基于單部兩坐標雷達的目標三維定位算法

嚴俊坤 夏雙志 戴奉周 劉宏偉 保 錚

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

引 言

傳統的兩坐標(Two-Dimensional,2D)雷達除了可以測量目標的距離和方位，還可以測量目標的徑向速度，以及從目標回波中獲取更多有關目標的信息[1]，但它不能獲取目標的高度或俯仰信息.在目前的航空管理和作戰指揮系統中，通常需要獲得目標的三維信息.常見的三維目標定位方法主要有以下幾種：1) 三坐標雷達直接測量目標的三維信息[2]；2) 兩坐標雷達配合測高雷達，測量目標的三維信息[3]；3) 融合多部兩坐標雷達的觀測信息，測量目標的三維信息[4-10].在第一種方式中，三坐標雷達可以實時、精確地測出目標的三維信息，但缺點在于三坐標雷達生產和維護成本很高，且其技術較為復雜.在第二種方式中，兩坐標雷達負責測量目標的距離和方位等信息，結合測高雷達提供的高度信息，可以得到目標的三維位置信息.這種方式實現技術比較簡便，目前應用比較廣泛，但是這種方式的測量過程較為復雜，難以滿足實時性的需求，而且由于需要配備測高雷達，不適用于常規的2D雷達系統[4].第三種方式是近些年來興起的一種新的定位方式，利用雷達組網的冗余信息，對目標進行三維定位.這種方式的原理是利用雷達組網在空間的多樣性來完成目標三維定位.文獻[5]和[6]分別研究了利用多部雷達的距離和角度信息完成目標定位的情況；文獻[7]提出了利用兩部雷達的距離和方位信息跟蹤三維目標的方法；文獻[8]對利用傳感器兩坐標觀測實現目標三維定位這一過程進行了較為詳細的研究，給出了高度誤差的克拉美羅下限(Cramér Rao Lower Bound,CRLB)，并得出了許多有價值的結論.文獻[9]更將前面的研究延伸到了多目標跟蹤的情況.

雖然多站融合定位已成為研究熱點，但這些算法都至少用到了兩個或兩個以上的雷達或傳感器.在實際中，同一目標落入多部雷達或傳感器觀測區域的概率比較有限，而且多站融合定位技術需要多站同步工作和數據傳輸，從而限制了系統的靈活性，也使系統的工作嚴重依賴于雷達站間的通信情況，因此開始有學者進行單部2D雷達測高的研究[11-12].這些技術利用單部雷達提供的有限數據，能夠得到目標在垂直方向上的一些信息.H. Hakl[11]等在忽略目標高度的情況下，利用單部雷達的觀測數據分析了目標在垂直方向的運動情況，但其沒有進行目標的三維定位；文獻[12]在目標速度已知，目標遠離2D雷達水平飛行的假設條件下，給出了單部雷達測高的方法，并從理論上分析了目標徑向距離、目標高度等參數對測量精度的影響，但其前提條件在實際中難以得到滿足.

本文僅在目標勻速運動的假設下，提出了一種基于單部2D雷達的目標三維定位方法，其本質相當于利用單部雷達不同時刻觀測信息的空間多樣性來進行目標的三維運動分析.本文假設2D雷達在各個時刻能夠根據目標的回波測得其距離、方位和多普勒信息，并假設各測量誤差相互獨立，服從零均值的高斯分布.利用上述測量信息，結合目標的運動特性，即可完成目標的三維定位.本文首先從雷達測量誤差開始建模，而后給出了目標三維定位誤差的CRLB，最后用Taylor迭代展開的方法[13-16]完成目標位置的最大似然(Maximum Likelihood,ML)估計.計算機仿真實驗驗證了所提算法的可行性，并得出了一些有意義的結論.

1 系統建模

考慮如下一個假定的場景，一部兩坐標雷達位于三維坐標系(x,y,z)處.目標的初始位置在x0=(x0,y0,z0)，并以v=(vx,vy,vz)的速度做勻速直線運動.那么，k時刻目標的位置xk=(xk,yk,zk)可表示為

(1)

式中T0表示采樣間隔.如上所述，雷達與目標的空間位置關系如圖1所示.

圖1 雷達與目標的空間位置示意圖

各個時刻，雷達能夠根據回波數據測量目標的徑向距離、方位角和多普勒信息(如圖1所示).目標徑向距離信息是通過測量目標反射回波相對于發射信號的時延來獲得的，k時刻目標到雷達的真實距離Rk可表示為

(3)

當雷達和目標有相對運動的時候，雷達的接收信號中將會產生一個附加的多普勒頻移分量fk，它與k時刻目標位置xk的關系可表示為

(4)

式中λ表示雷達的工作波長.

