不均勻多導(dǎo)體傳輸線的瞬態(tài)分析

冀維林 劉仲亞 李 莉

(1.國家無線電監(jiān)測中心，北京 100037；2.北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院，北京 100876)

引 言

在高速大規(guī)模集成電路和多芯片組件中，多導(dǎo)體傳輸線常被用作信號連接線.通常，在直流或低頻情況下，信號連接線可以看作是簡單的金屬導(dǎo)體，僅僅起著電連通的作用.但是，隨著半導(dǎo)體材料科學(xué)和電子信息技術(shù)的發(fā)展，信號脈沖的上升時(shí)間和寬度已達(dá)到皮秒量級，對應(yīng)的頻譜已進(jìn)入微波、毫米波波段，高頻分量的波長和傳輸線的尺寸已處于同一量級；由于色散、終端失配及線間的分布耦合，還將引起信號的畸變和線間耦合，影響到高速電路系統(tǒng)的總體性能指標(biāo).因此，必須對這些現(xiàn)象加以分析和研究，而多導(dǎo)體傳輸線時(shí)域響應(yīng)分析便可較為準(zhǔn)確地分析信號連接線上各點(diǎn)電壓和電流[1-4].同時(shí)，在實(shí)際電子設(shè)備和系統(tǒng)中，由于各種傳輸線系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，通信線與電力線存在許多非均勻的，或者是端接非線性負(fù)載結(jié)構(gòu)的傳輸線.因此，必須對廣義傳輸線進(jìn)行分析.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值方法在研究和分析電磁場問題中發(fā)揮了越來越重要的作用.例如頻域內(nèi)的有限元法、矩量法和單矩法等；時(shí)域內(nèi)的時(shí)域有限差分法、傳輸線矩陣法和時(shí)域積分法等.其中，時(shí)域有限差分法(FDTD)是由有限差分法發(fā)展而來的數(shù)值分析方法，直接由麥克斯韋方程對電磁場進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬.近年來，時(shí)域有限差分法在生物電磁劑量學(xué)、電磁熱療系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬、天線輻射特性的計(jì)算問題以及設(shè)備和系統(tǒng)間的電磁兼容特性分析和預(yù)測等方面得到廣泛的應(yīng)用和迅速的發(fā)展[5-6].論文主要應(yīng)用FDTD法對不均勻多導(dǎo)體傳輸線的瞬態(tài)響應(yīng)、波形特點(diǎn)以及終端失配情況進(jìn)行仿真分析.文中給出了FDTD算法處理該問題的迭代公式，通過建模、仿真和分析，驗(yàn)證了FDTD算法處理不均勻多導(dǎo)體傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)問題的有效性和正確性.

1 不均多導(dǎo)體傳輸線方程及差分形式

在不考慮外界電磁場作用的情況下，多導(dǎo)體傳輸線上的電流和電壓滿足如下電報(bào)方程[7-9]

(1)

式中：V和I分別為多導(dǎo)體傳輸線上的電壓和電流矩陣；R和G分別為多導(dǎo)體傳輸線上的電阻和電導(dǎo)矩陣；L和C分別為多導(dǎo)體傳輸線上的電感和電容矩陣.對于無耗多導(dǎo)體傳輸線(R=0，G=0)，應(yīng)用FDTD法對多導(dǎo)體傳輸線方程進(jìn)行差分，并結(jié)合傳輸線始端和終端邊界條件可得到傳輸線上各點(diǎn)的迭代公式：

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：L和C根據(jù)不均勻傳輸線特性分段為Lk和Ck； Δz、Δt分別為空間和時(shí)間步長；k、n分別表示空間和時(shí)間的劃分?jǐn)?shù).通常，為了保證算法的穩(wěn)定，必須滿足Δt≤Δz/v.當(dāng)取等號時(shí)，Δt定義為最佳時(shí)間步長，其中v為電磁波傳播的最大模式速度，在多導(dǎo)體傳輸線情況下，會有多個(gè)模式速度存在，可通過計(jì)算LC的特征值求得.

