎn)時(shí)，可以近似[B≈R?1I]，那么：

[za=GTaQ-1Ga-1GTaQ-1h] （17）

當(dāng)目標(biāo)距離較近時(shí)，利用上式進(jìn)行計(jì)算可以得到一個(gè)初始解，然后利用該初始解得到的矩陣[B]，將矩陣[B]代入式（15），計(jì)算出誤差矢量[ψ]的協(xié)方差矩陣[Ψ]，并將[Ψ]代入式（17）就可以得到更為準(zhǔn)確的目標(biāo)位置。為進(jìn)一步提高精度可以將式（15）和式（17）進(jìn)行多次迭代處理，但一般只需要一次計(jì)算就可以得到較為精確的結(jié)果[10]。

在上述過(guò)程中，假定了[R1]與目標(biāo)位置[x]無(wú)關(guān)。然而，實(shí)際上[R1=x-X1]，正是有目標(biāo)位置[x]所決定的。因此可利用這一距離約束關(guān)系，結(jié)合最小二乘算法進(jìn)一步提高定位精度。具體方法是：

首先計(jì)算通過(guò)式（17）得到的[za]的協(xié)方差矩陣。由于矩陣[Ga]中包含隨機(jī)量[ri，1]，因此可以采用一階擾動(dòng)分析方法進(jìn)行計(jì)算，在有噪聲的情況下，式（10）表明：

[ψ=Δh-ΔGaz*a] （18）

其中，[ΔGa=Ga-G?a，][Δh=h-h*]。

令[za=z*a+Δza]，由式（15）可得：

[G?aT+ΔGaTΨ-1G?a+ΔGaz*a+Δza= G?aT+ΔGaTΨ-1h+Δh] （19）

保留一階擾動(dòng)分量，可以得到[5]：

[Δza=G?aTΨ-1G?a-1G?aTΨ-1Bn] （20）

[covΔza=EΔzaΔzaT=G?aTΨ-1G?a-1] （21）

從而可以得知矢量[za]的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

[Eza=z*a+EΔza=z*a] （22）

[covza=covΔza=G?aTΨ-1G?a-1] （23）

同時(shí)定義矢量[za]的第1和第2個(gè)元素為：

[za，1=x?+e1za，2=y?+e2] （24）

式中：[e1]和[e2]分別為兩個(gè)元素的估計(jì)誤差。利用距離約束關(guān)系[R1=x-X1]可以得到：

[Φ=h-Ga′·za′] （25）

其中：

[h=z2a，1z2a，2z2a，3z2a，4]，[Ga′=1 0 00 1 01 1 1]，[za′=x2y2]，[Φ≈2x?-x1e1y?-y1e2R?1e4]

利用最小二乘算法可知：

[za′=Ga′TΨ-1Ga′-1Ga′TΨ-1h] （26）

其中：

[Ψ=EΦΦT=4BcovzaB] （27）

[B=diagx? y? R?1] （28）

同樣，與第一步最小二乘算法相似，由于矩陣[Ψ]中含有輻射源的真實(shí)位置，它也是一個(gè)未知量。但[B]可利用式（17）得到[za]的計(jì)算結(jié)果值進(jìn)行近似，[G?a]可以利用[Ga]近似。由此，完成對(duì)矢量[za′]的估計(jì)。但是需要注意的是[za′=x?2， y?2T]，所以目標(biāo)的位置估計(jì)結(jié)果可能有4種可能性，即：

[zp=±za，1′ ±za，2′T] （29）

不過(guò)，可以通過(guò)結(jié)合式（17）得到的結(jié)果與式（29）的結(jié)果進(jìn)行比較，從而決定最終的定位解。

2.2 Taylor級(jí)數(shù)算法

Taylor方法是一種基于Taylor級(jí)數(shù)展開的最小二乘估計(jì)的迭代算法。其方法為：首先，在目標(biāo)位置的初始猜測(cè)點(diǎn)用Taylor級(jí)數(shù)展開，并忽略高次項(xiàng)的影響，將非線性方程轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性方程；然后，采用最小二乘算法對(duì)目標(biāo)估計(jì)值的偏移量進(jìn)行估計(jì)，并用估計(jì)的偏移量修正目標(biāo)位置，不斷迭代，直到估計(jì)的目標(biāo)位置接近真實(shí)位置。