實際中，目標的真實信息是不可能獲得的，雷達的測量往往含有隨機誤差.那么，雷達在k時刻的測量結果可以表示為

(5)

(6)

為了描述方便，我們將前M+1時刻的測量數據寫為

(7)

式中：ΔRM, ΔθM和ΔM分別是(M+1)×1維的距離，角度和多普勒信息的誤差集合.在獨立高斯分布的假設下，其協方差矩陣QRM,QθM和Q可分別表示為

(8)

單部2D雷達就是根據這前M+1時刻的測量數據來估計目標的三維位置.由于這些信息存在測量誤差，因此對目標進行定位時會產生誤差，下節將給出定位誤差的CRLB.

2 目標三維定位誤差的CRLB

通常，CRLB可以給任何無偏估計量的方差設置一個下限，對于未知參數的所有取值，如果估計量達到此下限，那么它就是最小方差無偏估計量[19].

2.1 CRLB

(9)

式中：E(·)表示取期望；J(φ)表示矢量參數φ的Fisher信息矩陣 (Fisher Information Matrix，FIM),

(10)

對J(φ)求逆，即可得到參數φ的CRLB矩陣[19]：

CCRLB(φ)=(J(φ))-1.

(11)

從直觀上理解，FIM包含的信息越多，估計誤差的CRLB越低.

2.2 目標三維定位誤差的CRLB

(12)

(13)

式中：PR,Pθ和P分別表示(M+1)×6的距離、方位角和多普勒參數的雅可比矩陣[19],且有

(14)

式中，Rk、θk和k分別表示前M+1時刻真實距離、角度和多普勒參數的集合，而PR,Pθ和P的第k列可計算為

(15)

rk表示雷達到目標的水平距離

(16)

式(15)的最后一項可計算為

(17)

將式(14)～(17)代入式(13)中，即可獲得目標狀態φ的FIM矩陣JM(φ)：

(18)

由式(18)可以看出，幀數M越多，用于估計目標狀態的信息越多.

對FIM矩陣JM(φ)求逆，可得到參數φ的CRLB矩陣[19]：

(19)

(20)

3 目標三維位置的ML估計

對空間目標的位置進行估計時，常采用方法有兩種：一是幾何方法[5-6]，二是ML方法[13-16].幾何方法計算簡單，但分析表明，采用幾何方法估計目標高度的離散性很大，經常找不到實數解，因此本文中采取優化的方式來獲得目標位置的ML估計.首先，我們將式(2)～(4)重新描述為關于目標狀態φ的函數：

(21)

式中：k=0,1,…,M表示時間下標.從空間解析幾何來看，式(21)給出的方程組在M>2時是有解的，其中一個解就是目標的真實位置，因為這些測量信息都是源于目標的.如圖2所示，上述方程組一般可解得兩個高度值[8](圖中的A、B兩點)，即在垂直方向上存在定位模糊，原因是這組方程只用了高度平方的信息.在本文中，雷達布置在地面，取z0大于雷達高度z即可.

圖2 目標三維定位示意圖

此時，目標狀態ML估計的代價函數可表示為[13-16]

(22)

式中：ε為懲罰因子；g(φ)為障礙函數，保證求解得到的目標高度值大于雷達的高度，

(23)

(24)

W表示觀測噪聲的協方差陣.在實際中，雷達在每個時刻得到的只是一個測量結果，其誤差是未知的.如果將矩陣W設置為單位陣，將得到目標狀態的最小二乘估計.現階段的研究[13-16]都假設各個測量的誤差已知.本文中，通過估計各個時刻回波的SNR，再根據式(6)來計算噪聲的協方差矩陣W：

(25)

求解式(22)是一個非線性最小二乘的優化過程，這種問題可通過Taylor迭代展開來求解[13-16].首先，我們將d(φ)在φ=φ0附近展開成線性表達式：

d(φ)≈d(φ0)+D(φ0)(φ-φ0)，

(26)

式中：φ0是目標狀態的初始解.文獻[13-14]已經通過仿真驗證了距離信息表達式Taylor展開的收斂性；而角度和多普勒表達式Taylor展開的收斂性則在文獻[15-16]中得到了體現.

式(26)中D(φ0)為3(M+1)×6 的雅可比矩陣：

(27)

而后，將式(26)和(27)代入式(22)，并求最小值可得目標狀態的ML估計[13-16]：

(28)

新求解出的φ繼續用于下一時刻的初始值φ0來進行迭代，同時懲罰因子ε=ε/2，這個過程一直持續到連續兩次估計結果間的差量小于一個閾值，即|φ-φ0|<γ.此時得到的φ即是目標狀態的ML估計，而φ的前三個元素則表示估計得到的目標空間位置.

