《幾何概型》教學反思

蔣喜蓮

摘 要：學生有初中的概率基礎，對古典概型能夠較好地理解，對相應的題目的處理也較恰當、正確。但是對于將試驗結果推廣到無限個之后，將概率問題轉化為幾何問題來處理就有困難了。

關鍵詞：幾何概型；反思；隨機事件

對于大部分學生來說，如何順利轉化過來，準確地確定隨機事件發生時對應的幾何區域，確定其幾何度量，是做題的關鍵，也是難點。經過第一課時之后，學生可以獨立處理很多題目，但是仍在某些個題目上拿不準，歸根結底，是對幾何概型的本質沒有準確理解。為了加深學生的理解，本課最初的教學設計是選了四組共10個小題，每組題目都是在原題基礎上的變式，表面上看只是個別文字的差別，但是細微差別造成隨機事件發生時對應的幾何區域完全不同，幾何度量的選擇也不同，每一組都是一個對照，這對加深學生對幾何概型本質的理解起到了辨別、深入、強化的作用。

一、本課內容

例1：在區間[0，10]上任意取一個整數x，則x不大于3的概率為： 。

變式：在區間[0，10]上任意取一個實數x，則x不大于3的概率為： 。

目的：區別古典概型與幾何概型，二者有聯系，均是等可能的，亦有區別，前者試驗結果是有限個，后者是無限個，明確幾何概型是古典概型的擴展與延續。

例2：等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<30°的概率。

變式：等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內作射線交線段BC于點M，求∠CAM<30°的概率。

目的：這組題是難點，前者由于學生把握不準，計算后出現兩個結果，原因在于隨機事件發生時的幾何區域選得不準確。為了讓學生自己發現錯誤原因，并找到問題的本質所在，從混沌走向清晰，在不公布此題正確答案的前提下，引出第二題，讓學生去思考。絕大多數學生能自己撥開雨霧，有恍然大悟的感嘆，而且經過小討論之后，能辨別兩題之間的本質差別，印象深刻，能體會到成功的快樂。教師適當地借助多媒體演示問題本質，使學生理解得更透徹、深刻，使問題得到升華。

例3：△ABC的面積為S，在AB邊上任取一點P，求△PBC的面積小于■S的概率。

變式1：△ABC的面積為S，在△ABC內任取一點P，求△PBC的面積小于■S的概率。

變式2：三棱錐D-ABC的體積為V，向其內部任取一點P，求三棱錐P-ABC的體積小于■V的概率。

目的：這組題從平面上擴展到空間立體，區別在于幾何度量從長度，到面積，又到體積，是幾何概型的常見類型。其本質是隨機事件發生時的對應點所構成的區域分別為線段、梯形、棱錐，找到對應點，即可準確確定幾何度量。

例4：A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與A連結，求弦長超過半徑的■倍的概率是多少？

變式1：在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過該點作垂直于直徑的弦，則其長度超過該圓內接正三角形邊長的概率是多少？

變式2：在半徑為1的圓內任取一點，以該點為中點作弦，則其長度超過該圓內接正三角形邊長的概率是多少？

目的：此組題再次深化對幾何概型本質的理解，其中變式2是個難點，學生經過之上的諸多練習，對此題稍加思考之后，亦能給出正確答案。

二、課后反思與收獲

1.課后反思

解決幾何概型問題的關鍵是確定幾何度量，而幾何度量的本質

在于隨機事件發生時對應的點所構成的幾何區域，確定了這些點構成的幾何區域，其概率問題便迎刃而解。系統地看幾何概型問題，又發現造成隨機事件發生的幾何圖形為“點、線、面、體；角、射線、扇形區域”等等，這兩條線的源頭分別為“點、角”，點動成線，線動成面，面動成體，任何幾何概型的問題都可歸結到“點、角”上來，抓住這條本質，只需在具體問題中去尋找隨機事件發生時所對應的點即可。

教師要對整個教材的知識有個系統的把握，這個要建立在一定積累的基礎上，逐步加深對同一知識的認識和理解，同時對總結的規律進行修正和補充，幾經循環，上升到更高層次的領悟。

積累了知識，抓住了本質，就該上升到數學思想的境界，從體現的思想中看待知識、看待問題、看待學生能力的培養，以思想的高度進行教學設計、課堂指導，猶如高屋建瓴一般，深入本質，切中要害。教師只需點撥一下，學生便如魚得水，教師教起來輕松，學生學起來快樂，師生都在愉悅的氛圍內，感受數學的美與樂趣，培養學生的能力與探索精神，教師也在這個過程中與學生一同成長。

2.收獲

（1）重視學生能力的培養。培養學生的能力，以能力帶題，抓問題本質，升華達到更高境界。按照能力將知識，題目分類，題量少而精，注重培養學生的數學思想與能力。這對教師的要求很高，必須具備一定數學修養的教師才能應對自如。平時的課堂上一點一滴地慢慢來，慢慢積累。（2）多媒體的使用。本次課上，我全部的課件都采用電子白板來演示，包括圖形演示，以前也在用，通過這次課，更加熟練與靈活了，而且發現了不少電子白板有助于教學的優點。

三、對未來自己的要求

作為新教師，諸多的不足都是我日后改正之處，不奢求速度，但希望在每一次課上都能有個小亮點，都能有個不足之處被改正，在每次課后的反思中，都有一個值得肯定與不足之處被記錄，日積月累，相信汗水與成長同行，付出與收獲同在。

（作者單位 遼寧省大連市第八中學數學組）