理論力學教學中斜坡滑動摩擦偏向力偶探討

鄭拯宇

摘 要：對于斜面支承的物體，其底面支承約束反力并不是呈現均勻分布狀態，其等效集中荷載存在一定的偏心距。對其進行較為詳細的受力分析有宜于學生對平衡狀態條件的理解，并且利用這種斜面對物體支承約束反力分布的不均勻特性，研究斜面物體滑動過程中所產生的偏轉力偶，較好地詮釋了斜坡運動物體的曲線軌跡產生的原因。

關鍵詞：理論力學 受力分析 斜坡支承反力 偏向力偶 運動軌跡

中圖分類號：O3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）03（c）-0-02

在理論力學教學中，關于斜坡物體支承約束反力的分布情況，一部分教材和參輔資料存在這樣一個值得商榷的觀點：認為斜面對物體的支承約束反力分布是呈均勻分布的，故可用一個作用點位于接觸面中心的集中荷載來進行等效。事實上，斜面上物體底面支承約束反力并不是均勻分布的，其分布狀況是由斜坡坡度所確定的，其等效集中反力作用點位置將隨坡度的改變而變化，使得相關的等效摩擦阻力作用位置的改變，從而導致斜坡物體運動過程中偏向力偶的產生。該文首先從靜力平衡條件出發，論證了斜坡物體支承約束反力分布的不均勻性，并分析了支承約束反力分布情況與坡度之間的關系。然后利用這種斜面對物體支承約束反力分布的不均勻特性，研究斜面物體滑動過程中所產生的偏向力偶，解釋了斜坡運動物體的曲線運動軌跡產生的原因。

1 斜坡物體的靜力平衡條件

放置在斜坡上靜止的物體，除重力荷載作用外，還承受斜面對物體的支承約束反力和接觸面上的靜摩擦阻力作用，若認為斜面對物體的支承約束反力是呈均勻分布的，則可用一個作用點位于接觸面中心的等效集中荷載N來替代，如圖1所示。

根據平面任意力系的靜力平衡條件[1-3]：

可見，若認為斜面對物體的支承約束反力是呈均勻分布的，則，不滿足靜力平衡條件，物體將發生轉動，這與已知物體的靜止狀態矛盾。因此，由靜力平衡條件可以得出這樣結論：斜坡上物體底面支承約束反力的等效集中荷載作用點并不位于物體底面中心，故其底面支承約束反力是呈不均勻分布狀態。

2 不同坡度條件下其支承約束反力分布情況分析

事實上，不同坡度條件下，放置在斜坡上靜止的物體，其底面支承約束反力分布情況較為復雜，如圖二所示，但可以仍可以近似地用三角形、梯形等分布荷載予以簡化，并進一步可用一集中荷載進行等效替換。

令物體底面所受支承約束反力的等效集中荷載N作用點位置沿坡斜面距物體B中心距離為d（等效集中支承約束反力N的偏心距），如圖二所示。當斜面上物體B靜止時，即（fmax為接觸面最大靜摩擦系數），根據靜力平衡條件，可知：

可見：支承約束反力的等效集中荷載偏心距d僅與物體高度h以及坡度θ有關。下面分析不同坡度條件下斜面上物體B底面的支承約束反力分布情況：

①當θ=00（物體水平放置）時，偏心距，表明支承約束反力的等效集中荷載作用于底面中心處。此時，可以認為其底面支承約束反力是呈均勻分布的，其中，如圖2（a）所示。

②當）時，偏心距。表明物體底面的支承約束反力是呈梯形分布的，其中：q1、q2是由物體幾何參數a和h以及坡度角θ所決定的，如圖2（b）

所示。

③當時，偏心距。此時，斜坡對物體支承約束反力是沿整個底面呈三角形分布狀態，其中：q是由a以及坡度角θ所決定的，，，如圖2（c）所示。

④當時，偏心距。可以認為斜坡對物體的支承約束反力僅作用于物體底面的部分區域，并呈三角形分布狀態，其中：q決定于物體幾何參數a以及坡度角θ的大小，，如圖2（d）所示。