4 實驗結果

本文針對一個在三維空間中勻速運動的目標場景，用單部2D雷達對目標進行三維定位.雷達的初始位置(x,y,z) =(3,-17.75,0) km，目標初始位置位于(x0,y0,z0)=(22.75,3,2) km，并以速度(vx,vy,vz)=(80,-40,0) m/s勻速飛行.假設雷達發射信號的有效帶寬為1 MHz，波長設為λ=0.3 m，相參脈沖個數為64，接收天線孔徑為24 m，觀測間隔T0=6 s，一共有M幀數據用于估計目標的狀態.在實驗中，為了方便分析，目標的雷達截面積被認為是常數.圖3給出了雷達與目標的位置示意圖.

圖3 雷達與目標的空間位置關系

各個時刻，為了得到距離、方位和多普勒信息的測量誤差，各部雷達需要估計回波的SNR.圖4給出了各個時刻回波SNR的估計結果.估計的方法是小樣本情況下的ML估計法[19]，初始SNR設置為20 dB.

圖4 各個時刻回波SNR估計的結果

根據結果可以看出，SNR的測量是較為精確的.根據估計的SNR，即可計算各個測量值的誤差并完成目標的三維定位.下面，我們分析各參數對定位精度的影響.文中，目標的定位精度用空間位置的均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)來描述

(29)

圖5在初始SNR設置為20 dB，以及目標初始位置及速度相同的情況下給出了目標定位精度與觀測時間長短(即幀數M)的關系.由結果可以看出，觀測時間越長，定位精度越好.從圖5還可以看出，大約在200 s以后，目標的定位精度下降到500 m以下.直觀原因在于，用于估計目標狀態的信息增加，使得目標定位精度更高.

圖5 觀測時間與目標定位精度的關系

在假設目標與雷達水平距離相同，且初始SNR不變的情況下，圖6分析了目標高度對定位精度的影響.當目標飛行高度低于1 500 m時，定位誤差的CRLB大于1 000 m.這說明單部雷達無法對低空目標進行定位.而當目標高度較高時，單部雷達可以較為精確的進行定位.目標的高度越高，定位精度越好.

圖6 目標高度與目標定位精度的關系

最后，在保持其它參數及目標運動方向不變的前提下，圖7給出了目標速度的大小與定位精度的關系.可以看出，隨著目標速度的變快，定位精度逐漸變好.當目標速度大于200 m/s時，目標的定位精度可以達到500 m左右.

圖7 目標速度與目標定位精度的關系

以上幾個仿真實驗驗證了本文提出方法的有效性和可行性.總的來說，雷達的定位精度與回波SNR、幀數M的大小、目標飛行的高度和速度大小，以及雷達和目標之間的相對位置有關.通過上面的仿真，可以得出如下結論：

2) 定位的精度與用于定位的幀數M也有關系.根據式(18)，當幀數M越大時，FIM矩陣包含的信息越多.同理可知，目標的定位精度會隨M的增加而提高.

4) 目標的定位精度，隨目標運動速度的增加而變好.直觀原因在于：單部雷達是利用不同時刻目標的空域信息來完成三維定位的，目標的運動速度越快，在相同的測量幀數M內，雷達獲得信息的空間多樣性越豐富，因此定位精度越高.

5 結 論

在目標作勻速運動的假設下，本文提出了一種利用單部2D雷達完成目標三維定位的算法.在提出的算法中，利用目標的運動特性，結合多個時刻單部2D雷達的測量值，對目標的三維空間位置進行ML估計.計算機仿真實驗驗證了所提算法的可行性，并得到了一些有意義的結論.計算機仿真實驗結果表明，單部雷達的測量時間越長，目標與雷達的高度差越大，目標速度越快，定位精度越高.值得注意的是，本文的方法對雷達各個測量值的精度都有較高要求，而單雷達目標測量通常具有近距離探測精度高、遠距離探測精度低的特點.這是因為在相同測距誤差的前提下，隨著測距的變大，由方位誤差帶來精度誤差將越來越大.當測角誤差達到一定程度的時候，會導致三維定位的誤差變得不可接受.因此，單部雷達的三維定位范圍也是有限的.同時，單站的位置不可避免的會存在誤差，本文中也未給予考慮.站址誤差會影響雷達距離、方位角和多普勒測量的精度，進而導致目標定位精度下降.下一步的工作中，將對站址誤差對定位精度的影響進行研究，并結合實際數據來驗證算法的有效性.

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