2 模型的建立與仿真分析

圖1 不均勻多導(dǎo)體傳輸線模型

2.1 情況一：線性負(fù)載

如圖1所示的不均勻多導(dǎo)體傳輸線模型(銅導(dǎo)帶寬度為50×(1+k(z)) μm，厚度為5 μm).其中，多導(dǎo)體傳輸線長l=0.5 m，始端和終端負(fù)載分別為RS1=50 Ω、RS2=50 Ω、RL1=50 Ω、RL2=50 Ω.信號源為上升/下降沿為0.5 ns，脈沖寬度為5 ns的方波.非均勻傳輸線的分布參數(shù)為：

式中：l(z)=387/(1+K(z))；lm(z)=K(z)L(z)；c(z)=104.13/(1-K(z))；cm(z)=-K(z)C(z)；K(z)=0.25(1+0.6sin(πz+π/4)).

應(yīng)用FDTD法處理電磁學(xué)問題時(shí)，由于在計(jì)算機(jī)的計(jì)算空間中電磁波只能跳躍式地傳播，不可能連續(xù)傳播，因此，對于不同波長的電磁波，在特定的網(wǎng)格劃分情況下，計(jì)算機(jī)中電磁波傳播比起實(shí)際物理空間中的電磁波會出現(xiàn)誤差，包括速度和方向.針對數(shù)值色散問題，可以通過減小空間和時(shí)間步長，減小數(shù)值色散的影響.一般當(dāng)空間步長滿足如下條件時(shí)，差分近似帶來的數(shù)值色散將非常小[5]

Δz≤λmin/12，

(6)

(a)

(b)圖2 不均勻多導(dǎo)體傳輸線各端口瞬態(tài)電壓響應(yīng)(光速)

(a)

(b)圖3 不均勻多導(dǎo)體傳輸線端口瞬態(tài)電壓響應(yīng)(最大模式速度)

圖4 不均勻多導(dǎo)體傳輸線特性阻抗曲線

選取兩倍的脈沖信號轉(zhuǎn)折頻率(1 GHz)作為信號最高頻率求得最小波長，代入式(6)，近似得到空間步長為0.01 m，可得到仿真網(wǎng)格數(shù)為50.通常，仿真選取的電磁波傳播速度只要大于電磁波在傳輸線上的最大模式速度，仿真就可以順利進(jìn)行.首先比較當(dāng)仿真時(shí)選取的電磁波的傳播速度不同時(shí)對仿真結(jié)果的影響.電磁波的傳播速度分別選取光速c和最大模式速度cm.運(yùn)用MATLAB軟件編程，傳輸線兩端瞬態(tài)電壓響應(yīng)如圖2和3所示.從仿真結(jié)果可以看出，在圖2中，信號和串?dāng)_波形都具有比較明顯的抖動紋波，而圖3則很平滑.可見，采用最大模式速度作為求解相關(guān)參數(shù)(Δt)并進(jìn)行仿真，可以得到最優(yōu)的結(jié)果.同時(shí)，信號經(jīng)過3.285 ns后到達(dá)傳輸線的終端，這說明不均勻傳輸線對信號的傳播速度沒有影響.然而，與均勻多導(dǎo)體傳輸線各端口的電壓響應(yīng)不同，由于傳輸線上各個(gè)點(diǎn)的特征阻抗存在一定的差異，所以信號在傳播的過程中會有反射現(xiàn)象，需要經(jīng)過較長的時(shí)間才能趨于穩(wěn)定.為了更好地說明不均勻多導(dǎo)體傳輸線各個(gè)端口電壓響應(yīng)波形，我們畫出了傳輸線上各點(diǎn)的特征阻抗值和(Cm/C)+(Lm/Lw)值的曲線，如圖4和5所示.從圖中看出，傳輸線特性阻抗值在傳輸線長度方向上先減小后變大，變化速率也是先變小后變大.信號經(jīng)過傳輸線時(shí)，由于傳輸線匹配特性遵循由差變好再變差的規(guī)律，所以信號線始端信號波形呈現(xiàn)由大變小再變大的特點(diǎn)，可見信號線始端信號與特性阻抗的分布有關(guān)；另外，受擾線近端串?dāng)_與(Cm/C)+(Lm/Lw)的值成正比，所以近端串?dāng)_具有先增大后減小的變化趨勢.