3 斜坡物體滑動過程中的偏向力偶及其軌跡分析

放置在水平地面上靜止的物體，若在水平方向施加一恒定荷載使其發生滑動，物體將沿一直線軌跡運動。但當存在一定角度的斜坡條件下，即使這個坡度θ角很小（靜摩擦阻力遠小于最大靜摩擦阻力），在水平恒定荷載作用下，將觀察到斜面上物體的運動軌跡并不是一條水平直線，而是如圖四所示一段沿支承斜面向下發展的曲線軌跡EF。顯然，斜坡上的物體在運動初始即發生了偏轉。

現在分析坡度為θ角斜坡上物體在運動初始時刻的受力情況：作用在物體上的主動力有兩個，一是作用在物體重心處的自重，二是沿水平方向（y軸向）的荷載T；而物體上的約束反力為呈不均勻分布的斜面支承約束反力，其等效集中荷載Neq在x方向上存在偏心距d；另外，物體在x軸向存在滑動趨勢，故在物體接觸面上存在沿x負向的靜摩擦阻力Ff1，而在y軸負向存在一滑動摩擦阻力Ff2。無論等效摩擦力Ff1或Ff2，其作用點位置均由支承約束反力分布情況和運動方向（或趨勢）所決定，在其等效集中力Neq的作用點H附近。物體的受力分析如圖五所示。

假設物體初始滑動時其水平主動力T與水平方向的滑動摩擦阻力Ff2在數值上相等，根據空間任意力系向一點簡化原則[4]，將作用在物體上的所有荷載向重心O簡化，得到一主矢和主矩，再將其分別向x軸、y軸、z軸投影，可得：

可見，作用于物體上的力系向重心O點簡化后的主矢為0，主矩，為斜面上繞z軸負向轉動的力偶矩，即為斜面支承物體的運動偏向力偶。在運動初始時刻，根據動力學理論，斜面支承的物體由于存在偏向力偶Mz=-Td的作用，將發生偏轉運動，其運動軌跡會產生偏轉。

在隨后的t=0+Δt時刻，由于物體開始偏轉，其接觸底面支承約束反力分布將隨之變化，相應的等效集中反力作用位置也發生改變，使得等效摩擦阻力的大小和位置發生變化；同時，隨著運動軌跡的改變，物體運動方向變發生變化，導致摩擦阻力方向的改變，從而加速了偏轉過程。隨著時間的推移，可以觀察到，斜面上物體的運動軌跡將呈現一條曲率逐漸增大的曲線狀態。

4 結語

（1）具有一定坡度角θ的斜坡上物體底面支承約束反力的分布是不均勻的，故其等效集中荷載作用點并不位于物體底面的中心處。

（2）盡管放置在斜坡上靜止的物體其底面支承約束反力分布情況較為復雜，但仍可以近似地用三角形、梯形等分布荷載予以簡化，并可以用物體的幾何參數和坡度角的大小進行量化；其等效集中荷載存在一定的偏心距，并且偏心距d僅與物體高度h以及坡度θ有關。

（3）斜面支承物體底面支承約束反力的不均勻分布特性，導致其等效摩擦阻力并不通過底面形心，存在一定的偏心距，從而在物體滑動初始階段即在斜面上產生繞Z軸負向旋轉的力偶矩（偏向力偶）。這種偏向力偶是使斜面上滑動物體產生一條曲率逐漸增大并向下發展的曲線軌跡的主要原因。

參考文獻

[1] 范欽珊.理論力學[M].北京：高等教育出版社，2000（6）.

[2] 西南交通大學應用力學與工程系編.工程力學教程[M].北京：高等教育出版，2004（7）.

[3] 北京科技大學、東北大學編.工程力學[M].北京：高等教育出版，2002（8）.

[4] 哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學[M].北京：高等教育出版社，2003（7）.