彩色圖像處理的可交換Clifford代數方法

郭立強，朱 明

（1.淮陰師范學院計算機科學與技術學院，江蘇淮安223300；2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

彩色圖像處理的可交換Clifford代數方法

郭立強1，2*，朱 明2

（1.淮陰師范學院計算機科學與技術學院，江蘇淮安223300；2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

采用可交換Clifford代數對彩色圖像建模，充分利用彩色圖像作為一個整體所具有的潛在顏色信息，實現彩色圖像各顏色分量的并行處理，可完成彩色圖像的整體處理。本文分析了彩色圖像的表示方法，系統研究了一類可交換Clifford代數—，定義了上元素的四則運算規則、單位元、逆元、共軛、范數等。給出了基于可交換Clifford代數的彩色圖像表示方法，并介紹了一個架構下的彩色圖像處理實例：彩色圖像邊緣檢測。與傳統的四元數彩色圖像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了數據冗余，其算法復雜度也大大降低。結果顯示，基于可交換Clifford代數的彩色圖像表示方法可以應用到彩色圖像處理中。

彩色圖像；圖像處理；可交換性；Clifford代數

1 引 言

數字圖像處理已有近半個世紀的研究歷史，但傳統的圖像處理技術大多關注灰度或二值圖像處理。近十幾年來，傳感器技術的發展使得獲取、處理及存儲彩色圖像變得更加容易，在計算機視覺與模式識別、生物醫學工程等領域中，圖像中的顏色信息發揮了更重要的作用，彩色圖像處理技術也越來越多地受到廣大科研人員的重視［1-6］。

彩色圖像處理大體上有3種方法：

第一種方法就是把彩色圖像轉換成灰度圖像，利用比較成熟的灰度圖像處理算法來間接地實現彩色圖像處理。這種處理方法直接導致了彩色圖像顏色信息的丟失，不利于后續的工程應用。

第二種方法采用分而治之的思想，即對于特定的彩色圖像處理任務，先選用合適的顏色模型（如RGB、HSI、CMY、YCrCb等），把彩色圖像在顏色空間按顏色分量進行分解來得到多個單通道圖像。分解得到的單通道信息可以用灰度圖像來描述，對每一通道圖像用已有的灰度圖像處理算法進行處理。目前，基于分通道的彩色圖像處理的文獻較多，但是，這方面已沒有更新的理論突破。況且，對彩色圖像按某一顏色模型進行分解，對各通道圖像的處理以及最后對結果的融合過程中不可避免地發生信息丟失，整個處理過程是將彩色圖像割裂開來進行的，忽略了彩色圖像各分量間的內在聯系，不能體現彩色圖像像素作為一個整體所具有的色彩關聯性。

第三種方法就是整體轉換算法。簡言之，不論采用什么顏色模型來表征彩色圖像，都把彩色圖像看成一個整體（類似于向量），對其進行直接處理。這種方法的理論還并不完善，這主要是由于多通道數據的矢量信號處理理論尚未完全建立，仍有許多潛力可挖。目前比較成熟的模型是四元數理論，即用四元數來表征彩色圖像并進行相應的處理［7-15］。

在基于四元數的彩色圖像矩不變量構造過程中，彩色圖像是以純四元數的形式進行建模，即：

I（x，y）=IR（x，y）·i+IG（x，y）·j+

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分別是彩色圖像I（x，y）的R、G和B顏色分量；i、j和k為3個相互正交的虛部算子，滿足如下乘法規則：

用四元數來表征彩色圖像的像素存在著數據冗余以及計算量大的缺點。冗余性體現在：四元數由1個實部和3個虛部構成，而彩色圖像只有3個顏色分量。用3個虛部來表征彩色圖像，經過一系列運算后，其數值結果是包含實部的一個四元數。計算量大體現在：一次四元數乘法是由十六次實數乘法和十二次實數加法構成。另外，由式（3）可知，四元數的乘法運算不滿足交換律，不利于快速算法的設計。

為了解決四元數方法所固有的缺點，需要找到更好的數學模型來對彩色圖像進行建模。本文研究了可交換Clifford代數（Clcom2），定義了Clcom2上元素的四則運算規則、單位元、逆元、共軛、范數等，給出了基于可交換Clifford代數的彩色圖像表示方法。與傳統的四元數彩色圖像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了數據冗余，同時其算法復雜度也大大降低。

2 可交換Clifford代數

本節系統研究了二維可交換Clifford代數及其相關知識。首先看一下Clifford代數的定義。

2.1 Clifford代數

近年來，Clifford代數已逐漸被工程技術領域的科研人員所重視［16-24］。Clifford代數又稱為幾何代數，由W.K.Clifford于1878年提出。Clifford代數結合了Hamilton的四元數和Grassmann的擴張代數，能夠進行高維的幾何計算。

對于整數n，［n］=｛1，2，……，n｝，［n］的冪集記為2［n］。Clifford代數定義如下：

定義1.對于n≥1的整數，2n維代數Clp，q，（p+q=n）定義為由｛ei|i=1，2，…，n｝生成的結合代數。其中，e0=eφ=1∈R，ei滿足如下乘法規則：

Clifford代數的乘法是由2［n］的子集按字典順序形成：

上述定義中，由集合｛1，e1e2，e1e3，e2e3｝生成的空間同構于四元數空間，也就是說，Clifford代數本身是四元數的高維推廣，四元數是一類特殊的Clifford代數［17］。

由式（4）可知，Clifford代數的乘法運算不滿足交換律。為了減少Clifford代數在工程應用中算法復雜度高的缺點，研究的重點集中在一類具有可交換性質（乘法運算滿足交換律）的Clifford代數上。