圖5 (Cm/C)+(Lm/Lw)曲線

圖6 端接非線性負(fù)載不均勻多導(dǎo)體傳輸線模型

2.2 情況二：非線性負(fù)載

端接非線性負(fù)載的不均勻多導(dǎo)體傳輸線的模型如圖6所示(作為參考地面的導(dǎo)體未畫出).在公式(2)、(3)、(4)、(5)的基礎(chǔ)上，只需將N+1處的電壓迭代公式修改為式(7)，便可得到端接非線性負(fù)載的多導(dǎo)體傳輸線差分公式為.

(a)

(b)圖7 端接非線性負(fù)載多導(dǎo)體傳輸線各端口瞬態(tài)電壓響應(yīng)

(a)

(b)圖8 各端口瞬態(tài)電壓響應(yīng)(RS2=RL2=0 Ω)

(7)

非線性負(fù)載的伏安特性關(guān)系為：

式中:IA=10 nA；VT=25 mV.

多導(dǎo)體傳輸線始端和終端負(fù)載分別為RS1=50 Ω、RS2=50 Ω、RL1=50 Ω、RL2=50 Ω，信號源為上升/下降沿為0.5 ns，脈沖寬度為5 ns的方波.運(yùn)用MATLAB軟件編程，仿真結(jié)果如圖7.可以看出，非線性負(fù)載的接入，使得多導(dǎo)體傳輸線終端匹配條件變差，信號的反射增大，信號需要經(jīng)過很長的時(shí)間才能趨于穩(wěn)定.同時(shí)，信號線輸出端信號較之未接非線性負(fù)載時(shí)增大0.16 V.

當(dāng)受擾線兩端阻抗RS2=RL2=0 Ω的情況，仿真結(jié)果如圖8所示.未接非線性負(fù)載時(shí)，受擾線可以看作電位為零的參考地面，受擾線上是不會有串?dāng)_信號的.接入非線性負(fù)載后，受擾線始端全反射，信號為零，信號線的始端電壓可以逐漸趨于零.終端處，無論是信號線還是受擾線，信號呈現(xiàn)振蕩的狀態(tài)， 脈沖每經(jīng)過兩個(gè)傳輸線傳播時(shí)間反相一次.因此，為了防止出現(xiàn)信號在傳輸線上振蕩的現(xiàn)象，在實(shí)際中應(yīng)盡量避免受擾線僅有非線性負(fù)載連接的情況.

3 結(jié) 論

隨著傳輸線系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不斷復(fù)雜，信號頻率的不斷提高，終端失配、色散及線間的分布耦合引起的信號畸變和線間耦合問題越來越嚴(yán)重.針對此問題，論文提出了通過建立不均勻多導(dǎo)體傳輸線FDTD法差分模型，運(yùn)用MATLAB軟件對不均勻多導(dǎo)體傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真的算法.在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步從理論上對非均勻多導(dǎo)體傳輸線各端口瞬態(tài)響應(yīng)的波形特點(diǎn)進(jìn)行了研究.另外，對端接非線性負(fù)載的不均勻多導(dǎo)體傳輸線端口出現(xiàn)失配的情況進(jìn)行了仿真，為實(shí)際工程設(shè)計(jì)和電磁兼容預(yù)測提供了理論參考.仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的正確性，在今后的工作中，可以結(jié)合工程實(shí)際，不斷拓展FDTD算法處理電磁兼容問題的范圍.

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