用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題舉例

吳開(kāi)瑞

關(guān)于整數(shù)的整除性的中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題不少。不少學(xué)生認(rèn)為整數(shù)的整除問(wèn)題非常復(fù)雜，尤其在競(jìng)賽中，一遇到此類問(wèn)題，學(xué)生往往覺(jué)得心有余而力不足。如在證明命題“4n+15n-1（n∈N）能被9整除”和命題“62n-1+1是7的倍數(shù)（n∈N）”時(shí)，很多學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它們。但如何更加簡(jiǎn)單、有效地證明此類命題呢？筆者認(rèn)為，二項(xiàng)式定理能很好地解決上述問(wèn)題，我們有“對(duì)于任意的兩個(gè)整數(shù)a和b（b>0），則有唯一的整數(shù)q和r，使得a=bq+r（0≤r

利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)：

N= +15n-1

= +18n

=32 +18n

=9×（ +2n）

所以，由（1）式可知4n+15n-1能被9整除。類似的，我們可以證明上面給出的另一個(gè)命題成立。

在上面的命題證明中，我們看到了整除定理和二項(xiàng)式定理的作用。那么，我們能否用二項(xiàng)式定理來(lái)解決一般的整除問(wèn)題呢？讓我們來(lái)討論一下這個(gè)問(wèn)題。

首先，筆者給出一些常見(jiàn)的整除定理及證明。如：

定理1 整數(shù)a能被2整除的充要條件為a的個(gè)位數(shù)能被2整除（即個(gè)位數(shù)為偶數(shù)）。

證明：設(shè)a=anan-1……a1a0（a>0）

則a=（an10n+an-110n-1+……+a1·10）+a0=2m+a0

所以，若a0能被2整除，則a亦能被2整除；若a能被2整除，則a0亦能被2整除。

定理2 整數(shù)a能被3或9整除的充要條件為a的個(gè)位數(shù)字和能被3或9整除。

證明：設(shè)a=anan-1……a1a0（a>0）

則a=an10n+an-110n-1+……+10a1+a0

所以，當(dāng)a能被3或9整除時(shí)，則 能被3或9整除；反之亦然。

定理3 整數(shù)a能被11整除的充要條件為a的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被11整除。

證明：設(shè)a=anan-1……a1（a>0）

則a=an10n-1+an-110n-2+……+10a2+a1

=an（11-1）n-1+ an-1（11-1）n-2+……+a2（11-1）+a1

=an +…+11a2-a2+a1

=11m+[（a1+a3+……）-（a2+a4+……）]

所以，結(jié)論成立。

在以上定理的建立中，二項(xiàng)式定理起到了“橋梁”的作用。下面，筆者舉例說(shuō)明幾個(gè)利用以上定理來(lái)解決整除問(wèn)題的例子：

例1：若四位數(shù)N的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字又相同，則N一定為11的倍數(shù)。

證明：根據(jù)題目的意思，可設(shè)N=aabb，即N=103a+102a+10b+b。

很顯然，（b+a）-（b+a）=0，而0是11的倍數(shù)，所以由定理4可得N是11的倍數(shù)。

例2：任一n位數(shù)p，將其數(shù)字按逆順序重新排列得一個(gè)新的n位數(shù)q，求證：p-q能被9整除。

證明：設(shè)p= anan-1……a1（a>0）

= an10n-1+an-110n-2+……+10a2+a1

而q=a1a2……an

=a110n-1+a210n-2+……+an

所以，p-q=（an-a1）10n-1+（ an-1-a2）10n-2+……+（a1-an）

這樣，各位數(shù)字之和為 - =0

故由定理2知結(jié)論成立。

從以上各例可以看到，二項(xiàng)式定理在解決整除問(wèn)題中扮演了重要“角色”。靈活使用二項(xiàng)式定理，能簡(jiǎn)單有效地解決整數(shù)中的整除問(wèn)題。

（作者單位：江西省橫峰縣新篁?qū)W校）