圓錐的側面展開圖教學案例

周芙蓉

【案例背景】

我選擇在“圓錐的側面展開圖”進一步學習歸納猜想方法，主要是基于：1.在學習圓錐的側面展開圖之前，學生已熟練掌握了圓柱的側面展開圖各量之間的關系，并會正確運用圓的周長，面積公式進行相關的運算，學生具備了學習圓錐的側面展開圖的知識經驗。2.在本節課前其實早在解決有關角的分類，三角形的分類，圓和圓的位置關系等問題時，就已經使用了這種方法，九年級的學生對此已有了深刻的認識。因此，我在講授此節內容時，向學生再介紹歸納猜想點的數學方法并突出其在解決問題中的作用，是完全有必要也是符合學生的實際的。

【案例描述】

一、學生的數學認識、經驗

1.小學里我們已經認識了圓錐，說一說生活中哪些物體的形狀類似于圓錐，并用自己的語言描述圓錐，畫出你想象中的圓錐圖形。（教師可引導學生更多的著眼于客觀世界，有助于學生借助已有的生活經驗抽象出圓錐的幾何圖形。）

教師發現：大部分學生能快速解答，展示學生的數學思考如下：

糧倉的頂端、草帽、漏斗…

2.用硬紙片剪成如圖1中的圖形，并用透明膠帶把它們固定在游戲棒AB上，旋轉棒AB，哪個圖形能旋轉圓錐？請用自己的語言描述另外兩個圖形旋轉所得的幾何體？

學生們觀察了一會兒后，迅速把答案寫在了答題板上，教師巡視，發現除個別學生外其余學生解答正確，并對學生獲得的成功加以鼓勵，同時找三名同學說出自己的答案。

生一：圖（a）中，把三角形繞AB旋轉所得幾何體是圓錐；

生二：圖（b）中，把半圓繞AB旋轉所得幾何體是球；

生三：圖（c）中，把直角梯形繞AB旋轉所得的幾何體是上小下大的圓柱。

教師給同學們以鼓勵和期待的目光，并訂正學生三的答案不是圓柱是圓臺。（通過該問題的回答，不僅使學生學會了觀察、分析、歸納的數學方法，獲得了問題的解，而且還猜想出具備什么特點的圖形才是圓錐，為歸納猜想的學習做了準備并進一步打下基礎）

教師向學生介紹圓錐的軸、母線、頂點。

二、 探究圓錐的軸、母線和側面展開圖

1.問題情景：同學們剛才解答的前面兩個問題，是通過對客觀事物的接觸觀察發現規律的。觀察是我們認識事物、學習數學的一種有效方法。請同學們仔細觀察一下：

（1）圓錐的軸有怎樣的特殊位置？

（2）圓錐的母線有什么特性？

（3）如圖3將扇形OA、OB邊用透明膠帶拼合在一起，這時你發現了什么？請與你的同學交流。

（4）圓錐的側面展開圖是什么圖形？

2.展開學生的數學思考

生1：圓錐的軸通過頂點和底面圓的圓心，并且垂直于底面；

生2：圓錐的母線是旋轉中的直角三角形的斜邊，有無數條，且長度相等；

生3：將圖3的OA和OB拼合在一起，則扇形紙片圍成一個沒有底面的圓錐。（學生們自己用剪刀將一張紙剪成了圖3形狀展示給老師看，他們的結果是一致的。）

生4：圓錐的側面展開圖是一個扇形。

教師通過設計問題（1）～（4），用平面圖形空間變換形成幾何體，揭示空間圖形的聯系，不僅讓學生嘗試了從不同角度認識圓錐；用不同的方法認識扇形，同時給學生提供了一個經歷操作、觀察、分析、猜想與交流的時間和空間。

3.觀察、歸納、猜想與驗證

師：剛才我給大家展示的是一直角三角形繞棒旋轉一周得到幾何體圓錐，如果繞下面那條邊旋轉一周，是不是也得到一圓錐呢？

生：是。

師：是不是把一個直角三角形繞它的任一直角邊旋轉一周都得到一個圓錐？

生：是。

師：完全正確。請同學們猜想一下是不是任意一個直角三角形都由此性質？誰來驗證一下？

生甲：是，讓我來驗證。用我手中的兩個不同形狀的三角板和剛才自制的與兩三角板形狀又不同的直角三角形紙片分別繞一直角邊旋轉。請同學們觀察旋轉后的幾何體是不是都是圓錐？

生：是。

師：非常好。像我們這種發現規律，獲得新知識的方法就是“歸納猜想方法”。即首先，我們從一平面直角三角形繞一直角邊旋轉得一幾何體，然后猜想推測。如果把直角三角形繞另一直角邊旋轉會得到什么圖形？進而又提出對任意直角三角形此結論都成立嗎？通過同學演示驗證從而肯定了結論的正確性。

這個過程可簡要概括為：特例—歸納—猜想—驗證。

三、教學小結

1.教學知識與經驗

（1）任一直角三角形繞一直角邊旋轉一周所得幾何體是圓錐。

（2）圓錐的側面展開圖是一個扇形。

2.數學思想方法：歸納思想方法。

3.學法指導：當我們面臨一個復雜的問題時，采取先從特殊的或簡單的情況著手解決，并獲得一定的初步經驗，再把這個經驗推廣到更為一般的情況，并提出猜想，然后通過驗證這個猜想來獲得新知識。這是一種獲取新知識、新規律的常用策略。因此，我們在數學學習中要逐步掌握，不斷運用這種策略。

四、教學反思

1.數學教學，要密切聯系學生的實際，從學生的生活經驗和已有的知識出發，創設有趣的情景，把數學知識和數學思想方法的學習有機的結合起來。

2.要深入研究學生，研究教材，改進數學知識的呈現方式。

3.要尊重學生的數學思考和重視數學的思想方法的掌握及應用。

4.教師要引領學生回顧與思考解決問題的過程，讓學生理解和認識面對一個實際問題時，應該怎樣來分析、解決？如何從中提煉出解決問題獲取新知識的思想方法和策略，并自覺的把學生的數學學習聚焦在數學思想方法和學習策略上，從中獲得積極的情感經驗。