2.2 可交換Clifford代數的定義

可交換Clifford代數定義如下：

定義2.可交換Clifford代數。在定義1的基礎上，對于i=1，2，…，n，令

由式（4）可知，

同時定義：

由式（8）和（9）可知，“εi”的乘法運算滿足交換律。記是由集合

由式（12）可以看出，f與g的乘法運算結果只含有ε1、ε2和ε12分量，沒有多余的分量產生。

因此，二維可交換Clifford代數克服了以往四元數在進行彩色圖像建模所體現出來的數據冗余性。

式（12）中：

同理，有

此外，

由式（13）～（15）可以看出，ε12是上的單位元。

式（17）中，Δ定義如下：

由式（19）得到如下方程組：

對上述方程組求解便得到式（17）中各個分量的值。上述方程組有解的前提是Δ≠0，因此并不是Cl

2com中所有的元素都存在共軛。由此，Cl2com上元素f的逆元定義為：

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分別是彩色圖像的R、G和B顏色分量。

具體地，把彩色圖像的R、G和B顏色分量分別賦給二維可交換Clifford代數的ε1、ε2和ε12分量，把彩色圖像以可交換Clifford代數值矩陣的形式進行重新表示。圖像的各個像素都賦予了一個可交換Clifford代數的數據結構。

通過以上敘述，利用二維可交換Clifford代數實現了彩色圖像的建模，該方法最大限度地降低了數據冗余性。可交換Clifford代數中的一次乘法運算是由九次實數乘法和六次實數加法構成，相對于四元數的乘法運算，其計算量明顯降低。同時，可交換Clifford代數的乘法運算滿足交換律，這樣一來在具體的編程計算過程中，其計算復雜度遠低于四元數。

3 應 用

3.1 可交換Clifford卷積

則二維可交換Clifford卷積由式（25）給出。

式（25）與傳統卷積的表達式一樣，所不同的是f（x，y）和h（x，y）是取值于，并且積分結果也是一個二維可交換Clifford代數。

3.2 彩色圖像邊緣檢測

把彩色圖像以二維可交換Clifford代數的形式進行表示，把它與邊緣檢測模板進行可交換Clifford卷積運算，把卷積結果進行適當的歸一及閾值化處理便可得到邊緣圖像。

x軸和y軸方向的邊緣檢測模板定義如下：

彩色圖像邊緣檢測流程圖如圖1所示，把彩色圖像與式（26）和（27）的模板進行卷積運算得到x軸和y軸方向的邊緣信息Ex和Ey，然后計算接下來以E（x，y）中的最大值對其進行歸一化處理。本文中，閾值為0.2，對E（x，y）逐像素點進行比較，凡是范數值大于0.2的像素點標記為邊緣點，最終遍歷E（x，y）中的所有值得到邊緣圖像。

圖2是對經典的彩色圖像進行邊緣檢測得到的結果。從圖2中的三組實驗可以看出基于可交換Clifford卷積的彩色圖像邊緣檢測算法基本上能夠檢測出彩色圖像中的有效邊緣。

圖1 邊緣檢測流程圖Fig.1 Block diagram of edge detection

圖2 彩色圖像邊緣檢測試驗Fig.2 Experiment of color edge detection

4 結 論

針對四元數方法對彩色圖像進行建模所帶來的數據冗余及計算量大的缺點，本文提出了基于二維可交換Clifford代數的彩色圖像表示方法。此外，本文還給出了上元素的四則運算規則、單位元、逆元、共軛、范數等。最后給出了基于二維可交換Clifford代數的應用：彩色圖像邊緣檢測。從實驗結果來看，本文算法能夠有效地檢測出圖像中的彩色邊緣。未來的工作將繼續深入研究基于二維可交換Clifford代數的彩色圖像處理算法。

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Commutative Clifford algebramethod for color image processing

GUO Li-qiang1，2*，ZHU Ming2
（1.School of Computer Science and Technology，Huaiyin Normal University，Huaian 223300，China；2.Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China）
*Corresponding author，E-mail：math_circuit@qq.com

By using the commutative Clifford algebramethod tomodel for a color image，the parallel processing of R，G and B components in the color image can be realized in a holisticmanner and the integrating processing for the color image can be implemented.This paper reviews the progress of color imagemodeling，researches a type of commutative Clifford algebra，namely Clcom2and gives the definitions of the arithmetic operations，unit element，inverse element，conjugation，and the norm for the commutative Clifford algebra.Then，it describes the expression of the color image based on the commutative Clifford algebra and introduces an application example of thismethod：the edge detection of color image.In comparison with the quaternion-based color imagemodeling，the proposed method can remove the data redundancy and reduce the computational complexity to the utmostextent.The proposed color imagemodelingmethod can be applied in color image processing tasks as a useful tool.

color image；image processing；commutativity；Clifford algebra

TP391.4

A

10.3788/CO.20130606.0885

郭立強（1982—），男，吉林汪清人，副教授，2011年于中國科學院長春光學精密機械與物理研究所獲得博士學位，主要從事圖像處理、計算機視覺與模式識別方面的研究。E-mail：math_circuit@ qq.com

朱 明（1964—），男，江西南昌人，研究員，博士生導師，1991年于中國科學院長春光學精密機械與物理研究所獲得碩士學位，主要從事視頻圖像處理、光電成像測量技術、自動目標識別與電視跟蹤等方面的研究。E-mail：zhu_mingca@163.com

1674-2915（2013）06-0885-07

2013-09-21；

2013-11-23

國家自然科學基金資助項目（No.61203242；No.60902067.）；吉林省重大科技攻關資助項目（No. 11ZDGG001）