前面已知：

[ri，1=cτi，1=Ri-R1] （30）

其中：

[Ri=x-xi2+y-yi2] （31）

假定目標(biāo)的坐標(biāo)初始猜測(cè)值為[x0，y0]（非真實(shí)坐標(biāo)），將上式利用Taylor級(jí)數(shù)在該坐標(biāo)處展開，忽略高次項(xiàng)，得到：

[Φ=h-GaΔ] （32）

其中：

[h=r21-R02-R01r31-R03-R01?rN1-R0N-R01，Δ=ΔxΔy，]

[Ga=x1-x0R01-x2-x0R02 y1-y0R01-y2-y0R02??x1-x0R01-xN-x0R0N y1-y0R01-yN-y0R0N]

此時(shí)利用最小二乘算法可得：

[Δ=GTaQ-1Ga-1GTaQ-1h] （33）

式中[Q]為測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣。在下次遞歸中，令：

[x0=x0+Δxy0=y0+Δy] （34）

設(shè)定一個(gè)門限[ε]，如果[Δx+Δy<ε]，停止迭代，否則重新代入該迭代公式，重新計(jì)算得到一個(gè)新的[Δ]，再次進(jìn)行判定。當(dāng)?shù)Y(jié)束后，得到的[x0，y0]值即為目標(biāo)位置估計(jì)值。

從Taylor級(jí)數(shù)展開可以得知，在進(jìn)行計(jì)算前，需要一個(gè)與實(shí)際值較為接近的初始猜測(cè)值，才能保證算法收斂，否則有可能導(dǎo)致算法結(jié)果收斂到一個(gè)錯(cuò)誤的值或不能收斂。

但是，可以采用Chan氏算法中第一次最小二乘算法計(jì)算得到的估計(jì)值來(lái)作為目標(biāo)的初始猜測(cè)值。

3 數(shù)值仿真與分析

在仿真中，以接收站為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并采用了兩種基站網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，分別為：A類基站坐標(biāo)分別為[[0，0]]，[[-R，0]]，[[R，0]]，[[0，-R]]，[[0，R]]；B類基站坐標(biāo)分別為：[[0，0]，][3R，0，][3R2，1.5R，][-3R2，1.5R，][-3R，0，][-3R2，-1.5R]和[3R2，-1.5R，]其中[R=20]km。

針對(duì)以上兩種基站網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，目標(biāo)位于[[25，25]]km處，各基站對(duì)應(yīng)的測(cè)距誤差的均方差相同，圖2（a）給出了在A類基站網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，其卡拉美羅下限、Chan氏算法定位誤差的均方值、Taylor級(jí)數(shù)算法定位誤差的均方值隨測(cè)距誤差變化的曲線和Taylor級(jí)數(shù)算法聯(lián)合Chan氏算法時(shí)定位誤差的均方值隨測(cè)距誤差變化的曲線。單獨(dú)使用Taylor級(jí)數(shù)算法時(shí)假設(shè)目標(biāo)的初始位置為[[24，26]]km。圖2（b）則給出了B類基站網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，四種定位誤差變換曲線。為了保證仿真的正確性，在每種TDOA測(cè)量誤差條件下，進(jìn)行1 000次蒙特卡羅仿真。

從圖2中可以看出在仿真條件要求的情況下，B類基站網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的各算法的性能優(yōu)于A類基站網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這主要是因?yàn)榍罢呖梢员群笳叨嗵峁﹥山MTDOA測(cè)量值，即利用更多的信息完成對(duì)目標(biāo)的定位。

圖2 各類基站網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下各定位算法的定位精度曲線

4 結(jié) 論

本文詳細(xì)分析了基于民用移動(dòng)通信信號(hào)的無(wú)源定位系統(tǒng)的定位模型和適用于該系統(tǒng)的Chan氏算法和Taylor級(jí)數(shù)算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，并在不同的基站配置下，利用蒙特卡羅仿真與各基站配置情況下的定位精度卡拉美羅下限進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)測(cè)量誤差的均方差較小時(shí)，利用Chan氏算法和Taylor級(jí)數(shù)算法均可以逼近于卡拉美羅下限。

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