用二階行列式求直線一般式方程的探究與應用

趙興勇

摘 要： 本文探究直線上兩點坐標、直線一般式方程中的系數、二階行列式中元素之間運算關系三者的內在聯系，通過計算由點的坐標構成的二階行列式中元素間的值，直接求出直線一般式方程中的系數，進而求出直線的一般式方程.

關鍵詞： 二階行列式 直線方程 一般式 坐標

平面解析幾何中有這樣一類問題“求過平面內兩個已知點的直線的一般式方程”.筆者在常規解法的基礎上，通過探究直線上兩點坐標、直線一般式方程中的系數、二階行列式中元素之間運算關系三者的內在聯系，通過計算由點的坐標構成的二階行列式中元素間的值，直接求出直線一般式方程中的系數，進而求出直線的一般式方程.應用于解決“過平面內兩個已知點的直線的一般式方程”這類問題的過程中，具有直接、便捷、準確、適用之優點.

一、提出問題

先來解決一個課本中的變式探究：

已知直線l經過兩點P（x■，y■），Q（x■，y■），求直線l的方程.[1]

分析：x■與x■，y■與y■可能相等也可能不等，此時不能直接用直線的兩點式方程■來求，需要對其進行討論.

解析：（1）當x■=x■時，l：x=x■（或x=x■）；

（2）當y■=y■時，l：y=y■（或y=y■）；

（3）當x■≠x■，y■≠y■時，l：■=■.

通常最后再將（1）、（2）、（3）的結果化為直線的一般式方程.[1]

點評：這種解法要對兩點坐標進行討論，求出其他形式的直線方程，通常最后還要化為直線的一般式方程.顯得過于繁瑣，而且因素考慮不周容易導致解題的失誤.

問題：是否能夠避開對兩點坐標的討論、避開用兩點式方程來求解，通過兩點的坐標直接、簡便、快捷、準確地求出直線的一般式方程呢？

二、探究問題

探究1：注意到，對（3）中的■=■變形可得

（y■-y■）x+（x■-x■）y+（x■y■-x■y■）=0（*）

若采用（*）式作為直線的方程，那么（1）、（2）顯然也滿足（*）式.

令y■-y■=A，x■-x■=B，x■y■-x■y■=C①，則（*）式可變形為：

Bx+By+C=0（A，B不同時為0），即直線的一般式方程.

于是，只需將P，Q兩點的坐標代入①式，即可求出直線一般式方程中的系數A，B，C，進而求出直線一般式方程.

用（*）式求解此類題，避免了對P，Q兩點坐標關系的討論；因素考慮不周導致的解題失誤；也避免了用其他方式求出的直線方程化為一般式方程帶來的麻煩，顯得簡便、快捷.但①式的規律性不強，不易記憶，容易弄反，弄混淆，故而容易導致解題失誤.為此，可以對①式進一步探究.

探究2：分析①式，由x■y■-x■y■可聯想到二階行列式，[2]其正好是二階行列式的值.此時，可以對二階行列式進一步探究，使之與系數A，B，C建立起聯系.

將P點的橫、縱坐標作為二階行列式的第一行，Q點的橫、縱坐標作為行列式的第二行置入二階行列式a ？搖 bc？搖 d中，可得 x■？搖y■x■？搖 y■②

觀察②中的元素，結合直線一般式方程中的系數，發現行列式②的值恰好為系數C；②中的第二列元素上減下為系數A，即y■-y■=A；②中的第一列元素下減上為系數B，即x■-x■=B.

為了更好地表達直線一般式中的系數A，B，C，探究對二階行列式的定義（一種特定記號）進行延伸.

探究3：二階行列式定義[2]的延伸

在a ？搖 bc？搖 d中延伸運算：第二列元素上減下，其差記做A；第一列元素下減上，其差記做B；行列式的值（兩條對角線上元素的乘積之差）記做C；這種延伸運算可以記做

c-a=B

C=？搖a？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖b↑（一）↓？搖c？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖d=ad-bc

b-d=A

三、結論

過兩點P（x■，y■），Q（x■，y■）的直線l的一般式方程為Ax+By+C=0（A，B不同時為0），其中A，B，C可用下面的（※）式來求.

x■-x■=B

C=x■？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖y■↑（一）↓x■？搖y■=x■y■-x■y■？搖（※）

y■-y■=A

四、應用

1.“x■=x■或y■=y■”型

例 ：已知直線n經過兩點P（2，6），Q（-4，6），求直線n的一般式方程.

解析：將P（2，6）的橫、縱坐標作為行列式的第一行，Q（-4，6）的橫、縱坐標作為行列式的第二行置入（※）式中得

-4-2=-6=B

C=？搖2？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖6↑（一）↓-4？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖6=2×6-（-4）×6=36

6-6=0=A

所以直線n的一般式方程為-6y+36=0，即y-6=0.

2.“x■≠x■，y■≠y■”型

例2：已知直線m經過兩點P（2，3），Q（-4，6），求直線m的一般式方程.

解析：將P（2，3）的橫、縱坐標作為行列式的第一行，Q（-4，6）的橫、縱坐標作為行列式的第二行置入（※）式中得

-4-2=-6=B

C=？搖2？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖3↑（一）↓-4？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖6=2×6-（-4）×3=24

3-6=-3=A

所以直線m的一般式方程為-3x-6y+24=0，即x+2y-8=0.

通過探究，用（※）式來求解“過平面內兩個已知點的直線的一般式方程”這類問題，坐標與系數的關系規律性很強，且容易理解、容易記憶、容易應用，避免了對兩點坐標關系的討論；避免了因素考慮不周導致的解題失誤；避免了用其他方式求出的直線方程化為一般式方程帶來的麻煩，其顯得直接、簡便、快捷、準確、適用，不失為一種行之有效的方法.不僅豐富了數學解題方法，提高了數學應用意識，還說明了數學中各分支的內容并不是孤立的，它們在一定的條件下有著內在聯系.

參考文獻：

[1]王申懷.數學②必修[M].A版.北京：人民教育出版社，2007：95-98.

[2]李龍才，章建躍.數學選修4-2矩陣與變換[M].A版.北京：人民教育出版社，2007：53-54.