對(duì)一道高考題的思考

劉秦

【摘要】高中階段提出了判別式法在判斷直線和二次曲線相切的方法，但是對(duì)于兩條二次曲線相切的判斷卻從未探討過(guò)，本文主要是以對(duì)2011年重慶高考理科數(shù)學(xué)試卷中的第15小題的解法提出疑惑作為開(kāi)始，探討了判別式法在判斷圓和拋物線相切時(shí)的誤區(qū)，進(jìn)而提出判斷二次曲線相切的充要條件。

【關(guān)鍵詞】圓；拋物線；相切；判別式；二次曲線

一、高考題目

在2011年重慶高考理科數(shù)學(xué)試卷中有如下題目：

15、設(shè)圓C位于拋物線 與直線 所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為_(kāi)_________

解析： 。為使圓 的半徑取到最大值，顯然圓心應(yīng)該在x軸上且與直線 相切，設(shè)圓 的半徑為 ，則圓 的方程為 ，將其與 聯(lián)立得： ，令 ，并由 ，得：

二、疑惑

上面的解答過(guò)程我們感到既陌生又熟悉，那是因?yàn)樵诮鉀Q直線和圓錐曲線相切問(wèn)題時(shí)我們經(jīng)常聯(lián)立直線和圓錐曲線方程消元，再令 ，最后得到解。但是對(duì)于兩條圓錐曲線相切的問(wèn)題是否也可以用判別式來(lái)判定呢？答案是否定的，對(duì)于兩條二次曲線相切的問(wèn)題如果用判別式來(lái)判定會(huì)遇到兩大難題，①聯(lián)立兩個(gè)圓錐曲線方程不一定能消元得到一個(gè)一元二次方程；②就算能夠聯(lián)立消元，判別式也不一定能判別他們相切。下面舉例說(shuō)明：

例1：已知拋物線方程為 ，一動(dòng)圓的方程為 ，若動(dòng)圓和拋物線相切，求參數(shù) 的值。

我們用判別式來(lái)試一試：

聯(lián)立兩曲線方程：

消掉 得：

令 得：

由判別式法我們得到參數(shù)的值為9，那么當(dāng) 時(shí)兩條二次曲線是否相切？?jī)蓷l二次曲線相切時(shí)，是否參數(shù) 只能等于9呢？我利用幾何畫(huà)板將參數(shù) 進(jìn)行變化，讓動(dòng)圓從左往右移動(dòng)變化，從相離到相切再到相離，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)時(shí)候它們相切，相應(yīng)的圖像及其相應(yīng)的參數(shù)值如下：

上例說(shuō)明了，用判別式不一定能找完所有的參數(shù)值。

下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例題：

例2：已知拋物線方程為 ，一動(dòng)圓的方程為 ，若動(dòng)圓和拋物線相切，求參數(shù) 的值。

我們用判別式來(lái)試一試：

聯(lián)立兩曲線方程：

消掉 得：

令 得：

由判別式法我們得到參數(shù)的值為3，那么當(dāng) 時(shí)兩條二次曲線是否相切？?jī)蓷l二次曲線相切時(shí)，是否參數(shù) 只能等于3呢？我利用幾何畫(huà)板將參數(shù) 進(jìn)行變化，讓動(dòng)圓從左往右移動(dòng)變化，發(fā)現(xiàn)它們根本就不會(huì)相切，當(dāng) 時(shí)，兩圖的位置關(guān)系如下：

上例說(shuō)明了，當(dāng)判別式為零時(shí)兩曲線不一定相切。

從上面看出判別式等于零并不是二次曲線相切的充要條件，那么兩條二次曲線相切的充要條件是設(shè)么呢？那首先我們得弄明白兩條二次曲線相切的定義。

三、兩條二次曲線相切的定義

定義：如果點(diǎn) 為兩條曲線 和 的公共點(diǎn)，并且兩條曲線在點(diǎn) 處有相同的切線，則稱曲線 和 相切于點(diǎn) 處。

下面我們來(lái)推導(dǎo)上述定義的符號(hào)表達(dá)式。

（1） 點(diǎn) 為兩條曲線 和 的公共點(diǎn)，即

（2） 若切線斜率存在，那么在點(diǎn) 處有相同切線就等價(jià)于它們有相同的斜率，即 ，但考慮到斜率不存在的情況，所以兩條曲線在點(diǎn) 處有相同的切線等價(jià)于

綜上所述，曲線 和 相切于點(diǎn) 處

等價(jià)于方程組 有公共解。

四、相切定義的運(yùn)用

有了兩條曲線相切的定義，下面我們?cè)賮?lái)解決上面例1中的問(wèn)題。

例1：已知拋物線方程為 ，一動(dòng)圓的方程為 ，若動(dòng)圓和拋物線相切，求參數(shù) 的值。

解：設(shè)拋物線和圓相切于點(diǎn) ，可得如下方程

聯(lián)立解得： （舍掉）， ， ，

綜上所述，當(dāng) 時(shí)，圓和拋物線相切于點(diǎn) ，當(dāng) 時(shí)，相切于點(diǎn) 和

五、小結(jié)

從上面的討論我們發(fā)現(xiàn)，用判別式法來(lái)判別兩條二次曲線是否相切是有問(wèn)題的，要解決二次曲線相切的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求方程組 公共解的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]《高等代數(shù)與解析幾何》 西南師范大學(xué)出版社2002年9月第1版

[2]《數(shù)學(xué)分析》 高等教育出版社 2001年6月第3版